第21章  四边形-2025-2026学年八年级数学下册重点提分A本

重点提分A本@21章四边形 21.1多边形及其内角和 1.如图，直线与正五边形 的边，分别相交于点，，则一=() B A.18° B.30° C.36° D.45° 2.如图，机器人从点0出发朝正东方向走了2，到达点1，记为第1次行走；接着，在点1 处逆时针旋转30°后向前走2到达点2，记为第2次行走；再在点2处逆时针旋转30° 后向前走2m到达点3，记为第3次行走；…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出 发点0时所走过的路程为() Ao A.16m B.20m C.22m D.24m 3.如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈（其中，，均为 正整数)，相邻的两个正六边形有公共顶点，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结 果是=6，乙的结果是=4或5，则() A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 G 0 3 4>F 3题图 4题图 A6 4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为 29/104 重点提分A本@21章四边形 5.图(1)是二环三角形，=∠1+∠2+…+∠6=360°，图(2)是二环四边形，=∠1+ ∠2+…+∠8=720°，图(3)是二环五边形，=∠1+∠2+…+∠10=1080°，… ，以此规律，请你写出二环十边形中，= 度 A A As Ao A 4,AA A 图(1) 图(2) A图3) 6.如图，在四边形 中，和 分别平分四边形的外角∠ 和， 与相交于 点，若L M M F B B E D 图(1) 图2) (1)如图（1)，若+=168°，求∠ +∠ 的度数 (2)如图（1)，若∠=35°，试猜想 ，所满足的数量关系式，并说明理由 (3)如图(2)，若=，判断， 的位置关系，并说明理由， 30/104 重点提分A本@21章四边形 21.2.1平行四边形及其性质 1.将两个大小不同的含30°角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠)摆放在 □ 中，则上1的度数为() 0 30°O 30 B A.50° B.60° 0.75° D.80° 2.如图，在平行四边形 中，，相交于点， =2,=4.以点为圆心， 的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于) 的长为半径在 下方作弧， 两弧相交于点，作直线交于点，记 长为，长为，当， 的值发生变化时， 下列代数式的值不变的是( 0.2+2 D.+ 3.如图所示，以口 的边 为边向内作等边△，且= ,连接，，则上 的度数为( A.150° B.145° C.135° D.120° 4.如图，分别以△ 的三边为一边作平行四边形 、平行四边形 、平行四边形 ,且点，分别在，上，点在平行四边形 内.若平行四边形 、平行四 边形 的面积分别为1,2，则平行四边形 的面积为() A 1+2 B.1t2 2 C.V12 D.212 1+2 31/104 重点提分A本@21章四边形 5.在平行四边形 中，若∠=60°，=16，=14，则平行四边形 的周长是 6.四边形 是平行四边形，上 的平分线交边 于点，∠ 的平分线交边 于点， = ，则一= 7.如图，在口 中， =6,∠ 与ㄥ 的平分线交于点，连接并延长 交直线于点.若点落在线段 上（包括端点，），则的取值范围是 B 8.如图，在平行四边形 中，点是对角线 的中点，点是上一点，且=，连 接并延长交于点，过点作 的垂线，垂足为，交于点 （1)求证： (2)若∠ =45°，当=2时，求 的长 D 32/104 重点提分A本@21章四边形 21.2.2平行四边形的判定 1.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了 能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，她应该带其中哪两块去玻璃店()》 (④ ③ A.①② B.②④ C.②③ D.①③ 2.如图，是口 的边 上的点， 是中点，连接并延长交 于点，连接 与 交于点，若△ =2cm2,△=8cm2,则阴影部分的面积为( A.24 cm2 B.17cm2 C.18 cm2 D.10 cm2 3.如图(1)，口 中，> ,∠ 为锐角.要在对角线 上找点，，使四边形 为平行四边形，现有图（2)中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是()》 甲：取BD中 点0，作 作AN⊥BD 丙：作AN,CM BN=NO. 于W,CM⊥BD 汾别平分∠BAD, 于M B OM=MD '∠BCD 图(1) 图(2) A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙 4.如图， 与 相交于点， =60°， =32,∠+4 210°，则 的长为 ----- 4题图 5题图 L--- 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点，，在网格中的位置如图所示， 建立适当的平面直角坐标系，使点，，的坐标分别为(1,1)，(4,3)，(6，一2)，在平面直角坐标 系中找一点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点 的坐标： 33/104 重点提分A本@21章四边形 6.【阅读材料】老师的问题：如图（1)，在△ 中，川，分别交，于点，， 1,垂足为点，=6，=3，求十 的值. E 图（1) B 图(2) B 小亮的思路：过点作/，交 的延长线于点，构造△ 如图（2)，经过推理和 计算能够求出+ 的值。 【解答问题】 (1)+ 的值是 (2)你还有其他添加辅助线的方法吗？写出你的求解过程 (3)如图(3)，口 中，是上的-点，连接，交于点，=12，==5， =8,求证： A 图(3) B E 34/104 重点提分A本@21章四边形 21.3.1.1矩形的性质 1.如图，在△ 中， ,=4, 上于点，上于点，并且点是 的中点，△ 的周长是v10+2,则 的长是() A.2 B.6 0.2v2 D.√10 2.如图，矩形 的对角线交于点， =4, =2,△为等边三角形，点是直 线上一点，连接，则线段 长度的最小值为() F D A A.1 B.V3 C.2 D.3+2 2 3.过某矩形的两个相对的顶点作平行线，再沿着平行线剪下两个直角三角形，剩余的图形为如 图所示的口 =4,=6,∠=60°，则原来矩形的面积是 A D 60° B C 35/104 重点提分A本@21章四边形 4.(1)【感知】如图（1)，小明将矩形纸片 对折，找到它的一条对称轴为，展开 得到折痕，连接，，则与 的数量关系是 D G D D C E E E F 图(1) A B 图（2) B 图(3) M B (2)【探究】如图(2)，为图（1)中矩形纸片 的边 上的点，小明沿折叠使点 的对应点落在上，连接·求证：△ 是等边三角形； (3)【应用】如图(3)，连接图(2)中的并延长，交边于点，当四边形 是 平行四边形时，直接写出一的值. 36/104 重点提分A本@21章四边形 5.已知矩形 (如图（1))的一边 和对角线分别与矩形 的对角线 及边 重合.连接，取 的中点，连接 D M 图（1) 图（2) (1)求证： (2)如图(2)，若将矩形 绕着点旋转一定的角度，其他条件不变，你认为(1)中的 结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 37/104 重点提分A本@21章四边形 21.3.1.2 矩形的判定 1.如图，在四边形 中，∠=人 =90°，⊥， 平分∠ .下列结论： ① =；②四边形 是矩形；③点是 的中点；④若=2， =5,则=4 其中正确的有( E A B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 2.如图，在Rt△ 中，∠ =90°， =5, =12,点是斜边 上的一个动点， 过点分别作上于点，上于点，点为四边形 对角线交点，则的最小 值为() G A A号 B.30 c智 0号 3.如图，在矩形 中， =6cm, =12cm,点从点向点以1cm/s的速度运动， 同时点以4cm/s的速度从点出发，在， 两点之间做往返运动，点到达点时，， 两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为 时，以，，， 四点为 顶点的四边形是矩形， A D C 38/104重点提分A本@21章四边形 21.1多边形及其内角和 1.如图，直线与正五边形 的边，分别相交于点，，则-=（) B GB A.18° B.30° C.36° D.45° 答案：C 解析：由正五边形性质可得∠=∠=5-2)×180=108 5 , =360°-∠-∠=144°.∠=180°-， =,180°-+=144°，·-=36°，故选C. 2.如图，机器人从点0出发朝正东方向走了2，到达点1，记为第1次行走；接着，在点1 处逆时针旋转30°后向前走2m到达点2，记为第2次行走；再在点2处逆时针旋转30° 后向前走2到达点3，记为第3次行走；…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出 发点。时所走过的路程为() Ao A A.16m B.20m C.22m D.24m 答案：D 解析：：360÷30=12，·机器人从点0出发走12次回到出发点，·机器人从出发到第一 次回到出发点o时所走过的路程为12×2=24(m).故选D. 3.如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈（其中，，均为 正整数)，相邻的两个正六边形有公共顶点，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结 47/191 重点提分A本@21章四边形 果是=6，乙的结果是=4或5，则() A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 答案：D 解析：“正六边形的一个内角为6-2x180=120° 6 ·。+°=360°一2×120°=120°.~。为正边形的一个内角的度数， 4。=-2×180当=3时，。=60°，则。=60°；当=4时，。=90° 则°=30°；当=5时，°=108°，则°=12°；当=6时，°=120°，则 。=0°（舍去）.综上，的值为3或4或5.故选D. 思路分析：正六边形的一个内角为120°.根据周角的定义可得°+°=120°，再根据正 边形一个内角度数为。，得。=-2)x180, 分情况讨论即可求解. 4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为 2 o 4>F 答案：540 G 2 0 3 D<I 4>F 5 解析：如图， 7B连接 .∠ =∠ .∠6+∠7=∠ +∠ .在五边形 中， 48/191 重点提分A本@21章四边形 ∠1+∠2+∠+∠ +∠3+∠4+∠5=540°， .∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540° 5.图(1)是二环三角形，=∠1+∠2+…+∠6=360°，图(2)是二环四边形，=∠1+ ∠2+…+∠8=720°，图(3)是二环五边形，=∠1+∠2+…+∠10=1080°，… ，以此规律，请你写出二环十边形中，= 度 A A3 A A 图(1) 图(2) 图3) 答案：2880 解析：依题可知，二环三角形中，=360°；二环四边形中， =720°=360°×2=[360×(4-2)]°；二环五边形中， =1080°=360°×3=[360×(5-2)]°；…，二环十边形中， =[360×(10-2)]°=2880°. 6.如图，在四边形 中，和 分别平分四边形的外角∠ 和， 与 相交于 点，若ㄥ=，∠ M M B D N D 图(1) 图(2) (1)如图（1)，若+=168°，求∠ +∠ 的度数， 解：在四边形 中，∠ +∠+∠ +∠ =360°，·∠+∠ =360°- (+).“∠ +∠ =180°，∠ =180°，÷∠ 十∠ =180°- +180°-∠=360°-（∠ +∠)=360°-[360°-(+)】=+ ×+=168°，4∠ =168° (2)如图（1)，若∠ =35°，试猜想 所满足的数量关系式，并说明理由 解：-=70°. 49/191 重点提分A本@21章四边形 M B G D 图(1) 理由：如图(1)，连接，由(1)得，∠+上 =十 分别平分四边形的外角上 和∠ - 1 ∠ = + 2 )=(+) 在△ 中，∠+∠ =180°-∠ =180°-.在△ 中，∠=35°， +∠+∠=180°， ∠ +∠+∠+∠+∠ =180° (∠ +)+(L +∠)+∠ =180°， ÷2(+)+180°-+35°=180°，÷-=70 (3)如图(2)，若=，判断，的位置关系，并说明理由 解：平行 M E F H 图(2) 理由：如图(2)，延长交于，由（1)得，∠+∠=+ ,分别平分四边形的外角上和上 ∠ ,∠ 1 1 1 ∠ +∠ +22 +2 )=+ ∠ =∠ +∠ =∠ 1 ∠ +-∠ +).”= +-∠ =(+)=，4=，÷ 50/191 重点提分A本@21章四边形 21.2.1平行四边形及其性质 1.将两个大小不同的含30°角的直角三角板按如图所示的方式（无缝隙且不重叠)摆放在 口 中，则上1的度数为() A D 30° 30 B A.50° B.60° C.75° D.80° 答案：B 解析：延长交于点，如图.：∠ =30°，∠ =30°， ∴∠ = +∠ =30°+30°=60°.：四边形 是平行四边形，·/升， ·∠1=∠=60°，故选B. 2.如图，在平行四边形 中，， 相交于点， =2, =4.以点为圆心， 的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于 的长为半径在 下方作弧， 两弧相交于点，作直线交于点，记长为，长为，当， 的值发生变化时， 下列代数式的值不变的是() B A B.- C.2+2 D.+ 答案：A 解析：过点作1交的延长线于点，如图。 ·四边形 是平行四边形，./1，=，·∠ =∠.由作图可知， 51/191 重点提分A本@21章四边形 ∠ 三∠ =90°，.△≌△ (AAS),==,=, =. 2=2-2,2=2- 2 2 2=2-2,42-(+)2=22-(-)2,·=3,÷当，的值发生 变化时， 的值不变，故选A. 3.如图所示，以口 的边为边向内作等边△，且=，连接，，则 的度数为( A A.150 B.145° C.135° D.120 答案：A 解析：·四边形 是平行四边形，· ∠ +∠ =180°.△ 是等边三角形，·.= =60°. .∠ =∠，∠ =∠.设 ，三∠ =,∠ =∠ .∠ =180°-2，∠ =180°-2， ∠ =180°-2+60°=240°-2，∠ =180°-2+60°=240°-2， .∠ =240°-2+240°-2=180°，+=150°， =360°-150°-60°=150°，故选A. 4.如图，分别以△ 的三边为一边作平行四边形 、平行四边形 、平行四边形 ,且点，分别在，上，点在平行四边形 内.若平行四边形 、平行四 边形 的面积分别为1,2，则平行四边形 的面积为（) G D A b A.1+2 B.2 C.V12 D.212 1+2 答案：A 52/191 重点提分A本@21章四边形 解析：连接， .四边形 、四边形 都是平行四边形，且点， 分别在 上，/川，/1，.△ 与口 同底等高，△ 与口 同底等高，·△ = 1 2▣ =。心四边形 是平行四边形，点在平行四边形 内，· ,△ 2 =公十△ =2(△ △)=2（号。+号口）=口+口：平行四边形 、平行四边形 的面积分别为1,2，·口=1十2，故选A. 5.在平行四边形 中，若2=60°，=16，=14，则平行四边形 的周长是 EC C 图(1) 图(2) 答案：52或44 解析：①当ㄥ 是锐角时，如图（1)所示，过点作⊥于.：∠=60°， =16, =30°， =8,·易得=8V3.由勾股定理得 =V2-z= V142-(8V32=2,: 三 +=8+2=10, 的周长为2(+)=2× (16+10)=52.②当∠ 是钝角时，如图(2)所示，过点作上交的延长线于· 同①可得， =8, =2, =-=6,□ 的周长为2(+)=2× (16+6)=44.故答案为52或44. 6.四边形 是平行四边形，∠的平分线交边 于点，ㄥ 的平分线交边于点， = ,则一= 答案：或 解析：当点在点右侧时，如图(1)B .四边形 是平行四边形， 53/191 重点提分A本@21章四边形 =,∠ . 平分ㄥ， ∠ .∠ =.同理可得= ∈2-”=月 2- 当点在点左侧时，如图(2)B 同理可得=， -2. -2=号=，一=系综上，-=或 或 7.如图，在口 中，=，=6，∠ 与ㄥ 的平分线交于点，连接并延长 交直线于点.若点落在线段 上（包括端点，），则 的取值范围是 答案：3≤≤6 解析：·四边形 是平行四边形，·/ ∠ +∠ =180°.∠与∠ 的平分线交于点， .∠ =∠，∠ =ㄥ 21 =+ )=90°，·∠ =90°. C(Q) 当点与点重合时，如图(1) ..∠BPC=90°，∠=∠=90°.= △2△(ASA),·==6,·=6. 54/191 重点提分A本@21章四边形 K 、D D(Q) 当点与点重合时，如图(2)B ,延长交的延长线于点.：∠=90° =∠ =90°.×=，·△ ≌△ (ASA),·= /川，·∠=∠.·∠ =∠ △2△(ASA),=.' =, =6, =3,. =3,·的取值范围是3≤≤6. 8.如图，在平行四边形 中，点是对角线的中点，点是上一点，且=，连 接并延长交于点，过点作 的垂线，垂足为，交于点· D B (1)求证： 证明：：四边形 是平行四边形，·/ =∠ 是的中点，· =.在△ 和△ .△2△ (ASA),.= （2)若∠ =45°，当=2时，求 的长 D 解：如图，BMEN℃过作上于，交于，过作上于， 则∠ =∠ =∠=90°，/1 =45°，.4 =∠ =45°. 1 2，∠ =∠ 1,∠=90°=4 又×∠=4，·∠ =∠ .设∠ =∠=， 55/191 重点提分A本@21章四边形 则上 =45°+，∠ 三∠ 十∠ =45°+，=∠，= =.在△ 和△ 中， △≌△ (AAS), 在等腰直角三角形 中， =吃=吃=竖，÷=吃 :=,=2=2W2. 56/191