第39讲：数列的求和【知识梳理+5个题型总结+解题方法归纳】讲义-2026届高三数学一轮复习

2025-2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第39讲：数列的求和】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、数列求和核心方法梳理 （一）基础公式法 1.等差数列求和公式 已知首项、末项、项数： 已知首项、公差、项数： 2.等比数列求和公式 公比时： 公比时： 3.常用自然数求和公式 自然数和： 自然数平方和： 自然数立方和： （二）特殊求和方法 1.错位相减法 适用场景：通项为“等差数列×等比数列”（如） 步骤： ①写出前项和； ②两边同乘等比数列公比，得； ③两式相减，消去中间项，转化为等比数列求和： 2.裂项相消法 适用场景：通项可拆分为两项之差（分式型、根式型等） 常见裂项形式： ①（特例：）； ②； ③。 3.分组求和法 适用场景：通项可拆分为多个等差、等比或可直接求和的数列（如） 步骤： ①拆分通项：（为等差数列，为等比数列）； ②分别求和：； ③合并结果。 4.倒序相加法 适用场景：数列满足（为常数，如等差数列、对称数列） 步骤： ①正序写和：； ②倒序写和：； ③两式相加： 解得。 5.并项求和法 适用场景：项正负交替或可按规律分组合并（如） 技巧：按2项或3项为一组合并（如），转化为常数数列或简单数列求和。 二、常考结论归纳 1.等差/等比数列求和性质 等差数列： ①若（），则； ②前项和的片段和：、、仍成等差数列。 等比数列： ①若（），则； ②前项和的片段和（均不为0）：、、仍成等比数列。 2.等差数列求和最值结论 当、时，有最大值（找到最后一个正项对应的项数，为最大值）； 当、时，有最小值（找到最后一个负项对应的项数，为最小值）。 3.等差数列绝对值求和公式 设等差数列的正负分界点为（即，或反之），则： （其中为原等差数列前项和） 4.周期数列求和公式 若数列的周期为（即），一个周期的和为，则： （为向下取整，为除以的余数，余数为0时） 5.错位相减结果模板 若通项为（为常数，），则前项和可设为： （其中，，，可通过待定系数法求解） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：倒序相加法】 【解题策略】 一、倒序相加法的核心原理 倒序相加法的本质是利用数列的“对称性”——即数列中第项与第项的和为固定常数（记为），通过“正序写和”与“倒序写和”相加，将分散的项转化为“常数×项数”的简单形式，从而快速求和。 关键前提（适用场景验证）： 先判断数列是否满足对称条件：对任意，是否有（为定值）。 常见满足条件的数列： 1.等差数列（因，为定值）； 2.对称数列（如，、，、，均满足和为5）； 3.由“对称函数”生成的数列（如，则满足）。 二、标准解题步骤（结合实例演示） 以等差数列：（即1,3,5,...,2n-1），求前项和为例，分步拆解： 步骤1：正序写出前项和 按项的顺序依次排列，明确项数和每一项的表达式： 代入，得： 步骤2：倒序写出前项和 将原式从最后一项倒过来写，保持项数不变（第1项与第项交换，第2项与第项交换，以此类推）： 代入，得： 步骤3：两式相加，利用对称性消元 将式(1)与式(2)左右两边分别相加，左边为； 右边观察“对应项的和”：第1组（1与2n-1）、第2组（3与2n-3）、…、第组（2n-1与1），每组和均为，共组： 右边简化为“常数×项数”： 步骤4：整理求解 两边同时除以2，得最终和： 三、拓展应用：非等差数列的对称数列求和 以数列满足，求前10项和为例，展示非等差场景的应用： 第一步：先化简通项，验证对称条件 先计算的表达式（分子为自然数和）： 验证对称条件：（定值），满足条件。 第二步：正序+倒序写和，相加求解 正序： 倒序： 相加：，故。 四、解题关键要点与误区 1.核心判断：必须先验证是否为定值，若不是则不能用（如等比数列通常不满足）； 2.项数对应：倒序时项数要与正序完全一致，避免漏项（如为奇数时，中间项单独算，仍满足和为定值）； 3.函数求和迁移：若遇到“”，且，可直接套用倒序相加法（将函数值视为数列项）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 【例题2】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，由为奇函数，结合，即可求解； （2）根据指数幂的运算法则，求得，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 因为为奇函数，则满足，解得， 当时，可得，其定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足题意， 所以实数的值为. （2）解：由函数，可得， 所以， 设， 则 两式相加得 因为，所以，可得，所以. 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）利用倒序相加法证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】由倒序相加法结合即可证明. 【详解】证明：记 ， 又 ， 上式两边相加，并注意到 ， 得：， 所以． 【相似题2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【题型2：错位相减法】 【解题策略】 一、错位相减法的核心原理与适用场景 1.核心原理 错位相减法专为“等差数列×等比数列”型通项设计：设数列的通项为，其中： 是等差数列（公差为）， 是等比数列（公比为，）。 通过“写出→两边乘公比→两式相减”，可将混合数列求和转化为等比数列求和（中间项错位抵消，故得名“错位相减”）。 2.适用场景验证 先判断通项是否符合“等差×等比”结构，常见例子： （是等差，是等比）； （是等差，是等比）； （是等差，是等比，公比）。 二、标准解题步骤（结合典型实例） 以求数列（）的前项和为例，分步拆解： 步骤1：写出前项和（正序展开，明确每一项） 按通项公式依次列出前项，注意保留“等差项”与“等比项”的对应关系： 代入，得： 步骤2：两边同乘等比数列的公比（关键：让等比项“错位”） 本题中，公比，将式(1)两边乘，使等比项的指数整体后移1位，为后续相减抵消做准备： 步骤3：两式相减（错位抵消，转化为等比数列求和） 用“原式(1) - 乘公比后式(2)”（或“式(2)-式(1)”，注意符号统一），重点关注等比项的抵消规律： 步骤4：整理左边，化简右边（分三部分处理） 左边：合并同类项，得； 右边：拆分为“孤立项 + 等比数列项 + 末项”： 1. 孤立项：仅第一项（无对应抵消项）； 2. 等比数列项：中间抵消后，提取公比（），剩余系数为等差数列的公差： 这是首项为、公比为、项数为的等比数列； 3. 末项：仅最后一项（无对应抵消项）。 步骤5：对等比数列求和，最终解出 用等比数列求和公式（为首项，为项数）： 将右边各部分代入，整理得： 两边乘，最终： 三、拓展应用：特殊形式的错位相减 1. 等比数列公比为分数（如） 例：求的前项和 步骤不变，乘公比后相减，注意分数运算通分； 结果：（可通过“模板验证”快速核对）。 2. 等差数列含常数项（如） 通项拆分为，可先分别用错位相减求的和，再用公式求的等比和，最后合并（分组+错位结合）。 四、解题关键要点与避坑指南 1. 公比判断：若（等比数列为常数列），无需错位相减，直接用“等差和×常数”（如，）； 2. 符号陷阱：相减时注意中间项的符号（建议用“上式减下式”或“下式减上式”固定一种，避免混乱）； 3. 项数计数：中间等比数列的项数为（非），首项是“第二项的抵消结果”（如实例中首项为）； 4. 结果模板：对，（，可快速待定系数验证，如实例中，，，与结果的系数一致）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列中，. (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数，设函数，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明； （2）根据第1问求出数列的通项公式，再利用导数公式求出，最后利用错位相减即可. 【详解】（1），， 又，则是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，则， ，， 令， 则， 两式相减可得， . 【例题2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． (1)求，，的值； (2)已知数列满足，求的前项和． 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果. 【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即. （2）由（1）可知， 两式相减得 . 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）数列满足，且时，有． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，试求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用递推公式结合等差数列的判定计算即可； （2）利用错位相减法计算即可. 【详解】（1）依题意，显然，当时，有， 即，， 故构成了以1为首项，2为公差的等差数列， 且，则， 符合上式， 故； （2）记，则， 且①， ② 则②①，可得 即. 【相似题2】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由，得，两式相减，得，可得，而，从而可得数列是等比数列，进而可求出的通项公式； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法求和可得. 【详解】（1）证明：因为，，所以当时，， 两式相减得，化简得，则 当时，，解得，且， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，，且时也符合， 所以. （2）因为，所以， 所以 两式相减可得， 所以. 【题型3：裂项相消法】 【解题策略】 一、裂项相消法的核心原理 裂项相消法的本质是将数列通项拆分为“两项之差”的形式，使得前项和展开后，中间的大部分项相互抵消，仅剩余首项和末项（或少数几项），最终通过简单计算得出结果。 关键前提（适用场景）： 数列通项需满足“可拆性”——即（为常数，常见），且拆分后相邻项的“后一项的负项”与“前一项的正项”能抵消（如，的与的抵消）。 二、常见裂项类型（通式+实例） （一）基本分式型（高频考点） 此类是最基础且常考的裂项形式，核心是“分母因式分解后，按因式拆分，补全系数”。 1.单常数差型（分母为） 通式：（为正整数，系数是关键，由分母两因式的差决定） 特例（，最常用）： 例子： 2.双线性分母型（分母为） 通式：（，系数由分母两线性项的常数差决定） 例子1：（分母差为，系数） 例子2：（分母差为，系数） 3.分子含常数型（分子不为1，需先提取常数） 通式：（为常数，先将分子的提出，再按基本型裂项） 例子：； （二）根式型（有理化裂项） 适用于分母含“根式和”的通项，通过有理化将分母转化为常数，进而拆分为两项差。 通式：（分子分母同乘，利用平方差公式有理化） 特例（，高频）： 例子： （三）指数型（含的分式） 适用于分母为“两个指数式乘积”的通项，拆分时需保证抵消后剩余项简洁。 通式：（且） 特例（）：（系数，可省略） 例子： （四）三角函数型（利用三角公式拆项） 适用于含三角函数的数列，借助三角恒等变换（如正切差公式）拆项。 核心公式：（推导自） 裂项形式： 例子：（，系数） 三、标准解题步骤（结合典型例题） 以求数列（）的前项和为例，分步演示： 步骤1：判断是否适用裂项相消法 通项为分式，分母可分解为两个线性项和，符合“可拆成两项差”的特征，适用。 步骤2：根据裂项类型，对通项进行裂项 对照“双线性分母型”通式，分母差为，系数为，故： 步骤3：写出前项和，并展开裂项后的表达式 将每一项按裂项形式展开，列出前3项和后2项，清晰呈现抵消规律： 代入裂项结果： 步骤4：抵消中间项，保留剩余项 观察展开式：中间的与、与、…、与全部抵消，仅剩余首项的和末项的： 步骤5：化简剩余项，得出最终结果 通分计算括号内的表达式： 四、解题避坑指南 1.系数易错：忘记补全裂项系数 如将误拆为（漏了系数），导致结果翻倍错误。牢记：系数由分母两因式的差决定，差为则系数为。 2.抵消误区：误判剩余项 对“隔项抵消”的类型（如），剩余项是“首项的前半部分+第二项的前半部分-倒数第二项的后半部分-末项的后半部分”（例：），而非仅首末两项。展开时至少列前3项和后2项，明确抵消规律。 3.通项预处理：未化简直接裂项 若通项为，需先拆分子：（而非直接裂项），再进一步分析是否适用裂项相消。复杂通项需先化简，再判断裂项形式。 4.项数核对：展开项数与原项数一致 裂项后展开的项数需与原数列的项数一致，避免多拆（如将拆成3项）或漏拆，导致抵消后项数错误。 例题精选 【例题1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【详解】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 【例题2】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数，为数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列前项和与通项公式的关系，通过求出的通项公式； （2）对函数求导得出，再利用裂项相消法求出． 【详解】（1）函数，为数列的前项和， 的前项和， 当时，， 当时，， 满足， 的通项公式为． （2）函数求导得， ， ， ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）设首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若为整数，且对任意，，求的最大值； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）方法一：由等比数列的定义代入计算，即可得到结果；方法二：由累乘法代入计算，即可得到结果； （2）方法一：由数列单调性的定义代入计算，即可得到有最小值，从而得到结果；方法二：构造函数，求导即可判断其单调性，从而得到结果； （3）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方法一：因为，所以. 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式为. 方法二：因为，所以. 由累乘法， 得， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）方法一：由题意可知， 由（1）可知， 易得对恒成立（当且仅当时取等号），即， 故有最小值， 故，即的最大值为2. 方法二：由题意可知， 由（1）可知， 设，则， 令，则，此时单调递增. 又，故，故， 即，而， 故有最小值， 故，即的最大值为2. （3）易得， 所以. 【相似题2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知数列中，，，令． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对题干给出的式子进行变形可得数列为等差数列，进一步得到的通项公式； （2）根据等差数列求和公式得到的表达式，再结合裂项相消法即可证明． 【详解】（1）由得，即， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即． （2）， 所以， 所以 ． 【题型4：分组求和法】 【解题策略】 一、核心原理 将数列通项拆为2个以上可求和子数列（等差/等比/常数等），分别求和后合并。 适用条件：（可直接用公式求和）。 二、常见考法（含例题） 1.基础型：等差+等比 例题：求的前项和 拆分：（等差，等比） 分别求和： 合并： 2.进阶型：多子数列（等比+等差+常数） 例题：求的前项和 拆分：（等比，等差，常数） 分别求和： ，， 合并： 3.特殊型：符号分组（含） 例题：求的前项和 分组：偶（2项1组），奇（偶数组+最后1项） 结果： 简化： 4.复杂型：绝对值分组（等差含负项） 例题：求的前项和 分界点：时，时 分情况求和： ： ： 三、通用步骤 1.拆分通项：拆为可求和子数列 2.分组合并：同类型子数列归为一组 3.各组分求：用对应公式（等差/等比/常数等） 4.汇总结果：按拆分符号合并，化简 四、避坑要点 1.勿漏项：如需拆为 2.项数对：奇/偶、分界点需单独验证（如时） 3.公式准：自然数平方和为（用验证：1+4=5） 4.符号对：负项求和需带符号（如的和为） 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求得的通项公式； （2）将的通项公式代入，得数列的通项公式，根据等比数列的求和公式求前10项的和，用并项求和的方法求第11项到第100项的和，即可求出数列的前100项和. 【详解】（1）设数列的公差为，由，得，即， 由，得，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知， ， 则 所以. 【例题2】（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用分组求和裂项相消求和即可. 【详解】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列 因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解； （2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以. （2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，.. 此时， 当时，，，.. 所以. 综上，. 【相似题2】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的定义，把二阶递推转化为等差数列，求出通项公式； （2）利用的通项公式确定的取值区间，分段统计并求和． 【详解】（1）由可得， 又，，即是以3为公差的等差数列， 又，得， ，解得，故， ． （2）， ， 又，当时，， 当时，，共3项， 当时，，共项， 当时，，共项， 当时，，共7项， ． 【题型5：数列求和与恒成立问题】 【解题策略】 一、核心逻辑：两步法解题 先通过分组、错位相减等方法求数列前项和，再将恒成立条件转化为的最值问题或不等式证明，分两步突破。 二、典型题型与解题示例 题型1：求和后求参数范围（如恒成立求的最大值） 例题：已知数列，对任意，恒成立，求实数的最大值。 步骤1：求（分组求和） 拆分（为等比数列，为等差数列）： 步骤2：分析的单调性，求最小值（恒成立需） 和均随增大而递增，故是递增数列。 最小值在时取得： 结论：，故的最大值为3。 题型2：求和后证明不等式（如恒成立，为常数） 例题：已知数列，证明：对任意，恒成立。 步骤1：求（裂项相消） 裂项得，求和： 步骤2：分析的范围（证明） 因，故，因此： 结论：恒成立。 题型3：含参数数列求和+恒成立（如恒成立求的范围） 例题：已知数列，对任意，恒成立，求的最小值。 步骤1：求（错位相减） 设， 乘公比：， 两式相减： 化简等比数列和：， 故： 步骤2：分析的最值（恒成立需） 且随增大而减小，故是递增数列，趋近于3（无最大值，但有上界3）。 因此：。 结论：的最小值为3。 三、通用解题步骤 1.求：根据通项类型选方法（分组、错位相减、裂项等），确保计算正确； 2.转化恒成立条件： “”：求最小值，； “”：求最大值（或上界），； 含参数（如）：分离参数得（或），再求的最值； 3.验证结论：利用数列单调性或极限确定最值（数列是离散的，需验证的相邻项）。 四、避坑要点 1.求和优先：错位相减、裂项时注意符号和项数，避免求和错误； 2.离散性提醒：如，最小值在（），而非实数函数顶点； 3.分离参数符号：若，不等号方向反转（如，则）； 4.放缩合理性：证明时，放缩需适度（如仅成立，需验证）。 例题精选 【例题1】（2024·青海玉树·二模）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答. (1)求的通项公式； (2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围. ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①②，利用等比中项列式求出公差即可；选③利用等差中项列式求出公差即可. （2）根据给定条件结合（1）求出，再利用错位相减法求出，将给定不等式变形，分离参数构造数列，探讨单调性即可作答. 【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由，，， 有，化简得．则，， 所以的通项公式为． 选②，设递增等差数列的公差为，由，，， 有，化简得， 即，解得，则， 所以的通项公式为． 选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项， 得，即， 则有，化简得， 即，解得，则， 所以的通项公式为． （2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得， 由（1）知，即有， 则， 于是得， 两式相减得：， 因此，又， 不等式，等价于， 于是得，恒成立， 令，则， 则时，，即数列单调递增， 当时，，即数列单调递减， 当时，，则，所以实数的取值范围是． 【例题2】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【详解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东江门·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1) (2)99 【分析】（1）根据数列的前项和与项之间的关系，即可求得答案； （2）结合（1）可求出的表达式，利用裂项相消法可求出的表达式，判断其增减性，结合不等式，即可确定答案. 【详解】（1）由题意知， 当时，，则； 当时，，则， 则，故， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 故； （2）由，可得， 则， 故， 由于，则随着n的增大而增大， 由，可得，结合时，， 可知满足条件的最大整数为99. 【相似题2】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足，，，． (1)求的通项公式； (2)的前项和记为，试求； (3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到的通项公式. （2）根据的奇偶性，分别计算前项和. （3）先求出的表达式，再将不等式变形，通过数列的最大值来确定的范围. 【详解】（1）已知数列满足． 当时，，两式相减得：，即． 则，，且时，. ，，且时，. 经检验，也符合通式． 综上． （2）依题意，当，，且时. ，也符合通式. 当，，且时，． 综上． （3）由（2）中结论，. 则时，原式等价于，恒成立，即恒成立. 记. 则时，. 即在时，单调递减． 可知，可得． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 二、填空题 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为则 ． 三、解答题 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 7．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 8．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 9．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 10．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：． (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式． 11．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)已知，记，求. (3)若恒成立，求实数t的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 答案 D B B 1．D 【分析】成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列，由分组求和、等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列， 所以. 故选：D. 2．B 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：B 3．B 【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 4． 【分析】根据题意易得数列的奇数项和偶数项都是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用分组求和法即可得出答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 又因， 所以数列的偶数项也是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 所以. 故答案为：. 5．(1) (2)①；② 【分析】（1）分别令和，解方程可得，，可得与，进而可得； （2）利用分组求和的方法可得，进而确定集合中元素. 【详解】（1）当时，， 所以，解得， 当时，， 所以，解得， 则， 所以，， 则； （2）① ； ② ， 当为偶数时，， 所以当为偶数时，恒成立， 当为奇数时， ， 令， 又函数在上单调递增，且，， 所以， 所以集合中所有元素的和为. 6．(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可得出结论； （2）求出数列的通项公式，对分偶数和奇数两种情况讨论，结合分组求和法可求得的表达式； （3）求出的表达式，假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列，不妨设，由等差数列的定义得出，可得出，等式两边同时除以，得，分析等式不成立，即可得出结论. 【详解】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. （3）由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 7．(1)，． (2)． 【分析】（1）由等差数列定义可得数列为等差数列，再结合等差数列性质计算即可得数列的通项公式，设出等比数列公比，结合等差数列定义计算即可得数列的通项公式； （2）借助等差数列求和公式可表示，再利用裂项相消法计算可得，再结合数列单调性计算即可得解. 【详解】（1）由，则， 故数列为等差数列，设其公差为， 则有，解得，则， 设等比数列公比为， 则有，即，则， 解得或（舍去），故； （2）由（1）可知，， 则， 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 由单调递增，故当时，， 故，即，所以的最大值为． 8．(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出. （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. （3）利用（1）的结果求出，进而求出，再利用分组求和法及裂项相法求和即得. 【详解】（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，， 在等比数列中，由，，得，而，则， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）得，， ， ， 两式相减得 ， 所以. （3）由（2）得，， 所以 . 9．(1) (2) (3). 【分析】（1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到仅有. 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 10．(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【详解】（1）证明：由，得， 因为是正项数列，所以，即， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以.故 （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 故. 11．(1)证明见解析，； (2)①；②． 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当也符合. （2）①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 12．(1)； (2) (3) 【分析】（1）设数列的公比为，由求出，进而得，由得，由得，最后利用累加法即可求解； （2）由（1）有，利用裂项相消法即可求解； （3）由恒成立，得恒成立，令，求出其最大值即可. 【详解】（1）设数列的公比为，所以， 所以， 由有：，即，化简得，解得， 所以，所以； 又由，所以， 由，所以，解得， 当时，， 当时，，所以； （2）由（1）有， 所以； （3）由恒成立，所以，即恒成立， 令， 所以， 当时，，当时，， 当时，，所以， 所以， 所以，所以， 所以实数t的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第39讲：数列的求和】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、数列求和核心方法梳理 （一）基础公式法 1.等差数列求和公式 已知首项、末项、项数： 已知首项、公差、项数： 2.等比数列求和公式 公比时： 公比时： 3.常用自然数求和公式 自然数和： 自然数平方和： 自然数立方和： （二）特殊求和方法 1.错位相减法 适用场景：通项为“等差数列×等比数列”（如） 步骤： ①写出前项和； ②两边同乘等比数列公比，得； ③两式相减，消去中间项，转化为等比数列求和： 2.裂项相消法 适用场景：通项可拆分为两项之差（分式型、根式型等） 常见裂项形式： ①（特例：）； ②； ③。 3.分组求和法 适用场景：通项可拆分为多个等差、等比或可直接求和的数列（如） 步骤： ①拆分通项：（为等差数列，为等比数列）； ②分别求和：； ③合并结果。 4.倒序相加法 适用场景：数列满足（为常数，如等差数列、对称数列） 步骤： ①正序写和：； ②倒序写和：； ③两式相加： 解得。 5.并项求和法 适用场景：项正负交替或可按规律分组合并（如） 技巧：按2项或3项为一组合并（如），转化为常数数列或简单数列求和。 二、常考结论归纳 1.等差/等比数列求和性质 等差数列： ①若（），则； ②前项和的片段和：、、仍成等差数列。 等比数列： ①若（），则； ②前项和的片段和（均不为0）：、、仍成等比数列。 2.等差数列求和最值结论 当、时，有最大值（找到最后一个正项对应的项数，为最大值）； 当、时，有最小值（找到最后一个负项对应的项数，为最小值）。 3.等差数列绝对值求和公式 设等差数列的正负分界点为（即，或反之），则： （其中为原等差数列前项和） 4.周期数列求和公式 若数列的周期为（即），一个周期的和为，则： （为向下取整，为除以的余数，余数为0时） 5.错位相减结果模板 若通项为（为常数，），则前项和可设为： （其中，，，可通过待定系数法求解） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：倒序相加法】 【解题策略】 一、倒序相加法的核心原理 倒序相加法的本质是利用数列的“对称性”——即数列中第项与第项的和为固定常数（记为），通过“正序写和”与“倒序写和”相加，将分散的项转化为“常数×项数”的简单形式，从而快速求和。 关键前提（适用场景验证）： 先判断数列是否满足对称条件：对任意，是否有（为定值）。 常见满足条件的数列： 1.等差数列（因，为定值）； 2.对称数列（如，、，、，均满足和为5）； 3.由“对称函数”生成的数列（如，则满足）。 二、标准解题步骤（结合实例演示） 以等差数列：（即1,3,5,...,2n-1），求前项和为例，分步拆解： 步骤1：正序写出前项和 按项的顺序依次排列，明确项数和每一项的表达式： 代入，得： 步骤2：倒序写出前项和 将原式从最后一项倒过来写，保持项数不变（第1项与第项交换，第2项与第项交换，以此类推）： 代入，得： 步骤3：两式相加，利用对称性消元 将式(1)与式(2)左右两边分别相加，左边为； 右边观察“对应项的和”：第1组（1与2n-1）、第2组（3与2n-3）、…、第组（2n-1与1），每组和均为，共组： 右边简化为“常数×项数”： 步骤4：整理求解 两边同时除以2，得最终和： 三、拓展应用：非等差数列的对称数列求和 以数列满足，求前10项和为例，展示非等差场景的应用： 第一步：先化简通项，验证对称条件 先计算的表达式（分子为自然数和）： 验证对称条件：（定值），满足条件。 第二步：正序+倒序写和，相加求解 正序： 倒序： 相加：，故。 四、解题关键要点与误区 1.核心判断：必须先验证是否为定值，若不是则不能用（如等比数列通常不满足）； 2.项数对应：倒序时项数要与正序完全一致，避免漏项（如为奇数时，中间项单独算，仍满足和为定值）； 3.函数求和迁移：若遇到“”，且，可直接套用倒序相加法（将函数值视为数列项）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【例题2】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）利用倒序相加法证明： ． 【相似题2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【题型2：错位相减法】 【解题策略】 一、错位相减法的核心原理与适用场景 1.核心原理 错位相减法专为“等差数列×等比数列”型通项设计：设数列的通项为，其中： 是等差数列（公差为）， 是等比数列（公比为，）。 通过“写出→两边乘公比→两式相减”，可将混合数列求和转化为等比数列求和（中间项错位抵消，故得名“错位相减”）。 2.适用场景验证 先判断通项是否符合“等差×等比”结构，常见例子： （是等差，是等比）； （是等差，是等比）； （是等差，是等比，公比）。 二、标准解题步骤（结合典型实例） 以求数列（）的前项和为例，分步拆解： 步骤1：写出前项和（正序展开，明确每一项） 按通项公式依次列出前项，注意保留“等差项”与“等比项”的对应关系： 代入，得： 步骤2：两边同乘等比数列的公比（关键：让等比项“错位”） 本题中，公比，将式(1)两边乘，使等比项的指数整体后移1位，为后续相减抵消做准备： 步骤3：两式相减（错位抵消，转化为等比数列求和） 用“原式(1) - 乘公比后式(2)”（或“式(2)-式(1)”，注意符号统一），重点关注等比项的抵消规律： 步骤4：整理左边，化简右边（分三部分处理） 左边：合并同类项，得； 右边：拆分为“孤立项 + 等比数列项 + 末项”： 1. 孤立项：仅第一项（无对应抵消项）； 2. 等比数列项：中间抵消后，提取公比（），剩余系数为等差数列的公差： 这是首项为、公比为、项数为的等比数列； 3. 末项：仅最后一项（无对应抵消项）。 步骤5：对等比数列求和，最终解出 用等比数列求和公式（为首项，为项数）： 将右边各部分代入，整理得： 两边乘，最终： 三、拓展应用：特殊形式的错位相减 1. 等比数列公比为分数（如） 例：求的前项和 步骤不变，乘公比后相减，注意分数运算通分； 结果：（可通过“模板验证”快速核对）。 2. 等差数列含常数项（如） 通项拆分为，可先分别用错位相减求的和，再用公式求的等比和，最后合并（分组+错位结合）。 四、解题关键要点与避坑指南 1. 公比判断：若（等比数列为常数列），无需错位相减，直接用“等差和×常数”（如，）； 2. 符号陷阱：相减时注意中间项的符号（建议用“上式减下式”或“下式减上式”固定一种，避免混乱）； 3. 项数计数：中间等比数列的项数为（非），首项是“第二项的抵消结果”（如实例中首项为）； 4. 结果模板：对，（，可快速待定系数验证，如实例中，，，与结果的系数一致）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列中，. (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数，设函数，求. 【例题2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． (1)求，，的值； (2)已知数列满足，求的前项和． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）数列满足，且时，有． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，试求． 【相似题2】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型3：裂项相消法】 【解题策略】 一、裂项相消法的核心原理 裂项相消法的本质是将数列通项拆分为“两项之差”的形式，使得前项和展开后，中间的大部分项相互抵消，仅剩余首项和末项（或少数几项），最终通过简单计算得出结果。 关键前提（适用场景）： 数列通项需满足“可拆性”——即（为常数，常见），且拆分后相邻项的“后一项的负项”与“前一项的正项”能抵消（如，的与的抵消）。 二、常见裂项类型（通式+实例） （一）基本分式型（高频考点） 此类是最基础且常考的裂项形式，核心是“分母因式分解后，按因式拆分，补全系数”。 1.单常数差型（分母为） 通式：（为正整数，系数是关键，由分母两因式的差决定） 特例（，最常用）： 例子： 2.双线性分母型（分母为） 通式：（，系数由分母两线性项的常数差决定） 例子1：（分母差为，系数） 例子2：（分母差为，系数） 3.分子含常数型（分子不为1，需先提取常数） 通式：（为常数，先将分子的提出，再按基本型裂项） 例子：； （二）根式型（有理化裂项） 适用于分母含“根式和”的通项，通过有理化将分母转化为常数，进而拆分为两项差。 通式：（分子分母同乘，利用平方差公式有理化） 特例（，高频）： 例子： （三）指数型（含的分式） 适用于分母为“两个指数式乘积”的通项，拆分时需保证抵消后剩余项简洁。 通式：（且） 特例（）：（系数，可省略） 例子： （四）三角函数型（利用三角公式拆项） 适用于含三角函数的数列，借助三角恒等变换（如正切差公式）拆项。 核心公式：（推导自） 裂项形式： 例子：（，系数） 三、标准解题步骤（结合典型例题） 以求数列（）的前项和为例，分步演示： 步骤1：判断是否适用裂项相消法 通项为分式，分母可分解为两个线性项和，符合“可拆成两项差”的特征，适用。 步骤2：根据裂项类型，对通项进行裂项 对照“双线性分母型”通式，分母差为，系数为，故： 步骤3：写出前项和，并展开裂项后的表达式 将每一项按裂项形式展开，列出前3项和后2项，清晰呈现抵消规律： 代入裂项结果： 步骤4：抵消中间项，保留剩余项 观察展开式：中间的与、与、…、与全部抵消，仅剩余首项的和末项的： 步骤5：化简剩余项，得出最终结果 通分计算括号内的表达式： 四、解题避坑指南 1.系数易错：忘记补全裂项系数 如将误拆为（漏了系数），导致结果翻倍错误。牢记：系数由分母两因式的差决定，差为则系数为。 2.抵消误区：误判剩余项 对“隔项抵消”的类型（如），剩余项是“首项的前半部分+第二项的前半部分-倒数第二项的后半部分-末项的后半部分”（例：），而非仅首末两项。展开时至少列前3项和后2项，明确抵消规律。 3.通项预处理：未化简直接裂项 若通项为，需先拆分子：（而非直接裂项），再进一步分析是否适用裂项相消。复杂通项需先化简，再判断裂项形式。 4.项数核对：展开项数与原项数一致 裂项后展开的项数需与原数列的项数一致，避免多拆（如将拆成3项）或漏拆，导致抵消后项数错误。 例题精选 【例题1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【例题2】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数，为数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）设首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若为整数，且对任意，，求的最大值； (3)设，求数列的前项和. 【相似题2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知数列中，，，令． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【题型4：分组求和法】 【解题策略】 一、核心原理 将数列通项拆为2个以上可求和子数列（等差/等比/常数等），分别求和后合并。 适用条件：（可直接用公式求和）。 二、常见考法（含例题） 1.基础型：等差+等比 例题：求的前项和 拆分：（等差，等比） 分别求和： 合并： 2.进阶型：多子数列（等比+等差+常数） 例题：求的前项和 拆分：（等比，等差，常数） 分别求和： ，， 合并： 3.特殊型：符号分组（含） 例题：求的前项和 分组：偶（2项1组），奇（偶数组+最后1项） 结果： 简化： 4.复杂型：绝对值分组（等差含负项） 例题：求的前项和 分界点：时，时 分情况求和： ： ： 三、通用步骤 1.拆分通项：拆为可求和子数列 2.分组合并：同类型子数列归为一组 3.各组分求：用对应公式（等差/等比/常数等） 4.汇总结果：按拆分符号合并，化简 四、避坑要点 1.勿漏项：如需拆为 2.项数对：奇/偶、分界点需单独验证（如时） 3.公式准：自然数平方和为（用验证：1+4=5） 4.符号对：负项求和需带符号（如的和为） 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【例题2】（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【相似题2】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 【题型5：数列求和与恒成立问题】 【解题策略】 一、核心逻辑：两步法解题 先通过分组、错位相减等方法求数列前项和，再将恒成立条件转化为的最值问题或不等式证明，分两步突破。 二、典型题型与解题示例 题型1：求和后求参数范围（如恒成立求的最大值） 例题：已知数列，对任意，恒成立，求实数的最大值。 步骤1：求（分组求和） 拆分（为等比数列，为等差数列）： 步骤2：分析的单调性，求最小值（恒成立需） 和均随增大而递增，故是递增数列。 最小值在时取得： 结论：，故的最大值为3。 题型2：求和后证明不等式（如恒成立，为常数） 例题：已知数列，证明：对任意，恒成立。 步骤1：求（裂项相消） 裂项得，求和： 步骤2：分析的范围（证明） 因，故，因此： 结论：恒成立。 题型3：含参数数列求和+恒成立（如恒成立求的范围） 例题：已知数列，对任意，恒成立，求的最小值。 步骤1：求（错位相减） 设， 乘公比：， 两式相减： 化简等比数列和：， 故： 步骤2：分析的最值（恒成立需） 且随增大而减小，故是递增数列，趋近于3（无最大值，但有上界3）。 因此：。 结论：的最小值为3。 三、通用解题步骤 1.求：根据通项类型选方法（分组、错位相减、裂项等），确保计算正确； 2.转化恒成立条件： “”：求最小值，； “”：求最大值（或上界），； 含参数（如）：分离参数得（或），再求的最值； 3.验证结论：利用数列单调性或极限确定最值（数列是离散的，需验证的相邻项）。 四、避坑要点 1.求和优先：错位相减、裂项时注意符号和项数，避免求和错误； 2.离散性提醒：如，最小值在（），而非实数函数顶点； 3.分离参数符号：若，不等号方向反转（如，则）； 4.放缩合理性：证明时，放缩需适度（如仅成立，需验证）。 例题精选 【例题1】（2024·青海玉树·二模）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答. (1)求的通项公式； (2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围. ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【例题2】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东江门·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数. 【相似题2】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足，，，． (1)求的通项公式； (2)的前项和记为，试求； (3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 二、填空题 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为则 ． 三、解答题 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 7．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 8．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 9．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 10．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：． (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式． 11．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)已知，记，求. (3)若恒成立，求实数t的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $