第19章  二次根式-2025-2026学年八年级数学下册重点提分A本

重点提分A本@19章二次根式 19.1二次根式的性质 1.若，，分别是三角形的三边长，化简√--)卫+|+-|的结果是() A.2 B.2 C.-2 D.-2 答案：B 解析：·，，分别是三角形的三边长，·一<，十>， -<0,+->0,÷V(--)2+1+-1=1--1+1+-1 =-(--)+十-=-十十++-=2.故选B. 2.若=20252-2024×2025，=V20262-2×2025,=V2026×2024,则，， 的大小关系是() A.<< B.<< C.<< D.<< 答案：D 解析： =20252-2024×2025=2025×(2025-2024)=2025=V20252, =V20262-2×2025=V(2025+1)2-2×2025 =V20252+2×2025+1-2×2025=V20252+1, =V2026×2024=V(2025+1)×(2025-1)=V20252-1. :20252-1<20252<20252+1,.V20252-1<V20252<V20252+1, <<故选D 3.已知是正整数，VI8-2是整数，则满足条件的所有的值为 答案：9,7,1 18-2n≥0， n≥1 0≤18-2n≤16 18-2n为完全平方数 18-2n=0,1,4,9,16 n=9,7,1 解析： n为正整数 3/191 重点提分A本@19章二次根式 思路：先通过是正整数和二次根式的性质求出18一2的取值范围，再由V18-2为整数得 出18-2是一个完全平方数，进而得到满足条件的18-2的值，即可求出正整数的值. 4.已知，是两个连续的正整数，<，=，求证：代数式√+一-√-一的值是 定值且为奇数 证明：由题意得=-1，>1，÷-1>0，==(-1)=2-， V+-V-一=√2-+-√2--(-1)=√2-√2-2+1 =√2-√-107=-(-1)=1， ·代数式√+一-√一一的值是定值1，是一个奇数 5.阅读下列解题过程： 1-及-③-： (1)计算： 1-是 15 64 答案： 8 解析： -放答案为 64 (2)利用这一规律计算（写出计算过程)： 1-x1-号×1- 99 1 16 2500 解：1-×1- 7 99 6 1- =x径x2x…x9= 2500 23 50 二0 (3)观察上面的解题过程，猜想： /12+1 (+1)2= (为正整数) 答案 +1 解析： ,/1、2+1 (+1)2-(2+1) 2+2+1-2-1」 2 （+102V（+1)2 V(+1)2 V+=,故答案为+ 6.核心素养运算能力先阅读，后解答： (1)利用二次根式的性质计算下列式子： 4/191 重点提分A本@19章二次根式 ①3=3，②)2-系③-2=3④√-5-5，⑤0=0. 根据上述计算，请写出√2的结果（为任意实数）， (>0), 解：√Z-= 0(=0), -(<0) (2)利用（1)中的结论，直接写出下列问题的结果： ①计算：√(3.14-π)2= 答案：π-3.14 解析：√(3.14-)2=3.14-=π-3.14.故答案为m-3.14. ②化简：V2-4+4(<2)=. 答案：2 解析：√2-4+4=√-2)2=|-21.：<2，·-2<0，V2-4+4=2-· 故答案为2- (3)应用：若√(-5)2+√(-8)2=3，则的取值范围是 答案：5≤≤8 解析：√(-5)2+√(-8)2=|-51+1-81. ①当<5时，-5<0，-8<0，·原式=5-+8-=13-2>3； ②当5≤≤8时，-5≥0，-8≤0，·原式=-5+8-=3； ③当>8时，-5>0，-8>0，·原式=-5+-8=2-13>3. :V(-5)2+V(-8)2=3,·的取值范围是5≤≤8，故答案为5≤≤8. 5/191 重点提分A本@19章二次根式 19.2二次根式的乘法 1.已知<V2(23-V2)<+1,则整数 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：V2(23-V2)=V2×2v3-(√2)2=2V6-2=V24-2.:V16<V24<V25, 4<V24<5,2<V24-2<3,即2<V2(2W3-V2)<3.<V2(2V3-V2)<+1, ·整数的值为2，故选B. 2.已知一组数据为0，√2,2，√6,2V2,V10,2V3,…,若第10个数据用字母表示，则 下列各数中，与(3+)的积为有理数的是() A.2V2-1 B.2v5+2 C.V5-1 D.√2-1 答案：D 解析：第1个数据为0=V2×0,第2个数据为V2=√2×1，第3个数据为2=V4=V2×2, 第4个数据为V6=V2×3,.,则第10个数据为=V2×9=3v2,·3+=3+3v2= 3(1+V2),·与(3+)的积为有理数的是V2-1,故选D. 3.已知，， 都是整数，且135=V15,V450=15√厂，√180=6√厂，则，，的大 小关系为 .（用“<”连接) 答案：<< 解析：V135=√15×V9=3W15,·=3.:V450=V225×V2=15√2， =2.:V180=V36×V5=6V5,:=5,·≤< 4观题与8字：日-+@月-3于®4眉-4+后 0验证：2= (23-2)+2 2(22-1)+2 22-1 22-1 2+3 式⑦验证：3-、层- (33-3)+3 3(32-1)+3 V32-1 =,3+3 8 (1)仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程； 6/191 重点提分A本@19章二次根式 4 43 解：45=5 (43-4)+4 4(42-1)+4 4+ N42-1 42-1 16 (2)猜想5 5 V24 答案： 5+ 5 24 解折：5层= 5 5+5 4 故答案为5+5 4 (3)试用含 (为自然数，且≥2)的等式表示这一规律，并加以证明 解： 21 +2(为自然数，且 ≥2) 3 证明： (2-1)+ 2-1 +2-1 5.设一个三角形的三边长分别为，，， =(++),则有下列面积公式：三 √（-)--)（海伦公式）；=、22-(+二 1(秦九韶公式). (1)若一个三角形三边长依次为5,6,7，求这个三角形的面积.小明利用海伦公式很快就可以 求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整 解：一个三角形三边长依次为5,6,7，即=5，=6，=7， =++)=2×(5+6+7)= 根据海伦公式可得=√（-)(-)(-)=一 答案：9,6V6 解析： =(++)=×(5+6+7)=9,则 =√(-)(-)(-)=√9×(9-5)×(9-6)×(9-7万=V9×4×3×2=6V6,故 答案为9,6V6. (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是√5，√6，√7，求这个三角 形的面积 7/191 重点提分A本@19章二次根式 解：=5，=6，=7.2=5,2=6,2=7，=22-(4河- 层x5×6-(21=×30-(=x30-)=×26= 2 (3)如图，在△中，∠，∠，∠的对边分别为，，，=8，=5， =7.过点作1，垂足为，求线段的长 解：：=8，=5，=7，=8+5+7=10， 2 ÷△=√10×(10-8)×(10-5)×(10-7)=10V3. “2×8×=103,a=23. 8/191 重点提分A本@19章二次根式 19.3二次根式的混合运算 1.若为正整数，且满足估算<√5×(35+V6)<+1,则的值为() A.18 B.19 C.20 D.21 答案：C 解析：V5×(3V5+V6)=V5×3V5+V5×√6=15+V30. :V25<V30<V36,即5<V30<6,:20<15+V30<21,·=20,故选C. 2.已知+=-6， =7,则代数式、「+「的值为() A-号7 B.号7 C. 0.-7 答案：A 解析：·十=-6，=7，·<0，<0， 2+2=(+)2-2=36-2×7=22, 「+下=+=上-上=-C-C=-(2+上=号7， 故选A. 3设=6-吃，=-1，=品，则，，之间的大小关系是() A.>> B.>> 0.>> D.>> 答案：C 解折：”=6-2，=3-1，-品。-68=G2 4 V6+√2 =3-13+1=2=22, 2 v3+1 3+1-V6+√2？ =6+2:4=V16>2W2=V⑧>2=V4, .> >.故选C 4.已知为实数，且+2V6与2-2√6都是整数，则的值是 答案：5-2V6或-5-2V6 解析：+2V6是整数，·中含有-2V6,·设=-2V6, 为整数， 1-26=6-26=-款2而-26=0-26.1-26是整数， 2-(2W6)2=1,=5或-5，·=5-2V6或-5-2V6. 9/191 重点提分A本@19章二次根式 5.已知=+1-V V+1+√， -千，且192+123+192=1985，则正整数 的值为 答案：2 解析： =-+=N+-2=2+1-2√（+西， (W+1-√2 =y++ (W+1+V2 ==N+N+=(N+1+V2=2+1+2√（+西， “+=4+2, =1.将=1代入192+123+192=1985，得 192+123+192=1985,化简得2+2=98， (+)2=2+2+2=98+2=100.又： 为正整数， +=4+2=10,解得=2.故答案为2. 6.数学课上，同学们对王老师写在黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭.题目 如下：化简：厂+厂+厂 ①小浩说：当，，皆为正数时，化简结果为+±√一；②小特说：当，， 皆为负数 时，化简结果为二V一；③小凌说：当<0，>0，<0时，化简结果为二√一； ④小斯说：当>0，<0，<0时，化简结果为二√一.以上同学的说法中正确的是 （填序号) 答案：①③④ 解析：①当， 皆为正数时，原式 ②当，， 皆为负数时，一<0，一无意义，故②错误 ③当≤0，>0，<0时，原式 -++-++产=二=二厂，故@正确 ④当>0，<0，<0时，原式 -尸++P-了+行+行=二=二厂，故④正确 综上，①③④正确.故答案为①③④， 7.定义：我们将V厂+√厂与√厂-√厂称为一对“对偶式”.因为（√厂+√）（厂-√=(W)- 10/191 重点提分A本@19章二次根式 (√)2=一，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决， 例如：已知V18--V11-=1,求V18-+V11-一的值，可以这样解答： :(W18--V11-)×(V18-+V11-)=(18-)2-(W11-)2=18--11+ =7,÷V18-+√11-=7. (1)已知V20-+V4-=8. ①计算：V20-一-V4-一=； 答案：2 解析：(V20-+V4-)×(V20--V4-)=(V20-)2-(V4-)2=20--4+ =16,且V20-+V4-=8,·V20--V4-=2.故答案为2. ②解方程：√20-+V4-一=8. 解：√20-一+√4-=8，移项得V20-=8-V4-,两边同时平方得 20-=64-16V4-+4-,整理得V4-=3,两边同时平方得4-=9， :=-5,则原方程的解是=-5. (2)计算：3万+5v343店+7545万+…+2023v2zit221u2a 1 1 1 解： g十+3t7N5+5N+t203NZ0z220手8+53-35+75-57 1 1 1 1 +…十 6 30 70 丽=+-+-+ 610 1014 …+22 _2023-1_-2023 40424046 24046 2023-2023=119-v7 4046 238 11/191 重点提分A本@19章二次根式 专题1二次根式比较大小的方法 方法1平方法 1.下列大小关系正确的是( A.V2>2 B.2V5>3v√2 C.、 9<- D.8<v67 答案：D 解析：(W2)2=2,22=4,V2<2,故选项A错误，不符合题意；：(23)2=12，(3V2)2=18, (2V③2<(V2,·2V3<3V2,放选项B错误，不符合题意；~（受）2=子(2=是 (受)2<（了，<号-7>-，故选项C错误，不符合题意：82=64，(N6⑦列2=67， ÷82<(67)2,÷8<V67,故选项D正确，符合题意.故选D. 平方法：先将两个要比较的数分别平方，再根据“>0，>0时，可由2>2得到 >;<0,<0时，可由2>2得到<”来比较大小.对于√厂±√厂与V厂±√厂， 若+=十，也可用此法， 2.比较VI3+√7与V17+V3的大小 解：：（√13+√7）2=20+2V91, (√17+V3)2=20+2V51, 且13+V7>0,V17+V3>0,20+2W91>20+2W51, :√13+V7>√17+√3. 方法2作差/作商法 3.比较与的大小 解：：6-5-2==6-x20-②x5=25-而=23+6=6-<0， 3V2 6 v6 6 65<2 12/191重点提分A本@19章二次根式 19.1二次根式的性质 1.若，，分别是三角形的三边长，化简V(一-)2+|+-|的结果是( A.2 B.2 C.-2 D.-2 2.若=20252-2024×2025，=V20262-2×2025,=V2026×2024,则，， 的大小关系是() A.<< B.<< 0.<< D.<< 3.已知是正整数，V18-2是整数，则满足条件的所有的值为 4.已知，是两个连续的正整数，<，=，求证：代数式√+一-√一一的值是 定值且为奇数， 5.阅读下列解题过程： 1----、1--后--，1--层-③2- (2)利用这一规律计算（写出计算过程）： 1-×1-×1-品×…×1-； (3)观察上面的解题过程，猜想： /1、2+1 +102=( 为正整数)· 3/104 重点提分A本@19章二次根式 6.核心素养运算能力先阅读，后解答： (1)利用二次根式的性质计算下列式子： ①3=3，②)2=③(-3)2=3④-5=5，⑤=0. 根据上述计算，请写出VZ的结果（为任意实数） (2)利用（1)中的结论，直接写出下列问题的结果： ①计算：V(3.14-π)2= ②化简：√2-4+4(<2)=— (3)应用：若√(-5)2+√(-8)2=3，则的取值范围是 4/104 重点提分A本@19章二次根式 19.2二次根式的乘法 1.已知<V2(23-V2)<+1,则整数的值为() A.1 B.2 0.3 D.4 2.已知一组数据为0，V2,2,V6,2V2,V10,2V3,…,若第10个数据用字母表示，则 下列各数中，与(3+)的积为有理数的是() A.2V2-1 B.2V5+2 0.V5-1 D.V2-1 3.已知，，都是整数，且V135=V15,V450=15√厂，V180=6√厂，则，，的大 小关系为 (用“<”连接) 4观察与思考：①2目-2+@3层-3+后国4层 V15 4+4 15 式0验证2-层 (23-2)+2 2(22-1)+2 22-1 22-1 2+3 式②验证： (33-3)+3 3(32-1)+3 N32-1 32-1 3+3 8 (1)仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程； 2)想5层- (3)试用含（为自然数，且≥2）的等式表示这一规律，并加以证明. 5/104 重点提分A本@19章二次根式 5.设一个三角形的三边长分别为，，， =(++),则有下列面积公式：= V（-0-)-)(海伦公式)；=22-(+二河 (秦九韶公式). (1)若一个三角形三边长依次为5,6,7，求这个三角形的面积.小明利用海伦公式很快就可以 求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整 解：·一个三角形三边长依次为5,6,7，即=5，=6，=7， =(++)=2×(5+6+7)=· 根据海伦公式可得=√(-)(-)(-)= (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是√5，V6,√7，求这个三角 形的面积. (3)如图，在△中，∠，2,4的对边分别为，，，=8，=5， =7.过点作上，垂足为，求线段的长 6/104 重点提分A本@19章二次根式 19.3二次根式的混合运算 1.若为正整数，且满足估算<√5×(35+V6)<+1,则的值为() A.18 B.19 C.20 D.21 2.已知+=-6，=7，则代数式 的值为() A-号7 B号V7 C. 0.-7 3设=6-吃，=5-1，=品，则，，之间的大小关系是() A.>> B.>> 0.>> D.>> 4.已知为实数，且+2V6与一26都是整数，则的值是 5已知=霜，-骨，且192+123+192=1985，则正整数的值为一 6.数学课上，同学们对王老师写在黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭.题目 如下：化简：厂+厂+厂 ①小浩说：当，，皆为正数时，化简结果为+±√一； ②小特说：当，，皆为负数时，化简结果为二√一； ③小凌说：当<0，>0，<0时，化简结果为二√； ④小斯说：当>0，<0，<0时，化简结果为二√ 以上同学的说法中正确的是 .(填序号) 7/104 重点提分A本@19章二次根式 7.定义：我们将V厂+√厂与√厂-√厂称为一对“对偶式”.因为（√厂+√）（厂-√）=(V2- (√厂)2=一，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决 例如：已知V18--V11-=1,求√18-+V11-的值，可以这样解答： :(V18--V11-)×(18-+V11-)=(W18-)2-(W11-)2=18--11+ =7,V18-+11-=7. (1)已知V20-+√4-=8. ①计算：V20-一-V4-一=； ②解方程：V20-+V4-=8. (2)计算：3+5N835店+7W545+…+2023w2i221w2 8/104 重点提分A本@19章二次根式 专题1二次根式比较大小的方法 方法1平方法 1.下列大小关系正确的是( A.V2>2 B.2V3>3V2 C.、 9<- D.8<v67 2.比较√13+V7与√17+V3的大小. 方法2作差/作商法 3比较气与的大小 方法3取近似值后比较 4通过估算比较大小：_（填“>”“<”或“=”）. 5通过估算比较大小：521.（填“<”“>”或“=”） 3352 方法4取中间值比较 6.比较V37-2与V3+2的大小. 9/104 重点提分A本@19章二次根式 7.比较v623-1与V531+1的大小 方法5分子/分母有理化 8比较与票的大小 9.比较23严与32的大小 3v2 23 方法6取倒数法 10.比较V2009-V2008与V2008-V2007的大小. 10/104 重点提分A本@19章二次根式 专题2二次根式的化简求值 方法7运用二次根式的双重非负性求值 1.(1)已知，是有理数，若=+-4，求 的平方根； -2 (2)已知，是等腰△的两边长，且满足22-4+4=2-5V-3,求△ 的周 长。 方法8运用数形结合法化简 2.如图，点在数轴上对应的数为，且点在，两点之间.化简： |-2引-√(-3)2+V42-20+25. 月015g4 B 方法9巧用乘法公式化简求值 3.已知=V6+2,=V6-2,求代数式2-+2的值. 11/104 重点提分A本@19章二次根式 4.若=√2+√3，=V2-V3,则3-3的值为 方法10巧用分母有理化化简求值 5已知==2，则V7+2+2的值为 6.已知=7+5 V7-, =求32-2+32的值 方法11巧用整体代换化简求值 7.请阅读下列材料：问题：已知=V5+2,求代数式2一4-7的值.小明的做法：根据= V5+2得(-2)2=5，·2-4+4=5,2-4=1.把2-4的值整体代入，得2- 4一7=1一7=一6.即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题. 仿照上述方法解决问题： (1)已知=√10-3，求代数式2+6-8的值； (2)已知=，求代数式3+22的值 12/104