第19讲 函数图象与零点知识总结与题型归纳 讲义-2026届高三数学一轮复习

第19讲 函数图象与零点知识总结与题型 知识再现 一．图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． 二．零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 题型一：函数图像的判断 已知函数解析式找函数图像方法总结：排除法 1.函数定义域与值域；2.函数奇偶性；3.函数对称性与周期性；4.函数的零点；5.函数的特殊值；6.函数的单调性（一般需要求导，如果函数是对称的可先求一边的单调性） 例1.函数的图象大致是（    ） A.B.CD.答案D 解：由题意可知，函数定义域为,且  , 所以函数 为偶函数，排除B选项， 当时，,, 从而当 , ,函数递减， 当时， ,函数递增，观察图象选项AC错误，D符合，​故选D. 例2（多选）.函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 答案ACD 解： ①当a=0时,,选项A符合； 当时 ②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分, 当x<0时,单调递减,选项B不符合，选项D符合，故D有可能； ③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时, 其中（x＜0）为对勾函数第三象限的一部分， 则x＜0时的图象位于第二象限, 选项C符合；可知选项B中图象不是函数f(x)的图象. 变式训练 1.函数的图象可能是（        ） A. B. C.   D. 答案A 解：∵∴函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， ∵ ，∴函数为奇函数，图象关于原点对称， 故排除D， ∵当0＜x＜1时，，， ∴ ，x∈（0，1） 故排除BC． 故选A． 2（多选）.设函数，则下列说法正确的是（    ） A. B.当 时，有 C.函数既有最大值也有最小值       D.当 时， 答案AB 解：在同一坐标系中画出的图象（如图所示）， 故的图象为图中粗线所示． 对于选项A：从图象上看，当时，有成立， 令，则，而结合图象，故， 故选项A成立．对于选项B：当x≥1时，，的图象可看做的图象右移2个单位得到，显然x≥1时,的图象在图象之上,则，故选项B成立．​对于选项C：由函数图像知函数无最大值，故选项C错误；对于选项D：时,，不成立，故D错误．故选：AB． 题型二：零点存在定理与二分法 例1．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递增， ， 所以的零点在区间. 例2．已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示， 则当时，在下方，即； 当时，在上方，即， 变式训练 1.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数在 上单调递增，且在上连续. 因为，， 所以，所以函数的零点所在的区间是.故选：B 2.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ） A．1 B． C．0.25 D．0.75 【答案】C 【分析】根据二分法的定义计算可得； 【详解】解：因为，，所以在内存在零点， 根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C 3.函数的一个零点所在的区间是（    ） A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4) 【答案】A 【分析】结合函数的单调性与零点的存在性定理判断即可； 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以，在上单调递增，因为，， 所以，函数只有一个零点，且位于区间内.故选：A． 题型三 零点个数与求零点值 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 例1．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】令，得，画出函数与的图象， 可得这两个函数在上的图象有唯一公共点， 故的零点个数为1．故选：B 例2．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】通过图形可以得出有3个零点 例3.若定义在R上的函数的图像关于其图像上一点对称，对任意的实数都有，且，则函数在区间上的零点个数最少有（ C ） A.1010 个 B1514个 C.1515个 D.2020个 变式训练 1.函数在定义域内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数， 而，， 所以函数在R上的零点个数是1.故选：B 2.方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 3.已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数， 它们的函数图象如图所示.故选：C． 题型四 比较零点的大小 例1.若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 例2.设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      例3. 若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得，综上，故选：A 例4.函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 例5.设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC. 【详解】由可得， 在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示： 因为，， 由图象可知，， 所以故A，D错误； ， 因为，所以，所以， 所以，即，故B错误，C正确. 变式训练 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，，所以.综上，. 2.三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 3.已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，. 4. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：. 题型五 由零点个数求参数范围 例1.若函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（B ） A. B. C. D. 例2.设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设函数，令，即， 所以问题转化为，有3个交点； 在坐标系内，作出函数的图像如下所示， 结合图象可知，，故实数的取值范围为. 故选：B 例3．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 例4．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答. 【详解】   依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解， 转化为函数与图象由四个交点， 由函数函数可知， 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 结合图象，可知实数的取值范围为. 例5．已知函数有唯一零点，则负实数 A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数有唯一零点， 设 则函数有唯一零点， 则 设∴ 为偶函数， ∵函数 有唯一零点， ∴与有唯一的交点， ∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去） 例6．已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称， 故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点， ∴，即． 例7.已知是定义在上的偶函数，且对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 变式训练 1.已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出分段函数图象，数形结合，再用图象交点问题解题即可. 【详解】画出的图象如图所示. 因为方程有四个不同的解， 故的图象与的图象有四个不同的交点，又由图，求得，， 故的取值范围是. 2.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 3.已知关于的函数有唯一零点，则（    ） A． B．3 C．或3 D．4 【答案】B 【解析】，令， 则有是偶函数， 若只有唯一零点，则必过原点，即，从而. 当时，有3个零点，舍去. 故，此时，则，故. 4（多选）.已知函数有唯一零点，则的值可能是（AD） A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知函数满足，当时，，若在区间内，函数有两个零点，则实数的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 6.设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 题型六 求零点的和 例1.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以.所以. 例2．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得 ， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 例3.已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 例4.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 例5.设满足，满足，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定与得解. 【详解】令函数，而函数在上都是增函数，因此函数是增函数， 由满足，得，即，于是， 由满足，得，因此，而函数在上递增， 于是，即，所以. 例6．已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】由可得关于对称，结合为偶函数可得周期，由解析式可得该函数也关于对称，即可由对数函数及幂函数图象将与图象画在同一直角坐标系中，结合图象与函数对称性即可得到与图象的所有交点的横坐标之和. 【详解】由为偶函数，故，即， 由，故关于对称，且， 即有，故周期为，则也关于对称； 由，故， 由， 即关于对称， 由时，，作出及图象如图所示：    当时，，， 故当时，与图象无交点， 由图象可知，当时，，有一个交点， 当时，与图象存在一个交点，设该点横坐标为， 则结合函数对称性可知，当， 与图象必有两交点，且两交点横坐标分别为，， 故与图象的所有交点的横坐标之和为. 变式训练 1.设函数的零点为，函数的零点为，则 . 【答案】6 【分析】根据的零点即为与的交点之横坐标，的零点即为与的交点之横坐标，且与互为反函数，即图象关于对称，且与垂直，所以和与的交点也关于对称，据此求解 【详解】解：令得，则的零点即为与的交点之横坐标， 同理函数的零点为与的交点之横坐标， 又与互为反函数，即它们的图象关于对称，且与垂直， 所以和与的交点也关于对称， 由解得两直线交点为， 所以. 2.设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 3.已知函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案. 【详解】，，即，即， 设，函数定义域为，， 函数为奇函数，， 不妨取，则，，. 4.若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 【答案】A 【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值. 【详解】 由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标， 因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称， 所以线段的中点就是直线与的交点， 由，得，即线段的中点为， 所以. 题型七 零点的等高线问题 例1.已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以，故， 又，故，. 例2.已知函数满足，若方程有2022个不同的实数根，则（ B ） A.1010 B.1011 C.2020 D.2022 例3.已知函数，若方程恰好有三个相异的实根，则 例4．已知，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图形，设，数形结合可得出的取值范围，由对称性可得出的值，由此可得出的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点， 且点、关于直线对称，则，且， 故. 变式训练 1.(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 2.已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得， 在同一坐标系中作出的图象，如图所示： 由图象知：若有4个零点， 则实数a的取值范围是，故选：A 3.已知函数，若存在实数，当时，的取值范围是 。 答案： 4.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将问题转化为函数与的图像有4个不同的交点，进而作出函数与图像，结合函数的对称性数形结合求解即可. 【详解】解：因为函数恰好有4个不同的零点， 所以函数与的图像有4个不同的交点，交点横坐标为， 所以，根据题意，作出函数与图像如图所示， 因为， 所以，，，因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以所以，的取值范围是.故选：B 5.已知函数，若有四个不同的实数满足方程 ，且，则以下结论不一定正确的是（B ） A. B. C. D. 6.已知函数．若，则的零点为 ；若函数有两个零点，，则的最小值为 ． 【答案】 50 【分析】空1：求解即可；空2：作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】，解得，故的零点为； 由题意有两个零点， 作出的图象可得， 且，故，即. 故， 当且仅当，即时取等号.    故答案为：5；50 7.已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出函数图像，结合二次函数和一次函数的性质，找出满足题意得图像段，缩小变量范围，后将M转化为求二次函数的值域问题. 【详解】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的. 满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移. 令，即，解得或. 令时，解得. 令，即，解得或. 令时，解得. 画出草图如下： 由，，知，， 又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则 . 令， 则，， 则，， ，对称轴为，则在单调递减. .则的取值范围为. 题型八：函数零点的嵌套问题 例1.已知函数，则实数根的个数为(    ) A. B. C. D. 答案A 解：作出f(x)的图象： 若，则f(x)=-2或f(x)=1， 由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，y=f(x)与y=1有2个交点， 故实数根的个数为2， 故选A. 例2.已知函数，若方程有8个相异的实根，求的取值范围。 答案： 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，则方程有 个解． 【答案】3 【分析】先利用换元法将方程根的问题转化方程及根的问题，由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的单调性及值域即可求解. 【详解】令则， 由函数的图象可得：方程有个解，其中 由函数的图象可知：函数在上单调递减 又因为值域为 所以对于每一个，都存在唯一的与之对应. 所以方程有个解. 例3．已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是 变式训练 1.已知函数，则至多有______个实数解. 【答案】7 【解析】由可得，由知，， 当时，，， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，，在单调递增， 则可作出函数的大致图像如图： 三个图分别对应时的情况， 设，则即， 则的解的个数问题即为的交点个数问题， 结合的图象可知的交点个数最多是3个， 即为图2个和图3所示情况， 不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，， 此时无解，有1个解，最多有3个解， 故此时最多有4个解； 当如第3个图所示时，， 此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解， 故此时最多有7个解 2．已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可. 【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5. ，当时，令，解得或， ，当时，令，解得， 则作出的图象,如下图所示，    当时，有两个根，，，则有1个实数根， 当时，有3个根，时有两个根， 故共有3个或4个根，故舍去； 当时，此时有3个根，，，， 有1个根，有1个根， 时，有1个根，不合题意； 时，有2个根，不合题意； 时，有3个根， 此时满足题意共5个根的情况，而，则； 当时，有两个根，，， 有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去； 当时，有1个根，，此时共1个根，舍去. 综上所述：实数a的取值范围是. 3.已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：因为函数为上的奇函数，当时， 令，则，则， 又 所以，则， 设，作出函数的图象， 对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于B，当时，函数有四个根， 其中，，，； 作出与、、与的图象，如图， 显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确； 对于CD，当时，函数有两个根，其中，， 与选项B同理可知与、各有一个交点， 则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $第19讲函数图象与零点知识总结与题型 知识再现 一.图像的变换 (1)平移变换 ①函数y=f(x+a)(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到的； ②函数y=f(x-a)(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到的； ③函数y=f(x)+a(a>O)的图像是把函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到的； ④函数y=f(x)+a(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到的； (2)对称变换 ①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称； 函数y=f(x)与函数的图像关于x轴对称； 函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则对定义域内的任意x都有 f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=a对称的两，点连线的中 点横坐标为a,即@-)a+=a为常数)； 2 若函数f(x)的图像关于，点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有 f(x)=2b-f(2a-x)f(a-x)=2b-f(a+x) ③y=f(x)儿的图像是将函数f(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于 x轴对称翻折上来得到的（如图(）和图(b)所示 ④y=f(x)的图像是将函数(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 y轴对称得到函数y=f(x)左边的图像即函数y=f(x)是一个偶函数（如图(c)所示）. y=f(x) y=f(x) y=f(xI) (a) (b) 第1页共22页 注：f(x)的图像先保留(x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图 形，然后擦去x轴下方的图像得到；而f(x)的图像是先保留f(x)在y轴右方的图像，擦去 y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到，这两变换又叫翻折变 换 ⑤函数y=f(x)与y=f(x)的图像关于y=x对称. 二。零，点存在定理及其推论 1、定理：如果函数∫x)在区间，b上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间(a.b)内至少有一个零点， 即存在c∈(a.b)，,使得fC=0,这个c也就是方程f(x)=0的解。 【注意】(1)定义不能确定零点的个数； (2)不满足定理条件时依然可能有零点； (3)定理中的“连续不断”是必不可少的条件； (4)定理反之是不成立的. 2、重要推论： (1)推论1：函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)·fb)<0, 且f(x)具有单调性，则函数fx)在区间(a.b)内只有一个零点 (2)推论2：函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线， 函数f(x)在区间(a.b)内有零，点，且函数f(x)具有单调性，则f(a·f(b)<0 题型一：函数图像的判断 已知函数解析式找函数图像方法总结：排除法 1.函数定义域与值域；2.函数奇偶性；3.函数对称性与周期性；4.函数的零点；5.函数的特殊 值；6函数的单调性（一般需要求导，如果函数是对称的可先求一边的单调性) x2 In x 例1.函数y= 一的图象大致是() x 第2页共22页 1…月 例2（多造）函数f()=-(a∈R)的图象可能是（) 业米半 变式训练 1函数f(x=x- -n的图象可能是（） 第3页共22页 2(多选)设函数∫(x=mink-2,x,+2,则下列说法正确的是() A.ff(x)≤f(x) B.当x∈[1，+o)时，有f(x-2)≤f(x) C函数f八x)既有最大值也有最小值D.当x∈[-4,4时，f(x-2≥f(x) 题型二：零点存在定理与二分法 例1.函数f(x)=Vx+x-3的零点所在区间是() A.(0,1D B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 第4页共22页 例2.巴知而是函数)=2+的一个零点，若1，x,小，x,+m,则（） 1-x A.f(x)<0,f(x)<0 B.f(x)<0,f(x3)>0 C.fx)>0,fx)<0 D.fx)>0,fx2)>0 变式训练 1,函教x=nx-2的零点所在的区间是（) x-1 A.(1,2 B.(2,3 C.(3,4) D.4,5 2用二分法研究函数∫(x=x3+2x-1的零，点时，第一次计算，得f(0)<0,f(0.5)>0,第 二次应计算∫(x),则x等于() A.1 B.-1 C.0.25 D.0.75 3岳裁f=1gr的一个零点所在的区间是(】 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,3.5) D.(3.5,4 第5页共22页 题型三零点个数与求零点值 零，点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令∫x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点 2、定理法：利用零，点存在定理，函数的图象在区间，b上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0, 结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点 3、图象法： (1)单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴交点的个数就是函数∫(x)的零，点个数； （2)两个函数图象：将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据 f(x)=0台h(x)=g（x),则函数f(x)的零，点个数就是函数y=h(x和y=gx)的图 象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 例1.函数(x)=xgr-1的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 例2.函数f(x)=x2-2的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 例3.若定义在R上的函数y=fx-1)的图像关于其图像上一，点1,0)对称，fx)对任意的 第6页共22页 实数x都有fx+4)=-fx),且f3)=0,则函数y=f(x在区间[0,2019]上的零 点个数最少有() A.1010个 B.1514个 C.1515个 D.2020个 变式训练 1函数fx)=(月》-x3-2在定义域内的零点个数是(） A.0 B.1 C.2 D.3 2方- =0的解的个数为()》 A 2 B.3 C.4 D.2或3或4 3.已知函数f(x)= 「：+2x,≤0则函数g=f)-3的零点个数为（） lgx,x>0, A.1 B.2 C.3 D.4 题型四比较零点的大小 第7页共22页 -x,8()=log-x,h(x)=VF+0.1-x的零点分别为a,b,C, 则() A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 例2设X1,七3，x均为实数， =e+)=e, =log2x,则() A.X<x<x2 B.x3<x2<x1 C.x<2<x3 D.x3<1<x2 例3.若ae“=blnb=clgc=1,则a,b,c的大小关系为（) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 例4.函数f(x=2+x,gx=log2x+x,h(x)=Vx+x的零点分别为a,b,C,则a,b ,C,的大小顺序为() A.axb>c B.b>axc C.b>c>a D.c>a>b 第8页共22页 例5.设方程3log3x=1的两根为x1,x2x<x2),则（） A.0<x<1,x2>3 B.5>1 C.0<xx2<1 D.x1+x2>4 变式训练 1,已知m+e"=e,n+3”=e,则（) A.I<n<m<e B.I<m<n<e C.0<n<m<1 D.0<m<n<1 2.三个函数f(x=x3+x-3,gx)=nx+x-3,h(x=e+x-3的零点分别为a,b,c,则 4,b,c之间的大小关系为() A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 第9页共22页 3.已知函数fx)=2+3x+1,gx=l0g2x+3x+1,hx=x3+3x+1的零点分别是a,b,c,则 a,b,c的大小关系为() A.a>c>b B.b>c>a C.b>axc D.a>b>c 4.已知函数f(x)=2+x,g(x)=l0g2x+x,h(x)=x3+x的零，点分别为a,b,C,则a,b,c的大 小关系为（) A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 题型五由零点个数求参数范围 例1.若函数f(x= 2-a,x≤0 -3x-a,x>0 a∈R),在R上没有零点，则实数a的取值范国是(） A.(0,+o∞ B.(1,+o∞U{0 C.(-00,0 D.(-o, 第10页共22页