精品解析：上海市虹口区2025-2026学年上学期七年级数学期中考试

2025学年度第一学期期中考试七年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 若与是同类项，值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 6. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共14题，每题2分，共28分） 7. 计算：_____． 8. 计算：______． 9. 计算：=_____（结果用幂的形式表示）． 10. 计算： ____． 11. 计算：____． 12. 将多项式按的降幂排列是________． 13. 已知，则________． 14. 分解因式：____． 15. 已知，，则______． 16. 如果是一个完全平方式，那么常数的值为____． 17. 若的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，则______． 18. 已知，，则 _______． 19. 已知:，则x＝______________． 20. 规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 三、简答题（本大题共6题，每题5分，共30分） 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 计算：． 24. 计算：． 25. 利用乘法公式计算：． 26. 因式分解：． 四、解答题（本大题共4题，第27、28题每题6分，第29题8分，第30题10分，共30分） 27. 先化简，再求值：，其中，． 28. 小杰准备完成题目：已知整式，求．但他发现、、、中有一部分印刷不清． （1）他把猜成3，且、、，求； （2）小红说：“你猜的不对，我看到的题目里是一个正整数，且的结果是常数．”若已知、，试确定和的值，使得为常数，并求出这个常数． 29. 【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 30. 对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． （1）若是一个完全平方式，求常数的值； （2）若，且，求的值； （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期期中考试七年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义，是解题的关键．根据单项式次数的定义，“单项式的次数是单项式中所有字母的指数和”，进行解答即可． 【详解】解：根据单项式定义得：的次数为：． 故选：C． 2. 若与是同类项，值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式，称为同类项是解题的关键． 根据同类项的定义，可得，，即可求解． 【详解】解： 与是同类项， ，， 解得：，， 故选：D 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 5. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据完全平方公式的变形求出，则，即可利用平方差公式求出． 【详解】解：设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，正确推出是解题的关键． 6. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，合并同类项，先标注字母，求解，，，再利用周长公式列式计算即可． 【详解】解：解法一：标注字母如图所示： 由题意可得：，，， 阴影的周长为：， 解法二：阴影的周长为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共14题，每题2分，共28分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为 ． 9. 计算：=_____（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【解析】 【详解】分析：本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 详解：原式=． 点睛：本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 10. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式，利用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，把看作一个整体，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 12. 将多项式按的降幂排列是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：按的降幂排列是． 故答案为：． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 16. 如果是一个完全平方式，那么常数的值为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或 17. 若的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简中无关类问题，解二元一次方程组，熟练掌握整式运算法则是解题关键． 根据题意利用多项式乘以多项式将原式括号去掉，然后化简，然后由的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，得到关于的二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解： ， ， ∵的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 18. 已知，，则 _______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值，掌握已知式子的值求代数式的值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，将代数式变形得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：20 ． 19. 已知:，则x＝______________． 【答案】-5或-1或-3 【解析】 【分析】根据零指数幂和1的任何次幂都等于1分情况讨论求解． 【详解】解：根据0指数的意义得： 当x+2≠0时，x+5=0，解得：x=﹣5． 当x+2=1时，x=﹣1， 当x+2=﹣1时，x=﹣3，x+5=2，指数为偶数，符合题意． 故答案为：﹣5或﹣1或﹣3． 【点睛】本题考查零指数幂和有理数的乘方，掌握零指数幂和1的任何次幂都是1是本题的解题关键． 20. 规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【答案】128 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 三、简答题（本大题共6题，每题5分，共30分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 23. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 24. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 25. 利用乘法公式计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 26. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 四、解答题（本大题共4题，第27、28题每题6分，第29题8分，第30题10分，共30分） 27. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 28. 小杰准备完成题目：已知整式，求．但他发现、、、中有一部分印刷不清． （1）他把猜成3，且、、，求； （2）小红说：“你猜的不对，我看到的题目里是一个正整数，且的结果是常数．”若已知、，试确定和的值，使得为常数，并求出这个常数． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用整式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据整式的加减运算法则进行计算，再根据差为常数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴ ； 【小问2详解】 由题意，，， ∴ ； ∵为正整数，且为常数， ∴，； ∴，， ∴； 综上：，，． 29. 【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 【答案】（1）15；（2）；（3）18 【解析】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）（1）分析题意，确定答案即可；填入符合要求的数字即可； （2）根据题意可得，整理即可获得答案； （3）结合题意，先求得，进而计算出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）将九个数填入到的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是． 故答案为：15； 在图①中填入数字，如下图； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 （2）根据题意，可得， 整理可得； （3）根据题意，可有， 整理，可得， 又因为， 所以． 30. 对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． （1）若是一个完全平方式，求常数的值； （2）若，且，求的值； （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）4 （3）136 【解析】 【分析】（1）由题目中的规定可知，根据完全平方公式的特征确定答案即可； （2）根据题目中的规定求出等号左边部分，可得，再借助完全平方公式，将代入求解即可； （3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含，的整式，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； 【小问2详解】 根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $