第20章：勾股定理基础测试卷-2025-2026学年八年级数学下册单元测A本

八数下@单元测A本 第20章勾股定理基础测试卷 时间：90min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1.2025年5月10日，江苏省城市足球联赛开幕.在场馆检修中，为了确保看台的结构稳固，工 程师需要制作几个三角形支架，他选用了不同长度的钢梁作为制作三角形支架的材料，以下各 组钢梁的长度数据中，是勾股数的是() A.5,12,13 B.4,6,8 C.7,8,14 D.12,24,25 2如图，点是平面直角坐标系内一点，则点到原点的距离是() A.4 B.3 C.9 D.5 3 -P(2,7) 2 1 -2-10 1 234花 -2 3.如图，在△ 中，∠=90°，=3，=2，点在上，∠=∠， 的长为 ) A.2V3 B.v7+2 C.V13-2 D.V13+2 B D 4.一辆汽车从点出发沿正东方向行驶30km到达点，然后转向行驶40km到达点，最后 从点沿方向直接回到出发点.如果汽车从出发到返回出发点共行驶了120k,那么 的方向是( A.正东或正西 B.正南 C.正北 D.正南或正北 14/70 八数下@单元测A本 5.在△ 中，∠，∠，∠的对边分别是，，，则下列条件中不能说明△ 是直角三 角形的是() A.2-2=2 B.∠=90°-∠ C.::=1:2:3 D.6∠=2∠=3∠ 6.我国古代的数学家赵爽用数形结合的方法给出了勾股定理的证明.如图，从图(1)变换到图 (2),可以用下列式子来表示的是( h 图(1) 图(2) A.4×月 +(-)2=2 B.2+2+4× =2+4×对 c+2=2×号 D(+)2=2×( + 7.如图，一支长17cm的铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm, 内壁高12cm, 那么这根铅笔在笔筒外部分的长度h的范围是( A.2cm≤h≤5cm B.4cm≤h≤5cm C.2cm≤h≤4cm D.4cm≤h≤6cm 8如图，要在河边修建一个水泵站，分别向村和村送水，已知 村、 村到河边 的距离分别为2km和5km,且，相距V41km,则铺水管的最短长度是( A.5 km B.2√2km C.7 km D.3v10 km A D B 8题图 9题图 E 9.如图，有一张直角三角形纸片 =90°， =9cm, =15cm,将纸片翻折， 使点落在直角边 的延长线上的点处，折痕为，则 的长为( ) A.1cm B.3 cm C.5cm D.6 cm 15/70 八数下@单元测A本 10规律探究，如图，=1，过点作11且1=1，连接1，得1=V2;过点1 作1211且12=1，连接2，得2=V3:过点2作2312且23=1，连接3， 得 3=2；,按照此法继续作下去，得4019=() P A.V4017 B.7V82 C.V4019 D.2V1005 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.小明爸爸要在高0.8m,宽1.5m的栅栏门的对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m长.（不考虑木板宽度） 12.如图，数轴上点，所表示的数分别是0,3，过点作1数轴， =1,以为圆心， 长为半径画弧孤交数轴于点左侧的一点，则点表示的数是 B -4-3-2-101234 13.如图，Rt△ 中，∠=90°，=V3, =2,则点到 的距离为· B 14.新考法，如图，在Rt△ 中，∠=90°，将其绕点顺时针旋转一周，则分别以， 为半径的圆形成一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条 线段就是 B C 16/70 八数下@单元测A本 15.如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断（⊥地面)，其顶端恰好落在树 乙（树乙1地面)的根部处.若=4米，=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲 折断前的高度为米 D 甲 15题图地面 16题图A B E 16.把两个同样大小的含45° 角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 一个锐角顶点与另外一个三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直 线上.若=4，则 三 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)如图，在Rt△ 和Rt△ 中，==25， =7,=4. (1)求 的长 (2)求 的长 A B D 18.（10分)如图，有一块四边形土地 ,∠=90°，=8m,=6m, =26m =24m,求这块土地的面积. B 17/70 八数下@单元测A本 19.新考法，(10分)在图(1)中，△ 的顶点都在网格线的交点上，我们称这种三角形 为格点三角形 图（1) 图(2) (1)在图(1)中，若每个小正方形的边长为1，则= (2)在图(2)中，若每个小正方形的边长为，请在此网格中画出三边长分别为V5,22, √I7的格点三角形 20.(12分)如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂 到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部 的距离为9米 (1)求旗杆 的高度 (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至2米高的台阶上（即=2米），此时绳子 刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长是多少）？（参考数据：5≈ 2.24,结果保留1位小数) E B CD 21.（12分)如图，在△ 中， (1)若是边的中点，连接，求证：·=2一2： (2)若是 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由 18/70 八数下@单元测A本 22.综合与实践，（14分)综合与实践 【实践主题】监控器如何布设才最优？ 【实践背景】监控器有效监测距离为500m,最大旋转角度为90°村落、河流如图所示，河 流南岸长5000m(即需要监测的范围为5000m),监控布设线距离河流南岸300m,上任 意两个监控(1,2，…)之间的距离相等 河流 B C河流南岸 B南岸C - M,M, 村落 村落 图(1) 图(2) 【实践方案】 (1)方案1：如图(1)所示，从河流南岸边缘点处起， 1=500m, 1⊥，即 为监控器1监测范围；以此类推，继续设置监控器，至少需要布设多少个监控器？ (2)方案2：如图(2)所示，为监控器1监测范围，为监控器2监测范围，1⊥ 1 212,此时1=2=375m,至少需要布设多少个监控器？ 【实践总结】 (3)我认为方案是最优方案. 19/70八数下@单元测A本 第20章勾股定理基础测试卷 时间：90min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1,2025年5月10日，江苏省城市足球联赛开幕.在场馆检修中，为了确保看台的结构稳固，工 程师需要制作几个三角形支架，他选用了不同长度的钢梁作为制作三角形支架的材料，以下各 组钢梁的长度数据中，是勾股数的是() A.5,12,13 B.4,6,8 C.7,8,14 D.12,24,25 答案：A 解析：A选项，52+122=169=132,5,12,13是勾股数，故该选项正确，符合题意；B 选项，42+62=52≠82,4,6,8不是勾股数，故该选项错误，不符合题意；C选项，72+82= 113≠142,7,8,14不是勾股数，故该选项错误，不符合题意；D选项，122+242=720≠252 ,12,24,25不是勾股数，故该选项错误，不符合题意.故选A. 2.如图，点是平面直角坐标系内一点，则点到原点的距离是() A.4 B.3 C.9 D.5 Y↑ 4 3 -P(2,√7) 2 1 -2-101234x -2 答案：B 解析：依题意，得点的坐标为（√2，√，·点到原点的距离是 (2-0)2+(W7-0)2= V=3,故选B. 3.如图，在△中，∠=90°，=3， =2,点在上，∠=∠， 的长为 A.23 B.V7+2 C.V13-2 D.V13+2 19/111 八数下@单元测A本 B D 答案：D 解析：∠=90°，=3，=2，·=√2+Z=V32+22=V13 , =∠，·==V13,=+=V13+2,故选D 4.一辆汽车从点出发沿正东方向行驶30km到达点，然后转向行驶40km到达点，最后 从点沿方向直接回到出发点.如果汽车从出发到返回出发点共行驶了120km,那么 的方向是( A.正东或正西 B.正南 C.正北 D.正南或正北 答案：D 解析：由题意得，汽车从点沿方向直接回到出发点行驶了120-30-40=50(km). 302+402=502,÷1,· 的方向是正南或正北，故选D 5.在△ 中，∠，∠，∠的对边分别是，，，则下列条件中不能说明△ 是直角三 角形的是( ) A.2-2=2 B.∠=90°-∠ C.::=1:2:3 D.6∠=2∠=3∠ 答案：C 解析：：2-2=2，÷2=2+2，÷△ 是直角三角形，故A选项不符合题意：”∠= 90°-∠，·∠+∠=90°，∠=90°，△ 是直角三角形，故B选项不符合题意； ~::=1:2:3,设=，则=2，=3，则+=3=，不能构成三角形，故C 选项符合题意；6L=2∠=3∠，心设∠=，则∠=3，∠=2.×∠+∠十∠= 180°，÷+2+3=180°，解得=30°，.最大的角为∠=90°，·△ 是直角 三角形，故D选项不符合题意.故选C 6.我国古代的数学家赵爽用数形结合的方法给出了勾股定理的证明如图，从图(1)变换到图 (2),可以用下列式子来表示的是( 20/111 八数下@单元测A本 图(1) 图(2) A.4×3 +(-)2=2 B.2+2+4×2 =2+4× c(+P=2x对+号2 D(+)2=2×(+号2) 答案：A 解析：根据题图(1)可得该几何图形的面积为4×+（一）2，根据题图(2)可得该几 何图形的面积为名，÷4×；+（一）2=2，故选A 心得：勾股定理的证明一证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形， 然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理即可」 7.如图，一支长17cm的铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm,内壁高12cm, 那么这根铅笔在笔筒外部分的长度h的范围是( A.2cm≤h≤5cm B.4cm≤h≤5cm C.2cm≤h≤4cm D.4cm≤h≤6cm 答案：B 解析：当铅笔与笔筒底面垂直时h最大，h的最大值为17-12=5(cm). 当铅笔如图A 放置时h最小，在Rt△中， =5cm, =12cm,由勾股 定理得 =√2+Z=V52+122=13(cm),÷h的最小值为17-13=4(cm),·.h的取 值范围是4cm≤h≤5cm.故选B. 8如图，要在河边修建一个水泵站，分别向村和村送水，已知村、村到河边的距离分别 21/111 八数下@单元测A本 为2km和5km,且，相距V41km,则铺水管的最短长度是( B A Ch A.5 km B.2v2 km C.7km D.3v10 km 答案：D 解析：如图二E 作关于的对称点，过作1 交 的延长线于 ,连接交于，连接 ,则 ，·十=十=，·当水泵站建在点 处时，铺水管的长度最短，最短为 的长.=2km,=5km, =√41km,.易得= =2km, ==V41km,.=7km.在Rt△ 中， =√2+2= (W41)2+72=3V10(km),÷铺水管的最短长度是3√10km,故选D. 9.如图，有一张直角三角形纸片 ,∠=90°，=9cm, =15cm,将纸片翻折， 使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为() B E A.1cm B.3 cm C.5 cm D.6 cm 答案：B 22/111 八数下@单元测A本 解析：在Rt△中，：∠=90°，=9cm，,=15cm,÷=√2-Z=12cm 根据翻折的性质可知，==15cm,·=-=15-12=3(cm),故选B. 10规律探究，如图，=1，过点作11且1=1，连接1，得1=V2;过点1 作1211且12=1，连接2，得2=V3;过点2作2312且23=1，连接3， 得3=2；，按照此法继续作下去，得4019=() ◇ A.V4017 B.7v82 C.V4019 D.2V1005 答案：D 解析：=1， 1=V2, 2=V3, 3=V4=2, ·4=√22+1z=V5, 5=J(5)2+12=V6, 6=(6)2+12=V7, …,六 =√W)2+12=√+1， 4019=V4019+1=V4020=2V1005.故选D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.小明爸爸要在高0.8m,宽1.5m的栅栏门的对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m长.（不考虑木板宽度） 答案：1.7 解析：这条木板的长为v0.82+1.52=1.7(m).故答案为1.7. 12.如图，数轴上点，所表示的数分别是0,3，过点作1数轴， =1,以为圆心， 长为半径画弧交数轴于点左侧的一点，则点表示的数是 23/111 八数下@单元测A本 B A -4-3-2-101234 答案：-V10 解析：1数轴，·∠=90°.：数轴上点，所表示的数分别是0,3， =3.￥ =1,·=√2+Z=V32+12=V10, =√10，·点表示的数是0-√10=-√10，故答案为-√10. 13.如图，Rt△ 中，∠=90°，=√3，=2，则点到 的距离为 B 答案：号 解析：由勾股定理得， =√2-2=22-(3)2=1.设点到 的距离为h,则△= 1 ·=号h,h=一=故答案为 14.新考法，如图，在Rt△ 中，∠=90°，将其绕点顺时针旋转一周，则分别以， 为半径的圆形成一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条 线段就是 答案： 解析：Rt△ 中，人=90°，÷2=2-2，x图环=大圆-小圆=： 2-π 2=π·(2-)=π·2，：只需测量线段的长度即可计算出圆环的面积 15.如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断（⊥地面)，其顶端恰好落在树 24/111 八数下@单元测A本 乙（树乙1地面）的根部处.若=4米，=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲 折断前的高度为米 甲 地面 答案：19 A 乙 甲 B 地面 D 解析：如图所示 过点作上交的延长线于点由题意 可得 =12米， =4米， =13米.在Rt△ 中， =V2-7=5米，·= +=9米在Rt△ 中， =V2+2=V92+122=15(米)，÷+= 15+4=19(米)，故树甲折断前的高度是19米.故答案为19. 16.把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 一个锐角顶点与另外一个三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直 线上若 =4,则 A B E 答案：2V6-2V2 解析：由勾股定理得， =√2+2=4V2，x==42. D ▣ 如图A B E,作1于.“ 25/111 八数下@单元测A本 ===2 =2W2.由勾股定理得，=V2-2=2V6, -=2V6-2V2,故答案为2V6-2V2. 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)如图，在Rt△和Rt△ 中，==25，=7，=4 A C B D (1)求 的长： 解：在Rt△ 中，由勾股定理得，=√2-2=V√252-72=24.(3分) =4,∴. -=24-4=20.(4分) (2)求 的长 解：在Rt△ 中，由勾股定理得， =√2-Z=√252-202=15，(7分) =15-7=8.(8分) 18.(10分)如图，有一块四边形土地 =90°，=8m,=6m, =26m =24m,求这块土地的面积. B 解：如图，B 连接.在Rt△ 中，由勾股定理， 得2=2+2=82+62=100，所以=10m.(4分) 在△中，2-2=262-242=100=102=2， 即2+2=2，所以△ 为直角三角形，且上 =90°， 26/111 八数下@单元测A本 所以=△一△ =号×10×24-号×8×6=96(m2), 2 2 所以这块土地的面积为96m2.(10分) 19.新考法，（10分)在图(1)中，△ 的顶点都在网格线的交点上，我们称这种三角形 为格点三角形 图(1) 图(2) (1)在图(1)中，若每个小正方形的边长为1，则= 答案：√13 解析： =V22+32=√13.故答案为V13,(4分) (2)在图(2)中，若每个小正方形的边长为，请在此网格中画出三边长分别为5,2V2, v17 的格点三角形 解：如图所示，△ 就是所求作的三角形其中=V5，=2V2,=√17.(10分) 20.(12分)如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂 到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部 的距离为9米. B CD 27/111 八数下@单元测A本 (1)求旗杆 的高度； 解：设旗杆的高度为米，则为(+3)米在Rt△ 中， 由勾股定理得2+92=(+3)2，解得=12. 答：旗杆 的高度为12米.(4分) (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至2米高的台阶上（即=2米），此时绳子 刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长是多少）？（参考数据：5≈ 2.24,结果保留1位小数) ---1 解：如图， B CD过作上于点，则四边形 是长方形，==2 米， =12-2=10(米).(7分)》 由(1)可知， =12+3=15(米).在Rt△ 中， 由勾股定理得 =√2-z=√152-102=5V5(米)，(10分) =55米，÷ -=(5V5-9)米≈2.2米 答：小明需要后退约2.2米.(12分) 21.(12分)如图，在△中， B (1)若是边的中点，连接，求证： =2-2: 证明：：△ 是等腰三角形，=，是边的中点，。上， 在Rt△ 中， 2=2+2,42-2=2= ·.(5分) (2)若是边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由 解：成立.(6分) 28/111