第二十章：勾股定理-2025-2026学年八年级数学下册课时导练A本

课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用、课时1勾股定理 知识点1勾股定理 1.【母题变式】若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别是8和10，则另一条直角边的长是() A.3 B.9 C.6 D.36 2.在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是() A.BC2 AB2 +AC2 B.AB2 =AC2+BC2 C.LB+∠C=90 D.AC2=BC2-AB2 3.如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(1，V3),则OA的长为( A.1 B.2 C.V3 D.2 2 PA(1,3) C 1 3题图 4题图 F 4.【母题变式】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，若AB=9cm,则正方形ACDE和正方 形BCGF的面积差为( A.90 cm2 B.81 cm2 C.100cm2 D.无法计算 5.直角三角形的三边长分别为3,4，x,则x的值为 6.【新考法】在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用， 其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具.如图，这种工具的形状类似于一个直角 三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺， 则“矩尺”的较长的直角边的长是 尺 5尺 ?尺 15/91 课时导练A本@20章勾股定理 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15,AC=20,CD是AB边上的高.求： (1)AB的长： (2)CD的长 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=C,BC=a,AC=b. (1)已知a=40,b=9,求c; (2)已知c=34,a:b=8:15,求a,b. 知识点2勾股定理的证明 9.以a,b为直角边，以c为斜边作全等的直角三角形ACE和直角三角形BED,把这两个直角 三角形拼成如图所示的形状，使A,E,B三点在一条直线上求证：a2+b2=c2. D b e ◇ A E 6 B 16/91 课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 课时2勾股定理的实际应用 1.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB=90°，AC=1 .2m,BC=0.9m,则AB的长为( A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m A 2.如图，一根垂直于地面的木杆（粗细不计）在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，木杆 顶端落在距离木杆底端4m处的地面上，这根木杆在折断前的高度为( 3 m 4m A.5m B.7m C.8m D.9m 3.【新考法】象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马” 从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是( A.5 B.v5 C.13 D.V17 4.【新考法】如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距 离均为1，手指沿A一B一C一D顺序解锁.按此手势解锁一次的路径长为 17/91 课时导练A本@20章勾股定理 5.如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的AB,BC两 段构成，若BC段的长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为cm 警方提醒您已进入 >24小时监控区域 请注意您的言行举止 6.如图，实验中学位于一条南北向公路的一侧A处，门前有两条长度均为100m的小路AB,AC 通往公路L,与公路l交于B,C两点，且B,C两点相距120m. (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路的新路AD(点D在上)，使得学 生从学校走到公路的路程最短，请在图中画出AD,并计算新路AD的长度 (2)为保证学生的安全，在公路礼上的点E和点C处设置了一组区间测速装置（区间测速原理 是用车辆通过前后两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度)，点E在点B的北 侧，且距实验中学A处170m.一辆汽车经过EC区间共用时21s,若此段公路限速为40km/h (约11.1m/s),请判断该车是否超速，并说明理由 北 E B A 18/91 课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 课时3利用勾股定理进行作图与计算 知识点1利用勾股定理在数轴上表示实数 1.如图，根据尺规作图痕迹，点A表示的数为( A.V5 B.-V5 C.-1+V5 D.-1-V5 C B 0 变式图 -2-10 1D,2 【变式】如图，数轴上A点表示的数为-2，B点表示的数为1，过点B作BC⊥AB于点B, 且BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交数轴于点D,则点D表示的数为( ) A.V13 B.V13+2C.V13-2D.-V13+2 2.如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠CBA=∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以点A为圆 心，AF的长为半径作弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表 示的数为 P 3.【母题变式】甲同学用如图方法作出点C,在△0AB中，∠0AB=90°，OA=2,AB=3, 且点0，A,C在同一数轴上，0B=0C. B A.C -5-4-3-2-10123:45 -5-4-3-2-1012345 (1)甲同学所作的点C表示的数是； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图所示的数轴上作出表示-V10的点D. 19/91 课时导练A本@20章勾股定理 知识点2勾股定理与图形的面积 4.如图，在2×2的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则BC 边上的高为 5.如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程， (1)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD= (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积. 知识点3勾股定理与网格作图 6如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫作格点 (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形： (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2，√5，√13，并求出 这个三角形的面积」 图1 图2 20/91 课时导练A本@20章勾股定理 20.2勾股定理的逆定理及其应用 课时1勾股定理的逆定理 知识点1勾股定理的逆定 1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( A.1,1,1 B.2,3,4 C.V5,3,4 D.1,V3,2 2.已知a-5引+Vb-12+(c-13)2=0,则以a,b,c为边长的三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C钝角三角形 D.无法确定 3如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，下列结论不正确的是() A.BC=V5 B.AB=5 C.∠ACB=90° D.S△ABc=10 4.如图，己知AC⊥BC,CA=BD=CB=2,AD=2V3,请判断△ABD的形状，并说明理由. B 21/91 课时导练A本@20章勾股定理 知识点2勾股数 5.下面各组数中，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5 B.1,2,3 C.5,12,13 D.1,V3,2 6清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”法则的提 出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出 了下列几组勾股数：①3,4,5：②5,12,13：③7,24,25；④9,40,41…根据上 述规律，写出第⑤组勾股数为 22/91 课时导练A本@20章勾股定理 20.2勾股定理的逆定理及其应用 课时2勾股定理及其逆定理的应用 知识点1勾股定理的逆定理的实际应用 1.有一块三角形沙田，三条边长分别为50m,120m,130m,则这块沙田的面积为( A.6500m2 B.6000m2 C.3250m2 D.3000m2 2.【母题变式】甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到 达点A,乙客轮用20min到达点B,若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30° 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A.北偏西30° B.南偏西30 C.南偏东60° D.南偏西60° 3.如图1是超市的儿童玩具购物车，图2是其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm, CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm. (1)试判断△ABC的形状并说明理由； (2)求点C到AB的距离. 图1 图2 23/91 课时导练A本@20章勾股定理 知识点2勾股定理及其逆定理的综合应用 4.如图，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,则边AC上的中线BD的长为() A.5 B.4 C.2√13 D.2√10 4题图 5题图 5,如图，某乡村有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC ,分别种植梨树和桃树，经测量，∠EDC=90°，DC=30m,CE=50m,BD=70m,AB =80m,AE=10m,则四边形ABDE的面积是 【母题变式】如图，已知AC=4,BC=3,BD=12,AD=13,∠ACB=90°，则阴影部 分的面积为 B 6.图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB =CD=6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接( 即∠ABD=90)，通过计算说明该车是否符合安全标准 D 图1 图2 24/91课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用、课时1勾股定理 知识点1勾股定理 1.【母题变式】若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别是8和10，则另一条直角边的长是() A.3 B.9 C.6 D.36 答案：C 2.在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是() A.BC2 AB2 +AC2 B.AB2=AC2+BC2 C.LB+∠C=90 D.AC2=BC2-AB2 答案：B 3.如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(1，V3),则0A的长为() A(1,5) A.1 B.2 C.3 D.2 答案：B 解析：0A=12+(3)2=2. 4.【母题变式】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，若AB=9cm,则正方形ACDE和正方 形BCGF的面积差为( ) E A B A.90 cm2 B.81 cm2 C.100cm2 D.无法计算 答案：B 解析：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=9,由勾股定理，得AC2-BC2=AB2=92=81, ·.正方形ACDE和正方形BCGF的面积差为AC2-BC2=81cm2. 5.直角三角形的三边长分别为3,4，x,则x的值为 22/137 课时导练A本@20章勾股定理 答案：5或√7 解析：当4是直角边长，x是斜边长时，由勾股定理，得32+42=x2,·x=5;当4是斜 边长，x是直角边长时，由勾股定理，得32+x2=42,·x=V7.故x的值为5或V7. 6.【新考法】在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用， 其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具.如图，这种工具的形状类似于一个直角 三角形，若书中所描述的矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺， 则矩尺的较长的直角边的长是尺 5尺 ?尺 答案：12 解析：设矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为(x+1)尺，由勾股定理，得52+x2= (x+1)2,解得x=12.所以“矩尺”的较长的直角边的长为12尺. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15,AC=20,CD是AB边上的高.求： B D (1)AB的长： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=VAC2+BC2=25· (2)CD的长. 解：：SAABC=BC:AC=AB.CD,∴CD=BCAC=15x20=12.(点拨：等面积法) AB 25 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=C,BC=a,AC=b. (1)已知a=40,b=9,求c; 解：∠C=90°，a=40,b=9,÷c=Va2+b2=V402+9=41. (2)己知c=34,a:b=8:15,求a,b. 解：a:b=8:15,设a=8x(x>0),则b=15x. 23/137 课时导练A本@20章勾股定理 :∠C=90°，c=Va2+b2=√(8x)2+(15x)2=17x. 又c=34,17x=34,解得x=2,a=16,b=30. 知识点2勾股定理的证明 9.以a,b为直角边，以c为斜边作全等的直角三角形ACE和直角三角形BED,把这两个直角 三角形拼成如图所示的形状，使A,E,B三点在一条直线上.求证：a2+b2=c2. b A E B 证明：易得cED=90,由题图，可得(a+b)(a+b)=ab+c2+ab,(点拨：用两 种方法表示梯形ABDC的面积)a2+2ab+b2=2ab+c2,故a2+b2=c2. 24/137 课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 课时2勾股定理的实际应用 1.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB=90°，AC=1 .2m,BC=0.9m,则AB的长为( A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m A 答案：B 解析：∠ACB=90°，AC=1.2,BC=0.9,AB=VBC2+AC2=V0.92+1.22=1.5(m). 2.如图，一根垂直于地面的木杆（粗细不计）在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，木杆 顶端落在距离木杆底端4m处的地面上，这根木杆在折断前的高度为() 3 m 4m A.5m B.7m C.8m D.9m 答案：C 解析：木杆折断部分的长度为V32+42=5(m),、木杆折断前的高度为5+3=8(m). 3.【新考法】象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马” 从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与帅”的最大距离是() 帅 A.5 B.5 C.13 D.V17 答案：A 25/137 课时导练A本@20章勾股定理 马 解析：当马”走一步之后落到如图所示的位置时， 与“帅”的距离最大，且最大距离为V32+42=5. 4.【新考法】如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距 离均为1，手指沿A一B一C一D顺序解锁.按此手势解锁一次的路径长为 B( A⊙ D 答案：3+V5 B E 如图， A(· D 解析： 过点C作CE⊥BE于点E,由题意，得BE=1,EC=2,在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2=B E2+EC2,·.BC=VBE2+EC2=V12+22=V5,又：AB=2,CD=1,.按此手势解锁 一次的路径长为AB+BC+CD=2+V5+1=3+√5. 5.如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的AB,BC两 段构成，若BC段的长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为cm 26/137 课时导练A本@20章勾股定理 警方提醒您已进入 今24小时监控区域 请注意您的言行举止 答案：15 解析：设AB=xcm,则AC=(x+2)cm,由题意可知，∠ABC=90°，BC=8cm,在Rt△ABC 中，由勾股定理，得x2+82=(x+2)2,解得x=15,即AB段的长度为15cm· 6如图，实验中学位于一条南北向公路的一侧A处，门前有两条长度均为100m的小路AB,AC 通往公路l,与公路交于B,C两点，且B,C两点相距120m. 北 E B A (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路的新路AD(点D在上)，使得学 生从学校走到公路的路程最短，请在图中画出AD,并计算新路AD的长度 解：如图，过点A作AD⊥于点D,则AD即为所求. AB=AC,AD LL,BC=120m, ÷∠ADB=90°，BD=DC=BC=×120=60(m, 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2. AB 100 m,BD 60m,:AD =AB2 -BD2 =80 m ·新路AD的长度是80m. (2)为保证学生的安全，在公路上的点E和点C处设置了一组区间测速装置（区间测速原理 是用车辆通过前后两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度)，点E在点B的北 侧，且距实验中学A处170m.一辆汽车经过EC区间共用时21s,若此段公路限速为40km/h (约11.1m/s),请判断该车是否超速，并说明理由. 27/137 课时导练A本@20章勾股定理 解：该车没有超速 理由：如图，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，由勾股定理，得AD2+DE2=AE2, AE=170 m,AD 80m,:DE =VAE2 AD2 150 m :EC DE+DC=210m. :该车经过EC区间共用时21s，÷该车的速度为0=10(m/s). 21 :10<11.1,·该车没有超速. 28/137 课时导练A本@20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 课时3利用勾股定理进行作图与计算 知识点1利用勾股定理在数轴上表示实数 1.如图，根据尺规作图痕迹，点A表示的数为() 0 A.V5 B.-v5 C.-1+V5 D.-1-V5 答案：B 解析：由题图可得，点A到原点的距离为V22+12=√5.：点A在原点左侧，·点A表示的 数为-5. 【变式】如图，数轴上A点表示的数为-2，B点表示的数为1，过点B作BC⊥AB于点B,且 BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交数轴于点D,则点D表示的数为() B 2-101D:2 A.V13 B.V13+2C.V13-2 D.-v13+2 答案：C 解析：BC⊥AB,∠ABC=90°，~AB=1-(-2)=3,BC=2,AC=V22+32=V13, AD=AC=V13,·点D到原点的距离是V13-2,·点D所表示的数为V13-2. 2.如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠CBA=∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以点A为圆 心，AF的长为半径作弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表 示的数为 29/137 课时导练A本@20章勾股定理 答案：-V5 解析：由勾股定理，得AC=V2,AD=√3，AE=2,AF=V5, ·AP=AF=√5：点P在原点左侧，·点P表示的数为-V5. 3.【母题变式】甲同学用如图方法作出点C,在△OAB中，∠0AB=90°，OA=2,AB=3, 且点0，A,C在同一数轴上，0B=0C. 、B -5-4-3-2-10123:45 (1)甲同学所作的点C表示的数是； 答案：√13 解析：由勾股定理，得0B=VOA2+AB2=V22+32=V13, :OC=OB=V13.:点C在原点的右侧，：点C表示的数是V13. (2)仿照甲同学的做法，请你在如图所示的数轴上作出表示-√10的点D· -5-4-3-2-1012345 B 、 解：如图，点D即为所求作的点，5-43-2-101234了 30/137 课时导练A本@20章勾股定理 知识点2勾股定理与图形的面积 4.如图，在2×2的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则BC 边上的高为 B 答案：V2 解析：由题意可得， SAABC=2×2-×2×1×2-号×1×1=15.：BC=V2+1=V2, 六△4BC中BC边上的高为'登-V2. 5.如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程 D (1)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD=; 答案：14-x (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁建立方程，并求出x的值； 解：AD⊥BC,÷AD2=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2, ÷AC2-CD2=AB2-BD2,即132-(14-x)2=152-x2,解得x=9. (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积. 解：由(2)，得AD=VAB2-BD2=V152-97=12, SAARC=2BCAD=2×14×12=84, 31/137