精品解析：福建省漳州市第五中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

漳州五中2025-2026学年上学期期中考试卷 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共8小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．） 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 2. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线一般方程中倾斜角与斜率的关系可得. 【详解】由题意知，，则，解得. 故选：D. 3. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于点不在直线上，所以当与直线垂直时，取最小值，， 故选：C 4. 已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出定点，再根据直线的垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程． 【详解】可变形为， 令，解得， 该直线恒过定点． 直线的斜率为， 过点且与直线垂直的直线的斜率， 所求直线方程为：，即． 故选：A． 5. 数列中，，点在经过的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线l的方程，代入得递推公式，构造等比数列求出通项即可. 【详解】由题意，，， 代入得，即， 又由于，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，， 所以， 故选：D. 6. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，得出数列的递推公式，从而利用构造法求得数列的通项公式.进而求得. 【详解】因为，所以当时， ，所以. 当时，， 所以， 化简得. 所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 所以. 故. 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（ ） A. B. 2或 C. 或10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的方程，代入，得到方程，求出答案. 【详解】圆与轴相切，设圆方程为， 将，代入得， 化简得， 得，解得或10. 故选：C 8. 设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果. 【详解】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（　　） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 点在直线：上，直线方程为． D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线垂直时一般式方程得参数关系，判断选项A的正误；根据直线截距式的性质，判断选项B的正误；根据点在直线方程上的性质，判断选项C的正误；根据两点坐标计算斜率的方法，判断直线斜率的范围，判断选项D的正误； 【详解】当时，直线与直线也互相垂直，所以A错误； 直线也经过点，且在轴和轴上截距都为0，所以B错误； 由点在直线上，可得，解得， 代入得，化简得，所以C正确； 如图所示，过点且与以为端点的线段有交点的所有直线中，包含倾斜角为的情况， 由，所以直线的斜率的取值范围是，所以D正确； 故选：CD. 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用圆与圆位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据判断A选项；根据点在椭圆的短轴端点时，面积最大判断B选项；根据椭圆的性质判断C选项；联立方程得，进而计算面积公式即可. 【详解】由题知：椭圆的长半轴长，，，， 因为是椭圆上一点，所以根据椭圆的定义，， 对于A， 的周长是，故A错误； 对于B，当面积最大时，点在椭圆的短轴端点，即点的坐标为， 此时，故不成立，故B错误； 对于C，由椭圆的性质可知，的最大值是长半轴长，即为，故C正确； 对于D，根据题意，联立方程得，， 此时，面积为，故D正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分．） 12. 等差数列的前n项和为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 故答案为： 13. 在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意，可以得到，从而得到，利用公式求解. 【详解】，又椭圆是以为焦点，且经过点的椭圆， ，，. 故答案为：. 14. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分析可得，进而根据，并结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】解：圆即为，可知圆心为，半径为2， 如图，易知直线为圆的一条切线， 设两条切线的切点为，两条切线的夹角， 因为， 所以， 故答案为： 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．） 15. 已知等差数列中，的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由条件得到，进而求解即可； (2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【小问1详解】 由， 可得， 两式相减可得：， 即， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 ， 所以数列的前项和． 16. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【小问1详解】 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 17. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）（） （3）（） 【解析】 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果求解的通项公式，然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【小问1详解】 已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. 【小问2详解】 由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） 【小问3详解】 由（2）可知：（），可得：（） 设（1） （2） 由（1）（2）得： ， 解得：. （）. 18. 已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上. （1）求圆的方程； （2）过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； （3）求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可设圆方程为：，求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得圆的方程； （2）分析可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立即可求解； （3）求出直线的恒过点，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，从而即可求解. 【小问1详解】 由题可设圆的方程为：， 整理得，其圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得：， 所以圆的方程为：. 小问2详解】 由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程； 由于，，所以以为直径的圆的方程为：， 整理得：，即以为直径的圆的方程为， 联立，则， 所以经过两切点直线方程为. 【小问3详解】 由直线：可得：， 令，解得，则直线过定点， 则当时，直线：被圆截得的弦长最小， 由于，所以，即， 则直线的方程为：. 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程； （3）已知，斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离分别求出直线方程即可. （2）先将点的坐标表示出来，然后根据其在圆上求出轨迹方程即可. （3）联立直线和点的轨迹方程组，结合韦达定理求出的面积即可. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． 【小问2详解】 设点，则，由点是的中点得，， 所以①，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，化简得点的轨迹方程是． 【小问3详解】 由题知，直线的方程为，设， 联立，得， 从而， 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州五中2025-2026学年上学期期中考试卷 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共8小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．） 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 2. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 数列中，，点在经过的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（ ） A B. 2或 C. 或10 D. 8. 设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（　　） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 点在直线：上，直线方程为． D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分．） 12. 等差数列的前n项和为，则________． 13. 在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________． 14. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．） 15. 已知等差数列中，的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 16. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 17. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 18. 已知圆过圆：与圆；交点，且圆的圆心在直线：上. （1）求圆的方程； （2）过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； （3）求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线方程； （2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程； （3）已知，斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $