第23章  一次函数-2025-2026学年八年级数学下册重点提分A本

重点提分A本@23章一次函数 23.1正比例函数的图象和性质 1.正比例函数=(1-)的图象如图所示，则化简V1-2+2+ 的结果是( A.2-1 B.1-2 C.2 D.1 2.已知，， 均为正数，且+=+=+=（≠0)，则下列四个点中，在正比例函数= 图象上的是（) A(1,) B.(1,2) c.(1,-2) D.(1,-1) 3.如图是表示光线从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按下图建立坐标系，并设入水 前与入水后光线所在直线的解析式分别为1=1,2=2（1≠0,2≠0)，则下列1与2 的关系正确的是( A.1>0,2<0 B.1>0,2>0 0.1l<12l D.11l>12 空气 水 4.某函数的图象如图所示，当0≤≤时，在该函数图象上可找到个不同的点(1,1)， (2,2),…,(，),使得1=2=…=一，则的取值不可能为()》 2 A.3 B.4 C.5 D.6 74/104 重点提分A本@23章一次函数 5.定义：对于给定的两个函数，当≥0时，它们对应的函数值相等；当<0时，它们对应 的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数=一，它的 相关函数为 ={(（《<》已知正比例函数=2，若点（，)在这个函数的相关面改的图 象上，则 的值为 6.函数问题：(1)作出关于的函数=2引|的图象 ①自变量的取值范围是 ②列表并在所给网格中画出函数图象： 2 -1 0 7 2 ③当自变量的值从1增加到2时，函数的值增加了· (2)在一个变化的过程中，两个变量与之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列 各式中，是的函数的是 .(填序号) ①+=1；②1+I=1;③=1；④2+2=1 75/104 重点提分A本@23章一次函数 23.2一次函数的图象和性质 1.一次函数=+，若+=2022，则它的图象必经过点( A.(-1,2021) B.(-1,2022) C.(1,2022) D.(1-2022) 2.如图，在平面直角坐标系中，若折线=一」一2+1与直线= +2(>0)有且仅有 一个交点，则的取值范围是( y-x-2+1 A0<<1或= B.>1或= c.0<<2或= 0.>2或= y=kx+2k 3.如图是某个动画程序的数学模型.以（-1,3)，(1,1)，(4,2)为顶点的△ 代表黑区（包 括三角形的边及内部)，信号光束沿直线= 一2扫描坐标平面，当信号光束触到黑区时， 黑区全部消失，则能够使黑区全部消失的的取值范围是 B 3题图 4题图 4.如图，直线= ·+4与轴、轴分别交于点 ，，点是直线上的一点，且其纵坐标为 2,点为的中点，点为 轴上一动点，当+ 的值最小时，△ 的周长是 5.已知函数=+1的图象与轴交于点，一次函数=+（≠0）的图象经过点(0，- 1),与轴以及=+1的图象分别交于点，，且点的坐标为(1，)，则四边形 的面 积是· 6.如图，平面直角坐标系中，直线：=+交轴于点(0,3)，交轴于点(6,0)，直线= 2交直线于点，交轴于点，点坐标为(2，一4)，则△ 的面积是 76/104 重点提分A本@23章一次函数 7.如图，直线：=十 经过(6,0)，(0,8)两点，点从出发沿线段 以每秒1个单位 长度的速度向点运动，点从出发沿线段】 以每秒2个单位长度的速度向点运动，设运 动时间为秒(>0). 2 (1)求直线1的解析式 (2)当= B趴D 时， (3)若将直线1沿轴向右平移3个单位长度后，与轴、轴分别交 于，两点，求四边形 的面积 (4)在第一象限内，是否存在点，使以，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存 在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 77/104 重点提分A本@23章一次函数 23.3一次函数与方程（组）、不等式 1.如图，直线=+（≠0）与轴交点的横坐标为1，则关于的方程=2一 的解为 y↑ y=ax+b(a≠0) A.=-1 B.=1 C.=2 D.=3 2.一次函数1=1+1和2=2+2的部分对应值如表所示，其中1<2<3<4< 5，设这两个一次函数的图象交于点（0,0)，则0的取值范围是() 1 2 3 4 5 -3 -1 1 3 5 2 -6 -2 6 10 A.1<0<2 B.2<0<3 C.3<0<4 D.4<0<5 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数1=+（≠0）与2=+（≠0）的图象如图 所示，则( Y个 A.当>2时，1<2 y2=mx+n y=ax+b B.当<0时，1>3,2<3 C.-=2(-) D.关于，的方程组 二二的解为二2 4.一次函数=+(<0)的图象过点(1,0)，则不等式(-2)+>0的解集是 5.如图，点的坐标为(-1,0)，直线=-2与 轴交于点，与轴交于点，点在直线= -2上运动.当线段 最短时，点的坐标为 (提示：若直线1=1+与直线 2=2十垂直，则12=-1) Y y=x-2 78/104 重点提分A本@23章一次函数 6.在平面直角坐标系 中，函数=+（≠0）的图象经过点(0,1)和(1,2)，与过点 (0,4)且平行于轴的直线交于点 (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当<3时，对于的每一个值，都有函数=号+的值大于函数=+（≠0） 的值且小于4，直接写出的值， 7.请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数=一2」+2的图象和性质，并解 决问题 （1)①当=0时，=-21|+2=2； ②当>0时， =-2|+2= ③当<0时，=-2引1+2= 显然，②和③均为某个一次函数的一部分 (2)在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数=一2丨+2的图象 (3)一次函数=+（为常数，≠0）的图象过点(1,3)，若方程组 二2+2无解， 结合函数的图象，直接写出的取值范围 79/104 重点提分A本@23章一次函数 23.4一次函数与利润问题 1.烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一.某烩面馆为了促销，推出A,B两种套餐， A套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元B套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉 菜，价格67元 (1)分别求烩面和小份凉菜的单价 (2)每碗烩面的利润为5元，每小份凉菜的利润为2元.根据市场需求，面馆每天准备的B 套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐的总数量不超过95份，假设准备的两种套 餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少份A套餐？最大利润为多少？ 80/104 重点提分A本@23章一次函数 2.中国是世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富.某茶 具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成 本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为1元，按照方案 二获得包装盒的总费用为2元 (1)分别求出1,2与之间的函数关系式 (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由， 81/104 重点提分A本@23章一次函数 3.“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”.2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量 相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元.受污损的进货清单如表所 示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价（元/千克) 米 总价（元） 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元， (2)张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元， 若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元/千克，小樱桃 的销售单价为18元/千克，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大 利润？ (3)在(2)的条件下，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的25%另购大、小樱桃赠 送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，才能使剩余利润不少于450元？ 82/104 重点提分A本@23章一次函数 专题6一次函数与其他知识的综合 类型1一次函数与几何变换的综合 1.如图，从光源发出的一束光，经过平面镜（轴）上的点反射后的反射光线交轴于点 (-1,0),若入射光线满足的函数关系式为=-号+，则的值是() A.2 B月 c D.1 B D 1题图 2题图 A衣 2.如图，在平面直角坐标系中，直线=一2+6分别与轴、轴交于，两点，将直线 绕点逆时针旋转45°得到直线，过点作1于点，则点的坐标是 3.已知在平面直角坐标系中，点在轴上，=，点（，)，且，满足√+-8+(- -4)2=0. （1)填空：=， (2)如图(1)，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形 面积的一半？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图(2)，将线段向左平移个单位(>0)，得到线段·'，其中点、点的对 应点分别为点'、点'若点(-1，)在射线·上，连接，， 得到三角形，若 三角形 的面积大于三角形 面积的并且小于三角形 的面积，则的取值范围是 图(1) 图(2) 83/104重点提分A本@23章一次函数 23.1正比例函数的图象和性质 1.正比例函数=(1-)的图象如图所示，则化简V1-2+2+ 的结果是( A.2-1 B.1-2 C.2 D.1 答案：D 解析：由题意得，1->0，解得<1，则原式=1-|+=1-+ =1.故选D. 2.已知，， 均为正数，且+=+=十=（≠0），则下列四个点中，在正比例函数= 图象上的是（) A(1,2) B.(1,2) c.(1,-) D.(1,-1) 答案：A 2(++)=(++),解得=多将=代入=得=：，将选项中点的坐标 分别代入=子中可得，只有A选项满足函数解析式.故选A 思路分析由题意可得+=，+=一+=，相加可得2(++)=(++)， 由此可求得的值，进而可确定函数解析式，再将选项中的坐标一一代入函数解析式中验证即 可 3.如图是表示光线从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按下图建立坐标系，并设入水 前与入水后光线所在直线的解析式分别为1=1,2=2（1≠0,2≠0)，则下列1与2 的关系正确的是() A.1>0,2<0 B.1>0,2>0C.1l<12l D.I1>2 136/191 重点提分A本@23章一次函数 空 O 水龙 答案：C B A 空气 72 、 水龙 y2 解析：如图， 在两条直线上分别取横坐标为的两个点和，则(，1)，(，2) “1<2,<0,·1>2·由图象可知，1<0,2<0，·|1<|2，故选C. 4.某函数的图象如图所示，当0≤≤时，在该函数图象上可找到个不同的点(1,1)， （2,2)…，（，),使得=号=…=一，则的取值不可能为(） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 解析：设1=2=…=一=（≠0），则1=1,2=2，…， ,即点(1,1)， （2,2),…,（，)在正比例函数=的图象上.如图，正比例函数= 的图象与题中 函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点.故选D 137/191 重点提分A本@23章一次函数 设头是== 1-2 _Y=kk≠0) 这n个点也在直线y=hx上 找两个图象交点可能的个数 思路分析 确定n不可能的值 5.定义：对于给定的两个函数，当≥0时，它们对应的函数值相等；当<0时，它们对应 的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数=一，它的 相关函数为-（厂（〈0已知正比例适数=2，若点(，）在这个西数的相关函数的图 象上，则的值为 答案：或- 解析：由题意可得，正比例函数=2的相关函数为 ={220 :点(，3)在=2的相关函数的图象上，“当之0时，2=3，解得=： 当<0时，-2=3，解得=-，。=或-故答案为或-} 6.函数问题： (1)作出关于的函数=2」的图象 ①自变量的取值范围是 ； 答案：任意实数 解析：自变量的取值范围是任意实数，故答案为任意实数 ②列表并在所给网格中画出函数图象： -2 -1 0 2 答案：4,2,0,2,4 138/191 重点提分A本@23章一次函数 画出=2引|的函数图象如下： 解：分别将=-2，-1,0,1,2代入=21，得=4,2,0,2,4，故答案为4,2,0， 2,4.画出=2的函数图象如下： ③当自变量的值从1增加到2时，函数的值增加了， 答案：2 解析：当自变量的值从1增加到2时，函数的值增加了2，故答案为2. (2)在一个变化的过程中，两个变量与之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列 各式中，是的函数的是 (填序号) ①+=1；②1+|=1；③ =1;④2+2=1. 答案：①③ 解析：根据函数的定义，①当取任意实数时，都有唯一的值和它对应，·是的函数，故 ①符合题意； ②当=0时，=1或-1，·不是的函数，故②不符合题意： ③当取任意非零实数时，都有唯一的值和它对应，·是的函数，故③符合题意； ④当=0时，=1或-1，·不是的函数，故④不符合题意.故答案为①③. 139/191 重点提分A本@23章一次函数 23.2一次函数的图象和性质 1.一次函数=+，若+=2022，则它的图象必经过点() A.(-1,2021) B.(-1,2022) C.(1,2022) D.(1,-2022) 答案：C 解析：+=2022，即=2022-，则一次函数=+为=+2022一，即= (-1)+2022.当=1时，=2022，·.一次函数=+的图象必经过点(1,2022). 故选C 2.如图，在平面直角坐标系中，若折线=-」-2+1与直线=+2(>0)有且仅有 一个交点，则的取值范围是() A.0<<1或 = B>1或= .0<<2或- 0.>2或= y-x-2+1 y=hx+2k 答案：B 解析：直线的解析式为=+2，·直线=+2经过点(-2,0).·折线的解析式 为=-|-2+1，·折线的最高点坐标为(2,1)，·当直线= +2恰好经过点(2,1) y=-lx-2+1 y=kx+2h 时，直线与折线只有一个交点，如图所示 ，÷1=2+2,解得=当=1时，直线 =+2与折线在≤2时的部分平行，此 时没有交点，·当>1时，直线=+2与折线在<2时的部分有一个交点.综上所述， 的取值范围为>1或=，故选B. 140/191 重点提分A本@23章一次函数 3.如图是某个动画程序的数学模型.以(-1,3)，(1,1)，(4,2)为顶点的△ 代表黑区（包 括三角形的边及内部)，信号光束沿直线=一2扫描坐标平面，当信号光束触到黑区时， 黑区全部消失，则能够使黑区全部消失的的取值范围是 B 0 答案：≤-5或≥1 解析：点，的坐标分别为(-1,3)，(4,2)，·当直线=-2经过点时，--2=3， 解得=-5；当直线=-2经过点时，4-2=2，解得=1，·能够使黑区全部消 失的的取值范围是≤-5或≥1.故答案为≤-5或≥1. 4如图，直线=子+4与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一点，且其纵坐标为 2,点为的中点，点为轴上一动点，当+的值最小时，△ 的周长是 答案：2+2V10 解析：令=0，则有影+4=0，解得=-6，·=6.：点为的中点，÷=3， 即(-3,0)·令=2，则有号+4=2，解得=-3，·点(-3,2)，·1轴，=2. B 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示， 141/191 重点提分A本@23章一次函数 ·.(3,0).由轴对称的性质可知轴垂直平分 ，则根据垂直平分线的性质及两点之间线段最 短可知当点与点重合时，+的值最小，最小值为的长，·=√(3+3)2+22= 2V10,.△ 的周长为2+2V10,故答案为2+2V10. 5.已知函数=+1的图象与轴交于点，一次函数=+（≠0)的图象经过点(0，- 1),与轴以及=+1的图象分别交于点，，且点的坐标为(1，)，则四边形 的面 积是 答案：昌 解析：对于直线=+1，令=0，得=1，即(0,1).把(0，-1)代入=+（≠0) 中，得=-1，则=-1.把(1，)代入=+1，得=2，即(1,2).把(1,2)代入= -1,得2=-1，即=3，则直线 的解析式为=3-1.令=0，则3-1=0，解 y=hx+b /y=X+ D OC E 得=子·(，0).画出两函数图象如图所示， 过作上轴，垂足为，则=1-有=号图器 =梯形一△ )-是·=×(1+2)x1-×3×2=-号=号 6.如图，平面直角坐标系中，直线：=+交轴于点(0,3)，交轴于点(6,0)，直线= 2交直线于点，交轴于点，点坐标为(2，一4)，则△ 的面积是 答案：18 解折：把03).60代入+，得{6+30解得 1 Γ2'·直线 的解析式为= 三3， 142/191 重点提分A本@23章一次函数 -+3.~点在直线上，且横坐标为2，把=2代入=-+3，得=2，÷点 坐标为(2,2).：点坐标为(2，-4)，(2,2)，÷=2-（-4)=6，六△=△+ △=3×(-)=×6×6=18，故答案为18. 7.如图，直线1：=+经过(6,0)，(0,8)两点，点从出发沿线段 以每秒1个单位 长度的速度向点运动，点从出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向点运动，设运 动时间为秒(>0). (1)求直线1的解析式 y个 D A 解：将60，(0代入+得6+0解得 31 =8, ÷直线的解析式为=-等 +8. (2)当 时， 答案：由点，的坐标知， =6, =8,则=√62+82=10.当运动时间为秒时， =, =10-2.当= 时，=10-2，解得=号故答案为号 (3)若将直线1沿轴向右平移3个单位长度后，与轴、轴分别交于，两点，求四边形 的面积. 解：由平移可得，直线的解析式为=-(-3)+8=-专+12.当=0时，=12， 当=0时，=9，÷(0,12)，(9,0)， 六0隧形=△-4=×9×12-×6×8=30 143/191 重点提分A本@23章一次函数 (4)在第一象限内，是否存在点，使以，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存 在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 A 解：存在.当上=90°，=时，如图（1)所示， 图(1) 过点作⊥轴于点，易证△ ≌△ =6,==8, =14,(8,14). 当上 =90°，=时，如图(2)所示， 图(2) 过点作1轴于点，易证△2△，· =6,= =8, =14, (14,6). 当∠=90°，=1 时，如图(3)所示， 图3) 过点作1轴于点，1轴于点，易证△≌△ , ,6+ =8-,==1,·=7==,·(7,7).综上，点的坐标为(8,14) 或(14,6)或(7,7). 144/191 重点提分A本@23章一次函数 23.3一次函数与方程（组）、不等式 1.如图，直线=+（≠0）与轴交点的横坐标为1，则关于的方程=2-的解为 y个 y=ax+b(a≠0) A.=-1 B.=1C.=2 D.=3 答案：D 解析：“直线=+（≠0）与轴交点的横坐标为1，÷关于的方程+=0的解为 =1.·方程=2一整理得(-2)+=0，·-2=1，即=3，·关于的方程 =2一的解为=3，故选D 2.一次函数1=1+1和2=2+2的部分对应值如表所示，其中1<2<3<4< 5，设这两个一次函数的图象交于点（0,0)，则0的取值范围是（ 1 5 -3 -1 1 3 2 -6 -2 6 10 A.1<0<2 B.2<0<3 C.3<0<4 D.4<0<5 答案：B 解析：当=2时，1=-1,2=-2，则1>2：当=3时，1=1,2=2，则1<2， ·在2和3之间存在一个值，使两个函数值相等.·这两个一次函数的图象交于点(0,0)， 2<0<3·故选B. 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数1=+（≠0）与2=+（≠0）的图象如图 所示，则() A.当>2时，1<2 B.当<0时，1>3,2<3 C.-=2(-) D.关于，的方程组 的解为二 145/191