第20章：勾股定理提优测试卷-2025-2026学年八年级数学下册单元测A本

八数下@单元测A本 第20章勾股定理提优测试卷 时间：90min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车炮”两棋子所 在格点（小正方形的顶点）之间的距离为() 楚河 汉界 炮 帅 A.5 B.3 C.10 D.4V10 2.分别以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A草子吉 B.1,V2,V3 C.32,42,52 D.3,V4,5 3.若a,b为△ABC的两边长，且满足la-3+Vb-5=0,则△ABC的斜边长为( ) A.4 B.V34 C.4或V34 D.5或√34 4.如图是宝安公园一角的平面地图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到 终点C的距离是30米，如果∠ABC=90°，那么A,C两点之间的距离大约是（参考数据：V2≈ 1.4)( A.35米 B.42米 C.60米 D.72米 B 起点4 30米 30米 4题图 5题图 0 C龙 5.新考法，如图，平面直角坐标系x0y中，点A,B的坐标分别是(-2,0)和(0,3)，以A为圆 心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标是() A.-V13 B.V13 C.-2-V13 D.-2+V13 20/70 八数下@单元测A本 6.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6,AB的垂直平分线交AC于点E,交BC的延长 线于点F,垂足为D,连接AF,则AF的长度是() B A.3√2 B.6√2 C.3 D.6 7.如图(1)是一个可调节平板支架，其结构示意图如图(2)所示，己知平板宽度AB为16， 支架BC的长度为12，当∠ABC=90°时，测得AC=20,保持此时△ABC的形状不 变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是() B 图(1) 图(2) D A.8 B.8.6 C.9 D.9.6 8如图是一个供滑板爱好者使用的形池的示意图，该形池可以看成是长方体去掉一个“半 圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为9米的半圆，其边缘AB=CD=20米，点E在CD 上，CE=5米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为() A.24米 B.25米 C.26米 D.27米 40 K B 20 8题图 9题图B D 9.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=5,CD=4,且AC=AD.记AB长为x,AC长为 y,当x,y的值变化时，下列代数式的值不变的是( ) A.x2-y2 B.x2+y2 C.x-y D.x+y 21/70 八数下@单元测A本 10.传统文化，我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为“勾”，较长边为“股”， 斜边为“弦”.如图(1)所示，将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，借助这 种分割方法所得的图形可以证明勾股定理.如图(2)所示的长方形是由两个如图(1)所示的“勾 股形拼接而成，若a=3,b=1,则长方形的面积为() B 图(1) 图(2) A.6 B.9 C.12 D.15 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.在△ABC中，若AC2=BC2-AB2,则∠=90° 12.如图，货车卸货时挡板AB折落至A1B处，点A1在地面上.已知点A,B,C在一条直线上， AC⊥A1C,A1C=1.6 ,BC=1.2,则车高AC=一 13.如图，长方形ABCD中，AB=2,AD=10,将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF,则BE的长为， 14.如图，钓鱼竿AB的长为6，露在水面上的鱼线BC长为2.钓鱼者想看鱼钩上的情况， 把钓鱼竿AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为3V2,则CC'的长为 B 22/70 八数下@单元测A本 15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边， 向外作四个正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4,若S1=8,S2=11,S3=15,则S4的值是 G 4 B 15题图 16题图 16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD为△ABC的中线，FE垂直平分AB 交AD于点G,则GD= 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)如图，在△ABC中，AC=13,AB=12,BC=5,D是BC延长线上一点，连接AD ,若AD=20,求CD的长. B 18.(10分)小丽在物理实验课上利用如图所示的“光的反射演示器直观呈现了光的反射原理， 她用激光笔从量角器左侧边缘点A处发出光线，经量角器圆心0处（此处放置平面镜）反射 后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处(C为量角器最右侧边缘点，0为量角器的中心，C, 0,B三点共线，AB⊥BC,CE⊥BC).小丽在实验中还测得AB=6,BC=12.依据以上 数据，求量角器的半径OC的长. E D B 23/70 八数下@单元测A本 19.(10分)如图，一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100到达B岛，再从B岛沿BM 方向航行125 到达C岛，A港到航线BM的最短距离AD是60 (1)若轮船速度为25/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间. (2)C岛在A港的什么方向？ M 北 D 东 B 20.项目式学习，(12分)某学习小组进行勾股定理的项目式探究： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法 ④将左、右两部分拼接在 ①在纸片上绘制两个边 ②将左、 ③将右 起（提示：相当于两个 步骤 长分别为a,b的正方形， 右两部分 侧部分 直角三角形和一个正方 并连线 剪开 翻转 形拼接在一起) 续表 利用剪拼法证明勾股定理 步 骤 说明：①中大正方形有两条边分别与小正方形的两条边在一条直线上： ①中多边形的面积为S1:④中多边形的面积为S2 24/70 八数下@单元测A本 问题解决 任务（1)请用含a,b,c的代数式分别表示S1,S2 (2)请利用等积法证明勾股定理 21探究性问题，（12分)新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边 上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边的交点为勾股顶点” 【特例感知】①等腰直角三角形“勾股高三角形”（填“是”或“不是”）； ②[中]如图(1)，已知△ABC为勾股高三角形”，其中C为“勾股顶点”，CD是AB边上的 高.若BD=1,AD=2,试求线段CD的长度， 图(1)BD 【深入探究】[中]如图(2)，已知△ABC为“勾股高三角形”，其中C为勾股顶点”，且CA>CB CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明. 图(2)BD 25/70 八数下@单元测A本 22.(14分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20,BC=12,点P从点A出 发，沿着射线AC以2/的速度运动，运动时间为t,连接PB· B B AP 备用图 (1)若PC=BC,则t的值为 (2)当PA=PB时，求t的值； (3)当△ABP是直角三角形时，求t的值 26/70八数下@单元测A本 第20章勾股定理提优测试卷 时间：90min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1.如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车炮”两棋子所 在格点（小正方形的顶点）之间的距离为() 楚河 汉界 炮 帅 A.V5 B.3 C.v10 D.4v10 答案：C 解析：由题意得，“车炮”两棋子所在格点之间的距离为V12+32=√10，故选C. 2.分别以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A草子 B.1,V2,V3 C.32,42,52 D.3,V4,V5 答案：B 解析：：()2+()2≠()子，：不能构成直角三角形，故A选项不符合题意： “12+(√2)2=（③）2，·能构成直角三角形，故B选项符合题意： (32)2+(4)2≠(52)2，·不能构成直角三角形，故C选项不符合题意： :(√3)2+（√④2≠(5）2，·不能构成直角三角形，故D选项不符合题意.故选B. 3若a,b为△ABC的两边长，且满足|a-3引+Vb-5=0,则△ABC的斜边长为( A.4 B.V34 C.4或v34 D.5或V34 答案：D 解析：：1-3引+√-5=0，÷=3，=5.当，是直角边长时，斜边长 为V32+52=V34;当是斜边长时，斜边长为5.故选D 31/111 八数下@单元测A本 4.如图是宝安公园一角的平面地图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到 终点C的距离是30米，如果∠ABC=90°，那么A,C两点之间的距离大约是（参考数据：V2≈ 1.4)() B 起点A 30米 30米 A.35米 B.42米 C.60米 D.72米 答案：B 解析：连接.·=30米， =30米，∠ =90°， =√2+2=30V2≈42（米），故选B. 5.新考法，如图，平面直角坐标系x0y中，点A,B的坐标分别是(-2,0)和(0,3)，以A为圆 心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标是() B 0 A.-V13 B.V13 C.-2-V13 D.-2+√13 答案：D 解析：·点，的坐标分别是(-2,0)和(0,3)，÷=2，=3. 在Rt△ 中，由勾股定理得=√2+2=√22+32=√13. =√13，·点的横坐标为-2+√13，故选D. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6,AB的垂直平分线交AC于点E,交BC的延长 线于点F,垂足为D,连接AF,则AF的长度是() 32/111 八数下@单元测A本 D E B A.3V2 B.6V2 C.3 D.6 答案：A 解析： 是线段 的垂直平分线，· =3,∠ =90°. ∠ =45°，·△ 是等腰直角三角形， =3,÷ =√2+z=V32+32=3V2,·=3V2.故选A, 7.如图(1)是一个可调节平板支架，其结构示意图如图(2)所示，已知平板宽度AB为16， 支架BC的长度为12，当∠ABC=90°时，测得AC=20,保持此时△ABC的形状不 变，当CB平分LACD时，点B到CD的距离是() 图(1) 图(2) A.8 B.8.6 C.9 D.9.6 答案：D 解析：过点作⊥于点，⊥于点，如图所示 平分∠ 在△中，∠=90°， =20cm, =16cm, =12cm, 由三角形的面积公式得△=； =1 2 2 =·=16x12=9.6(cm),· 20 =9.6cm, ·点到 的距离是9.6cm.故选D. 33/111 八数下@单元测A本 A D 8.如图是一个供滑板爱好者使用的形池的示意图，该形池可以看成是长方体去掉一个“半 圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为9米的半圆，其边缘AB=CD=20米，点E在CD 上，CE=5米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为() 40 20 A.24米 B.25米 C.26米 D.27米 答案：B B 解析：如图，D A将U形池展开，由题意得 =×π×0=20（米）， :=20 米， =15米.在Rt△ 中，由勾股定理得202+152=2，解得=25 (负值已舍去)，故他滑行的最短距离为25米.故选B. 9.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=5,CD=4,且AC=AD.记AB长为X,AC长为 y,当x,y的值变化时，下列代数式的值不变的是( ) B D A.x2-y2 B.x2 y2 C.x-y D.x+y 答案：A 解析：如图，过点作⊥，垂足为，则∠ =90°.=，1，== 34/111 八数下@单元测A本 1 2 =2.× =5,÷=+=5+2=7.在t△中，2=2-2=2- 49,在Rt△ 中，2=2-2=2-4,2-49=2-4，÷2-2=45， 当， 的值变化时，2一2的值不变，故选A B D E C 10.传统文化，我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为“勾”，较长边为“股”， 斜边为“弦”.如图(1)所示，将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，借助这 种分割方法所得的图形可以证明勾股定理如图(2)所示的长方形是由两个如图(1)所示的“勾 股形拼接而成，若a=3,b=1,则长方形的面积为() B 图(1) 图(2) A.6 B.9 C.12 D.15 答案：C G E 解析：如图， DC 由题意得=====1， =2.设 =，4=+1,=+2. 在直角三角形 中，由勾股定理得2=2+2， (+2)2=(+1)2+32,解得=3，=3，·=4， 长方形的面积为3×4=12.故选C 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 35/111 八数下@单元测A本 11.在△ABC中，若AC2=BC2-AB2,则∠=90° 答案： 解析：2=2-2，÷2+2=2，△ 是直角三角形，且边是斜边， ∠ =90°.故答案为 12.如图，货车卸货时挡板AB折落至A1B处，点A1在地面上.已知点A,B,C在一条直线上， AC1A1C,A1C=1.6,BC=1.2,则车高AC=· 答案：3.2 解析： 11,·∠1=90°在Rt△1中， 1=1.6m, =1.2m,÷1=√2+1Z=2m,÷=2m, 十 =2+1.2=3.2(m),故答案为3.2. 13.如图，长方形ABCD中，AB=2,AD=10,将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF,则BE的长为 D 答案：音 解析：根据折叠可知，=.设==，则=10-在Rt△ 中，2=2+ 2,即2=(10-}+2，解得=华。的长为2.故答案为号 14.如图，钓鱼竿AB的长为6，露在水面上的鱼线BC长为2.钓鱼者想看鱼钩上的情况， 把钓鱼竿AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为3v√2，则CC'的长为 36/111 八数下@单元测A本 CHCH 答案：√2m 解析：在Rt△''中，'=3V2m, '=6m, =√2-z= 62-(3V2)2=3v2(m). 在Rt△ 中， =2m, =6m, =√2-z=V62-22=4V2(m), ·=-'=4V2-3v2=√2(m),故答案为V2m. 15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边， 向外作四个正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4,若S1=8,S2=11,S3=15,则S4的值是 D C 答案：18 B D C 解析：如图， 连接.：1=8,2=11,3=15， 2=8, 2=11,2=15.在Rt△ 与Rt△中， 37/111 八数下@单元测A本 由勾股定理得，2=2+2=2+2=26， 2=2-2=26-8=18,÷4=18,故答案为18. 16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD为△ABC的中线，FE垂直平分AB 交AD于点G,则GD= G B D 答案： G B 解析：如图， C连接 因为是 的垂直平分线，所以 .因为==10， =12, 为△ 的中线， 所以 = =6, ⊥，所以∠ =90°， 所以2=2-2=102-62=82，所以=8.设 =,则==8- 由勾股定理得2=2+乙，所以(8-尸=62+2，解得=子，所以=子 故答案为 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)如图，在△ABC中，AC=13,AB=12,BC=5,D是BC延长线上一点，连接AD ,若AD=20,求CD的长. 38/111 八数下@单元测A本 A B C D 解：=13， =12,=5, ÷2+2=122+52=169,2=132=169,÷2+2=2, △是直角三角形，且∠ =90°.(4分) =20,.=V2-2=√202-122=16， =-=16-5=11.(8分) 18.(10分)小丽在物理实验课上利用如图所示的“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理. 她用激光笔从量角器左侧边缘点A处发出光线，经量角器圆心0处（此处放置平面镜）反射 后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处(C为量角器最右侧边缘点，0为量角器的中心，C, O,B三点共线，AB1BC,CE1BC).小丽在实验中还测得AB=6,BC=12.依据以上 数据，求量角器的半径OC的长. D B O C 解：⊥，∠ =90°，设= =cm.:=12cm, - =(12-)cm.(3分) 在Rt△ 中， =6cm,2+2=2,36+(12-)2=2, 解得=7.5，(7分) ==7.5cm,量角器的半径的长为7.5cm.(10分) 19.(10分)如图，一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100到达B岛，再从B岛沿BM 方向航行125 到达C岛，A港到航线BM的最短距离AD是60· 39/111 八数下@单元测A本 M 北 东 (1)若轮船速度为25/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间. 解：由题意得 =60km,=100km, =125km.在Rt△ 中，2+2=2， 即602+2=1002， =80km,(3分) =125-80=45(km), =√2+z=√452+602=75km).75÷25=3h). 答：轮船从岛沿返回港所需的时间为3h.(6分) (2)C岛在A港的什么方向？ 解： =75km,2+2=1002+752=15625.又 :2=1252=15625,÷2+2=2,∠=90°，(9分) ∴∠ =180°-90°-48°=42°，岛在港的北偏西42°方向.(10分) 20.项目式学习，(12分)某学习小组进行勾股定理的项目式探究： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法 ④将左、右两部分拼接在 ①在纸片上绘制两个边 ②将左、 ③将右侧 一起（提示：相当于两个 步骤 长分别为a,b的正方形， 右两部分 部分翻转 直角三角形和一个正方形 并连线 剪开 拼接在一起) 续表 利用剪拼法证明勾股定理 40/111