4二项分布与超几何分布（10大题型）（题型专练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

4二项分布与超几何分布 题型一：二项分布的概率 1．设，且，那么（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（ ） A． B． C． D． 3．设随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 4．若随机变量，，则（ ） A． B． C． D． 题型二：超几何分布的概率 1．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（ ） A． B． C． D． 3．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 4．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 题型三:有放回与不放回的抽取 1．（多选）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（ ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 2．（多选）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 3．（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（ ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 4．（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（ ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 题型四:二项分布模型解决实际问题 1．某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立． (1)求的值； (2)若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望． 2．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 3．慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 4．为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 题型五:超几何分布模型解决实际问题 1．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 2．袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 3．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 4．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 题型一:二项分布的概率最值 1．．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 2．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 3．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 4．设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 题型二:利用函数性质求二项分布概率的最值 1．某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 2．某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而增大 D．当时，随着的增大而减小 3．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 4．在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 题型一:二项分布实际应用的概率最值 1．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 2．有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 3．某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 4．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 5．某产品生产共有道工序，每道工序优秀的概率均为，各道工序之间相互独立．当该产品有不少于道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优品的概率为． (1)设． ①求该产品优秀工序的道数的分布列和数学期望； ②求． (2)若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的，且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180元． ①设该产品增加工序前单位时间内的产量为件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为元，试用表示； ②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求的取值范围． 题型二:超几何分布实际应用的概率的最值 1．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 2．一个袋子中有4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值： (2)从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的数学期望和方差； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义． 3．已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 4．工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 题型三:二项分布实际应用的概率大小关系 1．在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 2．甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． 3．甲乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得分，负者的分.设每个球甲胜概率为，乙胜概率为，，且各球胜负独立.对正整数，记为打完个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完个球后乙比甲至少多得2分的概率 (1)求（用表示）； (2)对任意正整数，求（用表示）； (3)对任意正整数，求证：. 4．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 4二项分布与超几何分布 题型一：二项分布的概率 1．设，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 2．已知随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 3．设随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【详解】根据随机变量， 且，可得. 故选：C 4．若随机变量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：B 题型二：超几何分布的概率 1．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 3．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【分析】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可. 【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 4．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 题型三:有放回与不放回的抽取 1．（多选）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（ ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 【答案】ACD 【分析】根据条件知，有放回的抽取时，，利用二项分布求出和期望，即可判断A和C的正误，无放回的抽取时，服从超几可分布，利用超几可分布，求出和期望，即可判断B和D的正误，即可求解. 【详解】若是有放回的抽取，则， 则， ，故选项A和C正确， 若是无放回的抽取，则可能取，，，， 又，， ，， 所以，故选项B错误，选项D正确， 故选：ACD. 2．（多选）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布的定义判断A，由超几何分布的定义判断B，根据二项分布与超几何分布的均值公式求得均值判断D，利用概率与均值的关系可通过D来反证说明C． 【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，员工A有放回地抽取一件产品为次品的概率为，抽取3件产品，次品数，则， 员工B无放回地随机抽取3件，因此次品数服从超几何分布，，（）， ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误． 故选：ABD. 3．（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（ ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 4．（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（ ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 【答案】AB 【分析】利用古典概率和对立事件的概率可判断A的正误，利用古典概率的概率公式可判断B的正误，根据独立事件和对立事件的概率公式可判断C的正误，根据二项分布的概率公式可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若每次取出的球不放回，则，故B正确； 对于C，若每次取出的球放回，则相互独立，且， 故， 故，故C错误； 对于D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球， 则，故，其中， 令，则，故， 故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误. 故选：AB. 题型四:二项分布模型解决实际问题 1．某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立． (1)求的值； (2)若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，则，据此即可求解； （2）服从二项分布，根据二项分布的分布列计算方法和数学期望计算公式即可求解． 【详解】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”， 根据题意，由条件概率公式得， 已知，则，故； （2）由（1）知，该产品测试合格的概率为，因连续2次测试相互独立， 故服从二项分布，即， 由二项分布概率公式得， 当时，； 当时，； 当时，； 0 1 2 由二项分布期望公式得． 2．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可. （2）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入问题表达不清晰”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得， 故智能客服的回答被采纳的概率为. （2）由题意得，的可能取值为，且， ，， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为. 3．慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1)，56.7 (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率之和为1建立方程求得，利用中位数的概念列方程求解即可. （2）根据分层抽样求得男生和女生人数，结合组合数的运算利用古典概型概率公式求解即可. （3）根据题意得，根据二项分布的概率公式及期望的计算公式求解即可. 【详解】（1）根据题意可得，解得； 因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，， 所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得， 所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7. （2）慢跑时长在分钟内有人， 因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人， 记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件， 所以. （3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为， 随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列如下表： X 0 1 2 3 P . 4．为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，20 【分析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，根据条件即可求解； （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，根据条件求解即可； （3）由题的可能取值有，分别求出相应取值的概率，即可得出答案. 【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为： （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为： （3）的可能取值有， ， ， ， 所以分布列为： 0 20 40 60 80 所以. 题型五:超几何分布模型解决实际问题 1．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)74分；(2)72分；(3)分布列见解析， 【分析】（1）将每个矩形底边中点值与各矩形面积相乘，再将所得数据相加即可得出结果； （2）根据频率分布直方图估计数据的第40百分位数即可； （3）利用分层抽样原理，求得、两区间内分别抽取了多少份，再结合超几何分布即可求解． 【详解】（1）由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． （2）成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （3）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：． 2．袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列间解析；. 【分析】（1）根据二项分布的有关公式求值计算. （2）根据超几何分布的公式计算求值. 【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数， 所以，， 所以. （2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2. 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 3．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】(1)，中位数； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，结合中位数的定义进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，， 解得， 由频率分布直方图可知： 前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 设中位数为，则. ， 解得. 所以，估计这50名学生成绩中位数为68. （2）的三组频率之比为， 又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中总共抽取了11人， 从中分别抽取7人，3人，1人. 由题知，从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，所有可能取值为0，1，2，3； 且，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 4．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 题型一:二项分布的概率最值 1．．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 2．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 3．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 4．设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 【答案】C 【分析】对于ABC：根据二项分布的概率公式列式，结合组合公式计算分析最值；对于D：根据二项分布的期望公式分析判断. 【详解】对于ABC：因为，，， 由，得， 解得， 若为正整数，则或时，取最大值，故B错误； 若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.故A错误； 对于D：因为，故D错误. 故选：C. 题型二:利用函数性质求二项分布概率的最值 1．某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 【答案】C 【分析】对于A，根据直接计算即可；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据直接计算即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，则，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即，即，解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在次射击中击中目标的次数， ，故D不正确. 故选：C 2．某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而增大 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C、D， ， ， ， 当时，，为正项且单调递增的数列， 所以随着的增大而增大，故C正确； 当时，，为正负交替的摆动数列， 所以不会随着的增大而减小，故D不正确； 故选：C. 3．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 【答案】D 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 4．在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 【答案】A 【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确. 【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 因为，所以，， 所以，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即， 即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式， 当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 故选：A. 题型一:二项分布实际应用的概率最值 1．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 【分析】（1）根据已知有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）根据（1）及已知，记闯关成功的次数为，则，应用二项分布的概率公式及不等式法求概率最大对应参数值，即可得. 【详解】（1）由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分， 所以，，，， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 所以； （2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为， 若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则， 故， 若，则， 所以，则，可得，即 故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 2．有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或9. 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）先将所求事件分成两种互斥事件：①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回；②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，分别利用组合数公式求其概率，再运用概率加法公式即可； （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为： . （2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：； ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为： . 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为. （3）依题意，， 由，解得，即， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9. 3．某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 4．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】(1) (2)采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算. （2）根据题意，分别求出采用五局三胜制和三局两胜制甲最终获胜的概率，列式运算得解. （3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值. 【详解】（1）设事件为“比赛采用三局两胜制乙获胜”． 因为每局比赛乙获胜的概率为， 所以． （2）在五局三胜制中甲获胜的概率． 在三局两胜制中甲获胜的概率． ． 当时，，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大． （3）根据二项分布得，可知． 令，则． 令，解得，当时，可得； 令，解得，当时，可得． 故当时，最大，即时，的值最大，所以的估计值为10． 5．某产品生产共有道工序，每道工序优秀的概率均为，各道工序之间相互独立．当该产品有不少于道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优品的概率为． (1)设． ①求该产品优秀工序的道数的分布列和数学期望； ②求． (2)若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的，且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180元． ①设该产品增加工序前单位时间内的产量为件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为元，试用表示； ②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求的取值范围． 【答案】(1)①分布列见解析；期望为；② (2)①；② 【分析】（1）①可知，列出的所有可能取值并计算对应的概率列出分布列按照期望公式计算；②直接计算即可； （2）①计算产品增加2道工序后单位时间内优品产量的期望，然后可得；②依题意计算可得结果. 【详解】（1）①因为，所以该产品的优秀工序的道数的所有可能取值为．因为每道工序之间相互独立，且优秀的概率均为，所以． ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 4 5 ． ． （2）①该产品增加2道工序后单位时间内优品产量的期望为， 则． ②）该产品增加工序前至少有5道工序优秀的概率为； 该产品增加工序前恰好有4道工序优秀，新增的2道工序中至少有1道工序优秀， 概率为； 该产品增加工序前恰好有3道工序优秀，新增的2道工序全部优秀， 概率为． ， 则， 根据题意可得，解得， 所以当该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大时，的取值范围为． 题型二:超几何分布实际应用的概率的最值 1．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 【答案】(1)不独立，说明见解析 (2) 【分析】（1）依次求出即可由独立事件的定义分析求解； （2）先由题意得到获奖概率为，接着计算分析与1的大小关系即可求解. 【详解】（1）事件A与B不相互独立，理由如下： 当时，由题可得，， ， 所以，所以事件A与B不相互独立. （2）由题可得从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率为， 则， 又， 所以当时，当时， 所以， 所以当时，参与者获奖的可能性最大. 2．一个袋子中有4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值： (2)从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的数学期望和方差； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义． 【答案】(1) (2)（i）；（ii），，采用不放回估计的结果更可靠些 【分析】（1）结合题意利用古典概型由组合数建立方程，解出即可； （2）（i）利用有放回是二项分布，由公式求出期望和方差即可； （ii）通过样本比例与总体比例的误差范围，计算相应概率并比较大小，说明其含义. 【详解】（1）由题可得， 即，解得：． （2）（i）对于有放回摸球，每次摸到绿球的概率为，且每次试验之间的结果是独立的，则 （ii）样本中绿球的比例分别为， 有放回摸球时，概率 不放回摸球时， 概率 所以，在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中绿球比例估计总体中绿球比例，采用不放回估计的结果更可靠些． 3．已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 【详解】（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． （2）（ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 4．工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)145 【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率； ②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件， 则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为； ②当时，A等品有4个，B等品有6个． X服从超几何分布，，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是． 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 而，从而，当时单调递增， 又，． 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是． 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 题型三:二项分布实际应用的概率大小关系 1．在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3）不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔” “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 2．甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． 【答案】(1)甲最终获胜的概率为，得分的方差为 (2)证明见详解 【分析】（1）由题知甲获胜的局数服从二项分布，然后可求甲最终获胜的概率，得分，利用方差的线性运算即可. （2）根据题意比赛进行局，甲要获胜，则在比赛局时至少要胜局，可建立的关系，利用组合数性质可证. 【详解】（1）根据题意3局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布， 甲最终获胜，则甲至少要赢2局，， ，所以甲最终获胜的概率， ， 又甲得分，， 故甲最终获胜的概率为，甲得分的方差为. （2）证明：由题可知， 若比赛进行局，则在局时甲至少获胜的局， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局必须胜出， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局至少要胜一局， 若比赛到局时甲胜利至少局，则甲后2局可以任意， 所以 ，又， 所以， 故，随着比赛局数越多，甲获胜的概率越大. 3．甲乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得分，负者的分.设每个球甲胜概率为，乙胜概率为，，且各球胜负独立.对正整数，记为打完个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完个球后乙比甲至少多得2分的概率 (1)求（用表示）； (2)对任意正整数，求（用表示）； (3)对任意正整数，求证：. 【答案】(1)，； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项分布即可求解； （2）利用（1）中的结论写出，再利用条件概率求出，同理可求得，进而得解； （3）分情况讨论可得，同理可得，两式相减即可得证. 【详解】（1）不妨设表示打完个球甲的得分， 则乙的得分即为（每个球总得有人得分，不是甲就是乙），则， 因为甲比乙至少多2分， 所以， 则， ； （2）由（1）所设表示打完个球甲的得分， 则， 考察前个球，若，则； 若，则最后一个球甲得分； 若，此种情况下无法得到； 即有 ， 同理，所以； （3）由题意知，与上述类似， 若时，则成立； 若时，只要甲不能连负两个球； 若时，甲必须连赢两个球； 若时，此种情况下无法得到； 即 ， 同理：， 又，所以， 于是：. 所以. 4．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $