第20章  勾股定理-2025-2026学年八年级数学下册重点提分A本

重点提分A本@20章勾股定理 20.1勾股定理 1.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”，现有如图所示的“垂美四边形” ,对 角线， 交于点.若=2，=7，则2+2=（) B A.45 B.49 C.50 D.53 2.如图，在△ 中，为 上一点， =5,=4,且=.记长为，长为 ,当，变化时，下列代数式的值不变的是() A B D A.2+2 B.2-2 C.+ D.- 3.如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2， 3,水平放置的4个正方形的面积分别为1,2,3,4，则1+2+3+4=（) 3 A.5 B.6 C.4 D.8 4.如图， 是四根长度均为5cm的火柴棒，点，，共线.若 =6cm, 1,则线段的长度是cm. B D 17/104 重点提分A本@20章勾股定理 5.如图，在Rt△ 中，∠ =90°， =10cm,=6cm,动点从点出发沿射线 以2cm/s的速度运动，设运动的时间为s, A (1)求的长； (2)当△为直角三角形时，求的值； (3)当△为等腰三角形时，求的值 18/104 重点提分A本@20章勾股定理 6.综合运用：“在△ 中，，，三边的长分别为v5,V10,V13,求这个三角形的面 积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1)，再在 网格中画出格点△ (即△ 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图（1)所示，这样 不需要求出△ 的高，借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ 面积的方法叫 作构图法， 见 图(1) 图(2)图(3) (1)直接运用： ①请直接写出图（1)中△ 的面积为； ②请在图（2)中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形 (2)若△ 的边长分别为V2+16Z,V92+4Z,V42+42(>0,>0,且≠)， 试运用构图法在图(3)中画出相应的△，并用， 表示△ 的面积， 19/104 重点提分A本@20章勾股定理 20,2勾股定理的逆定理及其应用 1.下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证V5>2的是( A.只有甲图 B.只有乙图 1 C.甲、乙两图都可以 D.甲、乙两图都不可以 5 2.如图，在△中， =4V2,=43,是 边上的中线，且=2，则 的长 为( B A.12 B.10C.45 D.63 3.已知L 在正方形网格中的位置如图所示，，，均在格点（网格线交点）上.设∠ 的余角为，则∠ ·(填“>”“<”或“=”) B 4.定义：如图，点，把线段分割成 ， 三部分，若以 为三边的 三角形是一个直角三角形，则称点，是线段 的勾股分割点 (1)已知，把线段分割成，， ,若=2.5， =6.5, =6,点， 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由 （2)已知点，是线段 的勾股分割点，且为直角边，若=30， =5,求 的 长 A M B 20/104 重点提分A本@20章勾股定理 5.阅读下列文字，然后回答问题.已知平面内两点（1,1)，(2,2)，则这两点间的距离可 用下列公式计算：=V(1-2)2+(1-2)2 例如：已知(3,1)，(1，-2)，则这两点间的距离=√(3-1)2+(1+2)2=√13. 特别地，如果两点(1,1)，（2,2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标 轴，那么这两点间的距离公式可简化为=|1-2或！1一2· (1)已知(1,2)，(-2，-3)，试求，两点间的距离； (2)已知，在平行于轴的同一条直线上，点的横坐标为5，点的横坐标为-1，试求， 两点间的距离； (3)已知△的顶点坐标分别为(0,4)，（-1,2)，(4,2)，你能判定△ 的形状吗？请 说明理由 21/104 重点提分A本@20章勾股定理 专题3运用勾股定理解决最短路径问题 类型1垂线段最短 1.如图，Rt△中，∠ =90°，=8， =2V2,点在上，将△沿折叠， 点落在点处，'与 相交于点，则'长度的最大值为() B A.2V2 B C. D.8-3√2 2.如图，△ 中， ==5, =6,点是 边上的一个动点，则 的最小值为 D 类型2和最小问题（将军饮马） 3.如图，点为等边△ 的边上一定点，射线1，垂足为点，点是射线 上 动点，点是线段上一动点，当+的值最小时， =5,则+ 的最小值是() A.9 B.10 C.5V3 D.3v5 4.如图，在平面直角坐标系中，(0,4)， (8,0),(8,2),, 是线段 上的两个动点，且 =2,则△ 与△ 周长和的最小值是 Y A 22/104 重点提分A本@20章勾股定理 类型3几何体中的最短路径问题 5.如图，在一张边长为5cm的正方形纸板 上，放着一根长方体木块，已知木块的较长 边与 平行且相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到 达点处， 则蚂蚁爬行的最短路径长为() A.5v2 cm B.V√61cm C.V74 cm D.68 cm 6.国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱用彩带装饰，为了美观，彩带需要按如图所 示的方式从点沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点处.若每根立柱的底面周长为1.5m, 高为6，则每根立柱所用彩带的最短长度为() B B.3V17 2 m D.30m 7.如图是一个圆柱形玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点处 有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4c与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为 cm. 蚂蚁A C蜂蜜 23/104 重点提分A本@20章勾股定理 20章勾股定理考点复习 考点1勾股定理及其应用 1.如图，在△ 中，∠=120°，=，边 的中点为，边上的点满足 上.若 =3,则 的长是() A.4V3 B.6 0.2v3 D.3 2.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳 与地面垂直，摆绳长2m,向前荡起 到最高点处时距地面高度1.3m，摆动水平距离为1.6m,然后向后摆到最高点处.若 前后摆动过程中绳始终拉直，且与成90°角，则小丽在处时距离地面的高度是() A.0.9m B.1.3m 0.1.6m D.2m 3.如图，在△ 中，按以下步骤作图： (1)以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；(2)分别以点和点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；(3)画射线交于点.若∠=2∠，=23，=13， 则 的长为 B DE F米 24/104 重点提分A本@20章勾股定理 考点2勾股数 4.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则 的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则 写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；….根 据上述规律，写出第⑤组勾股数为 考点3勾股定理的逆定理及其应用 5.△ 的三边长，，满足(-)2+V2一-3+1-3V21=0,则△ 是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 6.综合与实践，主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板 步骤1：如图（1)，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上 的小正方形； 步骤2：如图(2)，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒 猜想与证明： 图(1) 图(2) (1)直接写出纸板上上 与纸盒上4111的大小关系； (2)证明（1)中你发现的结论 25/104 重点提分A本@20章勾股定理 20章勾股定理综合小测 一、选择题（共30分） 1.在△中，∠，∠，∠ 的对边分别是，，，则下列条件不能判定△ 为直角三 角形的是() A.∠+∠=∠ B.∠：∠：∠=3：4：5 C.::=1:1:V2 D.(+)(-)=2 2.如图，墙面 与地面 垂直，点在墙面上，若=√17米， =2米，点到 的距离是4米，一只蚂蚁要从点爬到点，它爬行的最短路程是() A.V22米 B.V23米 C.5米 D.√26米 D B 3.点，，，，是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则上十人=（) A.30° B.45° C.50° D.60° B 二、填空题（共30分） 4.如图，点，分别在 ,上，1，垂足为，4=人.若 =4, =3, 则点到直线 的距离为 A E B D 26/104重点提分A本@20章勾股定理 20.1勾股定理 1.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”，现有如图所示的“垂美四边形” ,对 角线， 交于点.若=2，=7，则2+2=（) B A.45 B.49 0.50 D.53 答案：D 解析：在Rt△ 与Rt△ 中，由勾股定理得2=2+2,2=2+2 在Rt△ 和Rt△ 中，由勾股定理得2=2+2,2=2+2， ·2+2=2+2+2+2=2+2=22+72=53,故选D. 2.如图，在△中，为上一点，=5，=4，且=.记长为，长为 ,当，变化时，下列代数式的值不变的是() B D C A.2+2 B.2-2 C.+ D.- 答案：B 解析：如图B D E C,过点作上，垂足为 ∴.∠ =90°.： = =}=2.“ =5, +=5+2=7.在Rt△中，2=2-2=2-49， 在Rt△中，2=2-2=2-4，·2-49=2-4， ÷2-2=45.故当，变化时，代数式2-2的值不变.故选B. 26/191 重点提分A本@20章勾股定理 3.如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2， 3,水平放置的4个正方形的面积分别为1,2,3,4，则1+2+3+4=（) A.5 B.6 C.4 D.8 答案：C 解析：如图.：在水平直线上依次摆着7个正方形， ∠ =∠ =ㄥ =90°， ∠ +∠ =90°，∠ +∠ =90°， =∠ =∠.在△ 和△ =∠ △ ≌△ (AAS),· .在Rt△ 中，2+2= 2+ 2 2.八1= 2,2= 2， 2=1, .1+2=1,同理可得3+4=3，·1+2+3+4=1+3=4.故选C. C BE 4.如图， 是四根长度均为5cm的火柴棒，点，，共线.若 =6cm, ⊥，则线段 的长度是cm. D A E 答案：8 B 解析：如图A G H 作1， 上，垂足分别为，， ∴.∠ =∠ =90°，·∠ +∠ =90°.⊥ ∠ =90°， =∠ ∴∠ +∠ =90°，“∠=∠.在△ 和△ 中 27/191 重点提分A本@20章勾股定理 “△ ≌A (AAS),. =6, 1 2 =3.在Rt△ 中，由勾股定理得 =V2-2=V52-32=4,· 4. =4,= +=8,故线段的长度是8cm, 故答案为8. 5.如图，在Rt△ 中，∠=90°，=10cm, =6cm,动点从点出发沿射线 以2cm/s的速度运动，设运动的时间为s· A B→ (1)求的长； 解：在Rt△ 中，2=2-2=102-62=64，÷=8cm (2)当△为直角三角形时，求的值； 图(1)B C图(2)B 解：由题意知 =2 cm ①如图(1)，当上为直角时，点与点重合，÷==8cm,·=4; ②如图(2)，当4 为直角时，=(2-8)cm.在Rt△ 中，2=62+(2-8)2， 在Rt△ 中，2+2= 2,÷102+[62+(2-8)2]=(2)2, 解得=华综上所述，当△为直角三角形时，=4或华 (3)当△ 为等腰三角形时，求的值 解：①如图(3)B CP,当=时，2=10，=5； ②如图(4)B p,当=时，=2=16cm,2=16,=8; 28/191 重点提分A本@20章勾股定理 ③如图(5)B PC 当=时，==2cm,=2-8cm,=6cm .在Rt△ 中，2=2+2， “(2)2=62+(2-8)2,解得=25 8 综上所述，当△ 为等腰三角形时，=5或8或智 6.综合运用：“在△中，，， 三边的长分别为V5,√10，V√13，求这个三角形的面 积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1)，再在 网格中画出格点△ (即△ 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图（1)所示，这样 不需要求出△ 的高，借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ 面积的方法叫 作构图法 2 m 图（1) 图(2) 图 (3) (1)直接运用： ①请直接写出图（1)中△ 的面积为； 答案： 解析：由网格可得△ =3×3-2×1×3-2×1×2-2×2×3=3,故答案为： 2 2 ②请在图(2)中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形 解：如图(1) 即为所求 (2)若△ 的边长分别为V2+16Z,V92+42,V42+42(>0,>0,且≠)， 试运用构图法在图(3)中画出相应的△，并用， 表示△ 的面积。 29/191 重点提分A本@20章勾股定理 解：如图(2) ,由勾股定理得 =V2+162, =V92+4z, =V42+42,·△ 即为所求.△ 的面积为3×4-××4-×2× 2-2×3×2=12-2-2-3=5 30/191 重点提分A本@20章勾股定理 20.2勾股定理的逆定理及其应用 1.下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证V5>2的是() 甲 5 A.只有甲图 B.只有乙图 C.甲、乙两图都可以 D.甲、乙两图都不可以 答案：A 解析：如图，12+22=（√5）2，÷2+2=2，∠=90°，·1，÷> (垂线段最短)，即V5>2,·甲图可以验证V5>2.乙图无法验证5>2，故选A. B 2 2.如图，在△ 中，=4V2,=4V3, 是边上的中线，且=2，则 的长 为() A.12 B.10 c.4v5 D.63 B D 答案：A D 解析：如图 ,延长到，使得=，连接·“是 边上的中线， =∠ ≌△ (SAS),:==4V2,==2, =4.. 2+2=42+(4V2)2=16+32=48,2=(43)2=48, 2+2=2,∠=90°， 31/191 重点提分A本@20章勾股定理 =V2+Z=(4W2)2+22=6,·=2=12，故选A. 3.已知∠ 在正方形网格中的位置如图所示，，，均在格点（网格线交点）上.设∠ 的余角为，则∠ ·(填“>”“<”或“=”) 答案：> 解析：如图1--1 取格点，连接，.设每个小正方形的边长均为1， 则 =V5, =V10,2+ 2- 2,△ 为等腰直角三角形，∠ =90 ,∠ =45°，.∠ >45°，·∠ 的余角<45°，·∠ >,故答案为> 4.定义：如图，点，把线段 分割成 三部分，若以， 为三边的 三角形是一个直角三角形，则称点，是线段 的勾股分割点 AM N B (1)已知，把线段 分割成， ,若 =2.5, =6.5, =6,点， 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由 解：点，是线段 的勾股分割点.理由如下：=2.5， =6.5, =6,2.52+62= 42.25=6.52,÷ 2+ 2=2,÷以 为三边的三角形是直角三角形，“ 点， 是线段 的勾股分割点 (2)已知点，是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若=30，=5，求的 长 解：设 =,则 =30- =25- ①当是最长边时，：点，是线段 的勾股分割点，÷2+2=2， 32/191 重点提分A本@20章勾股定理 52+2=(25-)2,解得=12； ②当是最长边时，：点，是线段 的勾股分割点，·2+2=2， 52+(25-)2=2,解得=13. 综上， 的长为12或13. 5.阅读下列文字，然后回答问题.已知平面内两点（1,1)，（2,2)，则这两点间的距离可 用下列公式计算： =V(1-2)2+（1-2)2 例如：已知(3,1)，(1，-2)，则这两点间的距离=√3-1)2+(1+2)7=V3 特别地，如果两点(1,1)，（2,2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标 轴，那么这两点间的距离公式可简化为 =11-2或|1-2. （1)已知(1,2)，(-2，-3)，试求， 两点间的距离； 解： =√(1+2)2+(2+3)2=V34 (2)已知，在平行于轴的同一条直线上，点的横坐标为5，点的横坐标为-1，试求， 两点间的距离； 解： =15-(-1)川=6. (3)已知△ 的顶点坐标分别为(0,4)，（-1,2)，(4,2)，你能判定△ 的形状吗？请 说明理由 解：△ 是直角三角形 理由： =√0+1)2+(4-2)=V5,=V(-1-4)2+(2-2)=5, =V0-4)2+(4-2)=25,2+2=(5)2+(2V5)2=25,2=52=25, 、2+2=2,6△ 是直角三角形 33/191 重点提分A本@20章勾股定理 专题3运用勾股定理解决最短路径问题 类型1垂线段最短 1.如图，Rt△中，∠ =90°，=8， =2V2,点在上，将△沿折叠， 点落在点处，’与 相交于点，则'长度的最大值为() A.2V2 B号 号 D.8-3V2 B 答案：C 解析：Rt△ 中，∠ =90°，=8，=2V2,·=V2+z=6V2.:·= ==8,·当最小时，·的长度有最大值.当1时， 最小，此 时△ =××=××,“×8x22=××62,解得=号·的 最小值为：·的最大值为8-号=宁.放远C 2.如图，△中， ==5,=6,点是边上的-个动点，则 的最小值为 D B 答案：台 解析：过点作上于点.·==5， =6,· ===3,÷ √2一2=V52-32=4.由垂线段最短可知，当1时， 的值最小，此时号· =·，45=6×4,。=酷故答案为 5 34/191 重点提分A本@20章勾股定理 类型2和最小问题（将军饮马） 3.如图，点为等边△ 的边上一定点，射线⊥，垂足为点，点是射线上一 动点，点是线段上一动点，当+的值最小时， =5,则 + 的最小值是() D A.9 B.10 C.5V3 D.3V5 答案： 解析：如图，作点关于的对称点'，过点作'⊥于点，交于点，则='， 此时+的值最小，最小值为·的长.△ 是等边三角形，·∠=60°.'1 ∠'=90°，÷∠'=30°，'=2=10.在Rt△ 中，由勾股定理可得·= V102-52=5V3,÷.+的最小值为5V3.故选C. 4.如图，在平面直角坐标系中，(0,4)，(8,0)，(8,2)，， 是线段 上的两个动点，且 =2,则△ 与△ 周长和的最小值是 Y个 MN B 答案：6v2+12 解析：由题意可得，△+△=+++++=++- 2+ =4+2+8-2++=12++,·当+ 的值最小时， △ 与△ 的周长和有最小值.如图所示，将点向左平移2个单位得到'，作点关于 轴的对称点'，连接·交轴于点，则='，=·，此时+ 的值最小，为·· 35/191