精品解析：河南省郑州市第一中学2025～2026学年高一上学期期中考试数学试题

郑州一中2025~2026学年上学期期中考试 28届高一（数学）试题 命题人：宋润锋 审题人：孙士放 说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2.考试时间：120分钟. 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 8. 若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知是实数，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是的既不充分也不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充分条件 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数图象过点，则实数为__________. 13. 若不等式对于恒成立，则实数取值范围是____________． 14. 已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 16. 已知集合， （1）求集合； （2）当时，求； （3）若集合，求实数的取值范围. 17. 已知且. （1）求的取值范围； （2）求的最小值，以及此时对应的的值. 18. 2025年11月16日郑州将举办一场有特色马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当销售量为8万件时，利润是多少？ （2）求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； （3）销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 19. 已知函数. （1）求的值； （2）已知函数的图象关于点对称的充要条件是：对于定义域内任意恒成立，其中点称为函数的图象的对称中心.试用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得.求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州一中2025~2026学年上学期期中考试 28届高一（数学）试题 命题人：宋润锋 审题人：孙士放 说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2.考试时间：120分钟. 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得到答案. 【详解】集合表示所有的奇数， 则. 故选：D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，改变量词，否定结论即可. 【详解】命题的否定为：. 故选：C. 3. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的概念，以及复合函数定义域的求法，求出结果即可. 【详解】由题意得，可得，解得， 所以的定义域为，解得， 则函数的定义域为，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质判断AD选项，作差法和不等式性质得到B正确，举出反例得到C错误. 【详解】A选项，，故，两边同除以得 ，即，两边同加上得，A错误； B选项，， 因为，所以， 则，，B正确； C选项，不妨设，则，C错误； D选项，两边同乘以得，D错误. 故选：B 5. 偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的奇偶性及在上的单调性，得到在上单调性和，再利用的单调性，求出使成立的的取值范围，再根据复合函数的定义域列出不等式求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以. 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，； 因为是偶函数，函数图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，； 综上，当时，. 所以要使，只须，解得， 所以满足的x的取值范围是. 故选：D 6. 已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 7. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得的两根为1,4，且，利用韦达定理可得，再根据一元二次不等式的解法求解即可 【详解】不等式的解集是， 所以的两根为1,4，且， 所以，所以， ，即， 即，即，解得. 故选：A. 8. 若函数，且当时，不等式恒成立，则实数取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式恒成立和指数函数的性质分与2的关系讨论可得. 【详解】由可得， 则当时，不等式， 当时，，此时， 当时，，此时，即， 当时，，此时，即. 综上，实数的取值集合是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断. 【详解】对于选项. 函数，定义域为，化简得. 函数，定义域为. 两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为，化简得. 两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为，值域为. 函数，定义域为，值域为. 即对，有.故两函数是同一函数.选项正确. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为. 对，有，故两函数是同一函数.选项正确. 故选： 10. 已知是实数，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是的既不充分也不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】令取特殊值，得到与的推出关系，即可判断A，B的真假；根据不等式的可乘性，得到与的推出关系，即可判断C，D的真假. 【详解】若，此时，但， 即由不能推出，所以不是的充分条件； 若，此时 ，则可以取，此时， 即由不能推出，所以不是的必要条件， 综上，可知是的既不充分也不必要条件，故A是真命题，B是假命题； 若，则由不等式的可乘性可知，一定有，， 即由一定能推出，所以是必要条件； 若，当时，， 即由不能推出，所以不是的充分条件， 综上，可知是的必要不充分条件，故C是真命题，D是假命题. 故选：AC 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题. 【详解】对于A：,当且仅当时，即时等号成立.故A正确. 对于B：，所以. 所以,当且仅当时,即时等号成立.故B正确. 对于C：令,则, ,当且仅当时，即时，等号成立.故C错误. 对于D：,当且仅当时取等号.故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象过点，则实数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点在幂函数图象上，代入解析式可得. 【详解】由题意可得. 故答案为： 13. 若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分与两种情况求解即可. 【详解】当时，不等式变形为，对恒成立，满足题意； 当时，由题得不等式，对恒成立， 应满足，解得， 综上所述：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 【答案】211 【解析】 【分析】根据集合的互异性和无序性，只需考虑集合真包含于集合的情况即可，可根据集合中元素的数量进行分类讨论. 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 故答案为：211. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算； （2）由根式与指数幂的转化及指数幂的运算性质计算. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 由题知：， 原式 . 16. 已知集合， （1）求集合； （2）当时，求； （3）若集合，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）通过确定函数的值域求出集合； （2）分别求出集合，进而求出即可 （3）先将转化为，再求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 故； 【小问2详解】 当时，， 故； 【小问3详解】 因为，所以， 又因为，故， 所以， 综上，实数的取值范围是. 17. 已知且. （1）求的取值范围； （2）求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】（1） （2）；， 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式将转化为，再解不等式即可； （2）方法一：将变形为再利用基本不等式求出的最小值即可得解；方法二：将变形为，即，再利用基本不等式求出其最小值即可. 小问1详解】 ， 又，， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或（舍），所以， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 方法一：，即，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时 方法二：，. ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时. 18. 2025年11月16日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当销售量为8万件时，利润是多少？ （2）求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； （3）销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）60万元 （2） （3）销售量为15万件，最大利润为125万元 【解析】 【分析】（1）依题意，直接列式计算即可； （2）分为，，三种情况求解； （3）分段讨论，结合函数的单调性，求解最大值. 【小问1详解】 依题意，当销售量为8万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，则销售单价元， 所以； 当时，； 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 则时，利润最大，最大利润是100万元； 当时，， 则时，利润最大，最大利润是125万元； 当时，， 令且， 则 , 因为，所以， 因为，则，， 则，从而， 则，即， 所以，当时单调递减，则， 因为，所以当销售量为15万件时，利润最大，最大利润为125万元. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）已知函数的图象关于点对称的充要条件是：对于定义域内任意恒成立，其中点称为函数的图象的对称中心.试用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由； （3）若对任意（其中），都存在，使得.求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）是中心对称，对称中心为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定函数及函数值计算得解. （2）根据给定定义，设出对称中心坐标，建立恒等式求解. （3）利用（2）的结论可得，再求出的范围，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 函数，由，得， 所以. 【小问2详解】 假设函数图象关于点对称，即在R上恒成立， 因此在R上恒成立， 则，解得， 所以的图象是中心对称图形，对称中心为. 【小问3详解】 由（2）及，得，则， 由，得，依题意，， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $