精品解析： 北京市第八十中学2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试卷

北京市第八十中学2025-2026学年度九年级11月期中数学试卷 2025.11 一、选择题（每题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外则；点在圆上则；点在圆内则． 直接根据圆的半径以及点到圆心的距离，求解即可． 【详解】解：由题意可得，的半径为5，点到圆心的距离为4， ∵， ∴点在内， 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：B． 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，在两边加上一次项系数的一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 8. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 10. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______． 【答案】等 【解析】 【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式． 【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a＞0，c=1， ∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键． 11. 点，在抛物线上，则__________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是解答关键． 把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出，的值即得答案． 【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，， ∴． 故答案为：． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 13. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答． 【详解】∵， ∴， 解得x=3或x=-1， ∴点B的坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴不等式的解集为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 14. 如图，A，B，C三点都在上，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形的性质可以求出． 【详解】解：如下图所示， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 15. 如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于A、C两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 16. 已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④（答对一个给1分，多选或错选不得分） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键． ①分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； ②分情况讨论和时方程的根即可； ③已知条件中限定且或，分情况讨论或的函数值即可； ④分情况讨论和时函数的最大值是否小于等于0即可． 【详解】解：对于①：当时，函数变为，与只有一个交点， 当时，， ∴， 故图像与轴只有一个交点时，或，①错误； 对于②：当时，方程变为，有一个整数根为， 当时，方程因式分解得到：， 其中有一个根为， 故此时方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：由已知条件得到，且或， 当时，开口向上，对称轴为， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ∵ ， ∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 当时，开口向下，自变量离对称轴越远， ∴其对应的函数值越小， ∴时，函数取得最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误； 对于④：时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故不符合； 时，对于函数， 当时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立； 当时开口向下，此时函数的最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值， 此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确； 综上所述，②④正确， 故答案为：②④． 三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分，第19-21题每题5分，第22-25题每题6分，第26—28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】， ， 则或， 解得，． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先因式分解得，可得或，即可求出解． 【详解】解：， 移项得：， 则， 故或， 解得：． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 由题意可得函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 21. 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①连接； ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点； ③以为圆心，长为半径作，交于点，； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线． ， 为的直径，，在上， （______）（填推理的依据）． 半径，半径， 直线，为的切线（______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 解：如图，直线，即为所求； （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定和基本作图步骤是解题的关键． （1）根据作图步骤补充完成作图即可； （2）连接，，，，，，由，，得到是线段的垂直平分线．则．由为的直径，，在上，则，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线， ， 为的直径，，在上， （直径所对的圆周角是直角）， 半径，半径， 直线，为的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 23. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系满足，设公司获得的总利润为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）当取何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，的值最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，以及二次函数的性质． （1）根据题意可得，，再根据，求解即可； （2）利用二次函数的性质，求得最值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 再由可得，， 即， 答：与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵，开口向下，对称轴为， ∴时，取得最大值，最大值为， 答：当时，的值最大，最大值为． 24. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 25. 在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间． 铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究． 记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下： t 0 10 20 30 40 50 60 0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0 0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题： （1）可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）； ②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）． 【答案】（1） （2） 如图：函数，即为所求． （3）①；②慢，7． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求函数解析式、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，根据函数图象获取所需信息是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据描点、连线的步骤画图即可； （3）①先求得时，；再观察图象可得，然后作差并取近似数即可解答；②先求得当，三壶补偿模型（标准时间）：分钟；再根据函数图象确定分钟，然后比较作差即可解答． 【小问1详解】 解：设，则，解得：， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，； 观察函数图象，对于，当时，；当时，， ∴推测：当时，， ∴水位之差：． 故答案为：． ②当时，三壶补偿模型（标准时间）：分钟， 单壶模型：由数据可得：时，分钟， ∴单壶模型计时比标准时间慢，且慢分钟． 故答案为：慢，7． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 【答案】（1），，对称轴：直线． （2），． 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型． （1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可． 【小问1详解】 将代入二次函数，得：， 令，得， 解得：， ，，对称轴：直线． 【小问2详解】 将抛物线解析式整理得． 令，得， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为，． ∵抛物线开口向上，且， ∴结合图象可知． ∵，，中有且只有一个大于零，． ∴①当时，． ，解得． ②当时，． ，解得． 综上所述，，． 27. 在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接． （1）当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数； （2）当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明； （3）取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值． 【答案】（1）解：补全图形如下图所示 （2） ，理由如下： 如图所示： ∵，，， ∴，， 由（1）同理可得：，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先补全图形，如图所示：取的中点，连接，，证明，，，四点共圆，可得； （2）由（1）同理可得：，，，四点共圆，可得，证明，再证明，可得，即可得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，而，可得，连接，证明，可得在以为圆心，半径为2的弧上运动，当，，三点共线时，最小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：补全图形，如图所示： ∵，， ∴， 取的中点，连接，， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，，，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，而， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而为中点，为中点， ∴， ∴在以为圆心，半径为2的弧上运动， ∴当，，三点共线时，最小， 在中， 此时， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定及基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． （1）如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； （2）已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； （3）已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上， 因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围． 【小问1详解】 如图， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点P为中心的“关联线段”， 则与关于P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． 【小问2详解】 ∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． 【小问3详解】 ∵P点在x轴上， ∴的对应点只能为． ∵P点是的中点， ． 将绕P点旋转得， 则，且F点在上． 又∵F点在直线上， ∴F点是和直线的交点． 当与相切于时，连接作轴， 设直线于x轴的交点为A点， 则，， 则，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得． 当与相切于时，连接作轴于G点， 设直线于x轴的交点为B点， 则，， 且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的小册子、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年度九年级11月期中数学试卷 2025.11 一、选择题（每题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 10. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______． 11. 点，在抛物线上，则__________（填“”“”或“”）． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 13. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 14. 如图，A，B，C三点都在上，，则________． 15. 如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______． 16. 已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分，第19-21题每题5分，第22-25题每题6分，第26—28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 21. 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①连接； ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点； ③以为圆心，长为半径作，交于点，； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线． ， 为的直径，，在上， （______）（填推理的依据）． 半径，半径， 直线，为的切线（______）（填推理的依据）． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 23. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系满足，设公司获得的总利润为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）当取何值时，最大？最大值是多少？ 24. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 25. 在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间． 铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究． 记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下： t 0 10 20 30 40 50 60 0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0 0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题： （1）可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）； ②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 27. 在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接． （1）当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数； （2）当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明； （3）取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． （1）如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； （2）已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； （3）已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $