第19章：二次根式提优测试卷-2025-2026学年八年级数学下册单元测A本

八数下@单元测A本 第19章二次根式提优测试卷 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1.[2025南昌月考]下列式子是二次根式的是() A.V-7 B.V⑧ C.V3 D.V2+1 答案：D 解析：A选项，√-7无意义，故本选项不符合题意：B选项，√⑧的根指数是3，不是2，故 本选项不符合题意：C选项，当<0时，根式无意义，故本选项不符合题意：D选项，该式 子符合二次根式的定义，故本选项符合题意故选D. 2.下列各根式中，不能与v2合并的是( A月 B.v8 C.v12 D.3V2 答案：C 解析：A选项，原式=号，能与V2合并，故本选项不合题意：B选项，原式=2V2,能与V2合 并，故本选项不合题意；C选项，原式=2√3，不能与√2合并，故本选项符合题意；D选项， 3√2能与√2合并，故本选项不合题意.故选C 3.下列各式中，化简正确的是() A.V4=±2 B.V(-3)2=-3 C.(-V13)2=13 D.(V1-3)2=-3 答案：C 解析：A选项，√4=2，原计算错误，不符合题意；B选项，√(-3)2=3，原计算错误，不 符合题意；C选项，(-V13)=13,原计算正确，符合题意；D选项，（√-3）2=3，原 计算错误，不符合题意故选C 4.估计×（五-V6)的值在( A.3到4之间 B.2到3之间 C.1到2之间 D.0到1之间 故选D. 10/111 八数下@单元测A本 解析： 化简 估值 原式-×-胥×后1<2 1 =2-V2 .∴0k2-2<1 5新考法，若式子（√2-1）□√2的运算结果是有理数，则“o”中的运算符号可以是() A.+ B.- C.× D.÷ 答案：B 解析：A选项，(W2-1)+V2=2V2-1,是无理数，不符合题意；B选项， (2-1)-V2=-1,是有理数，符合题意；C选项，(2-1)×√2=2-V2,是无理数， 不符合题意：D选项，(V2-)÷V2=1-号，是无理数，不符合圈意故选B, 6.已知V4-一+4=，则V+5的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 答案：B 解析：~V4-+4=,心V4-一=-4，-4≥0,4-≥0，÷=4， √+5=V4+5=3,故选B. 心得二次根式的双重非负性（二次根式√厂：≥0，√厂≥0） 7.已知V√厂+子=3，且0<<1，则V厂-的值是( ) A.-V5 B.±V5 C.5 D.-V7 答案：A 解析：：0< <1,V<,V-子<0.“V厂+}=3， ÷(W厂+)2=9，÷+2+1=9，÷-2+1=5， (W厂-)=5.：√厂-<0，V厂-=-5，故选A 8.下图是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等 在下图中，两个空格内所填的实数之积为() 11/111 八数下@单元测A本 32 2 5 1 6 3 √2 A.4V2 B.5V2 C.6v2 D.32 答案：C 解析：由题意得题图中矩阵的对角线、横向、纵向的数字之积为3√2×√3×2=6V6,·第 二行中间的数为6v6÷1÷6=6v6÷6=√6，第三行第一个数为6V6÷3÷√2=2V6÷ √2=2V3,÷两个空格内所填的实数之积为V6×2V3=2V18=6V2，故选C. 9传统文化，我国宋代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦都曾提出利用三角形的三边长求三角 形面积的公式称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记=十， 那么三角形的面积为=√(-)(-)(-).如图，在△ 中，∠，∠，∠所对的边 分别记为，，，若=7，=8，=9，则△ 的面积为( A.12V5 B.12V6 C.24 D唱 b B C 答案：A 解析：：=7，=8，=9，·=+，土=78+9=12， 2 2 ÷6=√（-)(-)(-)=√12×(12-7)×(12-8)×(12-9)=V720=12V5 ,故选A 10.己知，是两个连续的偶数(0<<)，且=-2，=+2，=V+4+V+4, 则下列对的表述中正确的是( ) A.总是奇数 B.总是偶数 12/111 八数下@单元测A本 C,总是无理数 D.可能是有理数，可能是无理数 答案：B 解析：=-2，=+2， =+4+√+4=V+2)+4+√(-2)+4 =√+2+4+V-2+4. :,是两个连续的偶数(0<<)，·=+2， =√（+2)+2+4+√(+2)-2(+2)+4 =√2+2+2+4+√2+2-2-4+4 =√2+4+4+√2=√+2)2+√2=+2+ =2+2=2(+1),·总是偶数.故选B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.将V1.5化为最简二次根式为 答案：9 21 故答案为 2 12.当的取值范围为 时， 答案： >7 解析： +2 +2≥0，①解不等式①，得≥-2，解不等式②， -7>0,② 得>7，>7，即 >7时， +2=+故答案为>7， 心得 成立的条件（≥， >0) 13.不等式v√3-V6>√2的解集是 答案：>3V2+23 解析：3-V6>V23-2>V6,(3-②>V6,解得>， 即>3√2+2√3. 13/111 八数下@单元测A本 14.如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 18 8 答案：24 解析：两个小正方形的边长分别为V⑧=2V2和V18=3√2，大正方形的边长为2√2+3V2= 5√2，÷大正方形的面积为(5√2)2=50，·题图中阴影部分面积为50-8-18=24，故答 案为24 15.人们把叫作黄金分割比五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割比。 =5若 =4,则 答案：4V5-8 解析：：一=一=51，“=51=51×4=25-2， 2 2 2 =5-1 2 =51x(2V5-2)=6-2W5, 2 =25-2-(6-2V5=4V5-8,故答案为4V5-8. 16新考法，若和都是正整数且<，√厂和v厂是可以合并的二次根式，下列结论中正确的 有 ·(填序号) ①只存在一组和使得V厂+V厂=√18： ②只存在两组和使得√厂+V厂=V丐； 14/111 八数下@单元测A本 ③不存在和使得V厂+V厂=√250； ④若只存在三组和使得v√厂+V厂=√厂，则-的值为36或8. 答案：①② 解析：①“和都是正整数且<，√厂和√厂是可以合并的二次根式，√厂+√厂=V18=3V2, ·=2,=8,故①正确：②：√厂+√=V75=5V3,·当=3时，=48，当=12 时，=27，故②正确③：√厂+√厂=V250=5√10，：当=10时，=160，当=40 时，=90，故③错误；④设√=√厂，√厂=√厂√=V厂，，，，均为正整数，且V厂为最简 二次根式，当只存在三组和使得厂+V厂=√厂时，有以下情况：√厂+6V厂=7√厂，2√厂+ 5√厂=7√Γ，3√厂+4W厂=7√厂或V厂+7√厂=8V厂，2WΓ+6W厂=8W厂，3W厂+5√厂= 8v√厂，∴-的值为49或9或铝或64或16或，故④错误故答案为①②. 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(9分)计算： (1)V28÷√7+(2√7+5)(2W7-5). 解：原式=√28÷7+28-25(2分) =2+3=5.(3分) 2)W5-2⑩÷5+mx3层 解：原式=√10-2+3v10(5分) =4v10-2.(6分) (3)(6-2w3)×V3-2-22+2: 解：原式=6v3-6-(2-V②+竖(7分) =63-6-2+V2+2(8分) =63-8+2.(9分) 18.(9分)若，是实数，且=V4-1+V1-4+号， 15/111 八数下@单元测A本 求(9+√4)-(3+√25的值. 解：依愿意得-41三8解得 =,(2分)所以=3，(4分) 所以（径9+√4）-(W3+√25 (6分) =+9- :(8分) =日-号.(9分) 19.(10分)定义：若两个二次根式，满足·=，且是有理数，则称与是关于的“因 子二次根式” (1)若与√2是关于4的“因子二次根式”，则=： 答案：2√2 解：根据题意得×√2=4，解得=2√2，故答案为2√2.(4分) (2)若√3-1与-V3是关于-2的因子二次根式”，求的值 解：根据题意得(V3-1)×(-V③)=-2，所以-3=-后=-V3-1,(8分) 解得=-1，即的值为-1.(10分) 20.(12分)如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来 回摆动一次所用的时间（单位：s)与细线的长度（单位：m)之间满足关系式=2π10 (1)当细线的长度为0.6m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？ (结果保留一位小数，参考数据：√6≈2.45，π≈3) 解：=2m0÷当=0.6m时，≈2×3× =6×V0.06=6×0.1×V6≈6×0.1× /10 2.45=1.47≈1.5(s). 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.5s,(6分) 16/111 八数下@单元测A本 (2)当小重物来回摆动一次所用时间为3πs时，求细线的长度. 解：当=3πs时，3π=2π 解得=22.5(m)· 答：细线的长度是22.5m,(12分) 21.(12分)我们在学习二次根式时，学习了分母有理化及其应用.其实，有一个类似的方法叫 作“分子有理化” 例如：V7-V6=7-+6= 1 V7+V6 √7+V 分子有理化可以用来处理二次根式的某些问题 例如：比较√7-V6和V6-V5的大小. 解：V7-6=本6V6-5=6s 因为7+V6>V6+5,所以6<5所以v7-V6<V6-V5. 利用上面的方法，完成下列问题： (1)比较V15-√14和v14-√13的大小： 解：V5-V14=压-G+西= s+m'V4-V1-4-v国4+v国 1 1 V15+vV14 √14+V13 V14+V13 :V压+4>V4+,“+<+V西-V4<4-3.(6分) 1 (2)求=V+1-V-1+3的最大值. 解：由题意得+1≥0，-1≥0，·≥1· =V+7-V=+3=回+3=7后+3,9分》 2 V+1+V√-1 当=1时，分母V+工+√-1取得最小值V2,此时=+后+3有最大值， 2 最大值是3+√2，即=V+1-√-1+3的最大值是3+V2.(12分) 22.探究性问题（14分) 【问愿初探】小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现：高=1-分女=左一子文= 子·，在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次根式 的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1： 1+京+=1+=1+1-号： 17/111 八数下@单元测A本 特例2： 1+2z+=1+=1+}- 2×3 23； 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子). 解：由二次根式的运算规律可得， 1+ 1 =1+，故答案为+京+=1+ 1 (答案不唯一).(3分) 【发现规律】 1++号 ( ≥2，且为整数) 答案：1+ -1 _1 解析：由二次根式的运算规律可得 1+平+号=1+片-上.证明：左边 -1 2(-102 (-102 4-23+32-2+1 2(-1)2 2(-0+ 4-23+22+2-2+1= 2(-1)2 2(-1)2 2(-1)2 4-22(-1)+(-1)2 2(-1)2 2=亚==-4-=1+-1=右边故答案为1+ 2(-1)2 (-10 (-1) 号-上.7分) 【应用规律】(1) 1 1 1 1++2z+ 1 1+2+2+…+ 1+ 20232+ 20242= 答案：2023202 2024 解析： 1 1 1 1+ 十22 1+ 1 1 12 十…+ z02+z02=1+-+1+{+…+1+ 1+ 12 23 1 2023-2024 =1+1+…+1+(1- 2a=20232023 2024 故答案为2023202 2024·(10分) (2)如果 1++京+1++++、1++（≥2.且为整数)的小数部分 是0.1，求出整数部分 解：、++京+1++++++号=1++1+…+1+片 1 1=1+1++1+(g-)=-5+.(12分) :结果的小数部分是0,1，“三=01，解得=10，经检验，=10是该分式方程的根，“ 整数部分为-5=5.(14分) 18/111八数下@单元测A本 第19章二次根式提优测试卷 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1.[2025南昌月考]下列式子是二次根式的是() A.V-7 B.V⑧ C.V3 D.V2+1 2.下列各根式中，不能与v2合并的是( A月 B.V⑧ C.12 D.3v2 3.下列各式中，化简正确的是( A.V4=±2 B.√-3)7=-3 C.(-V13)2=13 D.(V-3)2=-3 4估计×(W反-v同的值在( ) A.3到4之间 B.2到3之间 C.1到2之间 D.0到1之间 5新考法，若式子（√2-1）☐2的运算结果是有理数，则口”中的运算符号可以是( A.+ B.- C.× D.÷ 6.己知V4-一+4=，则V+5的值为( A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知√厂+=3，且0<<1，则√厂-是的值是( A.-5 B.±V5 C.5 D.-V7 8.下图是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等 在下图中，两个空格内所填的实数之积为( 32 2 √5 1 6 3 √2 A.4v2 B.5V2 C.6v2 D.3V2 8/70 八数下@单元测A本 9.传统文化，我国宋代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦都曾提出利用三角形的三边长求三角 形面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记=+ 2， 那么三角形的面积为=√(-)(-)(-)如图，在△中，ㄥ，∠，∠所对的边 分别记为，，，若=7，=8，=9，则△ 的面积为( ) A.125 B.12V6 C.24 D号 b 10.已知，是两个连续的偶数(0<<)，且=-2，=+2，=√+4+√+4， 则下列对的表述中正确的是( A.总是奇数 B.总是偶数 C.总是无理数 D.可能是有理数，可能是无理数 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.将V1.5化为最简二次根式为 12.当的取值范围为 时， 13.不等式5-V6>√2 的解集是 14.如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 18 8 14题图 15题图 15.人们把一叫作黄金分制比五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分制比， =一=一=，若 =4,则 9/70 八数下@单元测A本 16新考法，若和都是正整数且<，√厂和v厂是可以合并的二次根式，下列结论中正确的 有 .(填序号)》 ①只存在一组和使得√厂+V厂=V18; ②只存在两组和使得v厂+V厂=V7; ③不存在和使得√厂+V厂=√250； ④若只存在三组和使得√厂+V厂=√厂，则-的值为36或8. 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(9分)计算： (1)V28÷V7+(27+5)(2√7-5). (2)5面-2而)+5+v位x3得 (3)6-2W3×V3-W2-2)2+痘· 10/70 八数下@单元测A本 18.(9分)若，是实数，且=V4-1+V1-4+号， 求（径V9+√4）-(N万+√25)的值. 19.(10分)定义：若两个二次根式，满足·=，且是有理数，则称与是关于的“因 子二次根式”. (1)若与V2是关于4的“因子二次根式”，则=； (2)若3-1与-V3是关于-2的因子二次根式”，求的值. 11/70 八数下@单元测A本 20.（12分)如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来 回摆动一次所用的时间（单位：s)与细线的长度（单位：m)之间满足关系式=2π0 (1)当细线的长度为0.6m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？ (结果保留一位小数，参考数据：V6≈2.45，π≈3) (2)当小重物来回摆动一次所用时间为3π$时，求细线的长度， 21.(12分)我们在学习二次根式时，学习了分母有理化及其应用.其实，有一个类似的方法叫 作“分子有理化” 例如：V万-V6-一20=。·分子有理化可以用来处理二次根式的某些问题 V7+V6 例如：比较V万-V6和V6-V5的大小.解：V万-V6=V6-5=店 因为v7+6>6+V5,所以7本<65所以v7-V6<V6-5 利用上面的方法，完成下列问题： (1)比较V15-V14和V14-V13的大小： (2)求=√+1-√-1+3的最大值 12/70 八数下@单元测A本 22.探究性问题(14分) 【问题初探】小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现：女=1-点== 年…在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次根式 1 的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1： 1++京=1+2=1+1-日： 1 1 特例2： 1+ +京=1+=1+： 1 11 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子). 【发现规律】 1 1+序+元 (≥2，且为整数) 【应用规律】(1) 1 1 1 1 1 1+z+z+ 1+ 2z+z+…+ 1+ 20232+ 20242= 1 (2)如果1+京++ 1+京+++1++号（≥2，且为整数)的小数部分 1 是0.1，求出整数部分. 13/70