3.2.2直线与双曲线的位置关系 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与双曲线的位置关系，涵盖位置关系判断、弦长与中点弦问题及综合应用。通过类比直线与椭圆位置关系，引导学生画图观察公共点个数，构建从椭圆到双曲线的知识迁移支架，衔接前后学习内容。 资料以问题链驱动探究，设置例题及变式训练，强调判别式与渐近线平行的特殊情况讨论，中点弦问题结合点差法，培养学生数学思维中的逻辑推理与运算能力。综合题融入轨迹方程与中点坐标问题，提升数学语言表达与模型应用意识，助力学生深化知识理解与问题解决能力。

直线与双曲线的位置关系 学案 [学习目标]　 1. 会判断直线与双曲线的位置关系. 2. 会求解双曲线中的弦长与中点弦问题 3.会解决直线与双曲线的综合问题. 1.直线与双曲线的位置关系 　类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？ 　画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式. （1）若，当时，直线与双曲线有 　　　　不同的公共点； 当时，直线与双曲线只有　　　公共点； 当时，直线与双曲线　　　　公共点. （2）若，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有　　　个公共点. 提 直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 2.弦长公式 　若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？ 若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，则 3.双曲线的第二定义 当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，点的轨迹是双曲线. 直线与双曲线的位置关系 例1、 直线y=kx+1和双曲线3x2-y2=1何时有两个交点？ 变式1：直线y=kx+1和双曲线3x2-y2=1何时没有交点？ 变式2：直线y=kx+1和双曲线3x2-y2=1何时有1个交点？ 　 （1）解决直线与双曲线的位置关系的问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 双曲线的弦长及中点弦问题 跟踪训练2：已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1) 求直线的方程； (2)求弦的长. 　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 直线与双曲线的综合问题 　[2025浙江台州山海协作体期中]动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，动点的轨迹记为曲线. （1）求动点的轨迹方程； （2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 　解决直线与双曲线的综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解. 学科网（北京）股份有限公司 $