4.1.2 垂线（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学导学案围绕垂线展开，核心内容包括垂线的概念、画法、性质及点到直线的距离。通过知识链接回顾两点间距离和相交线角的关系，搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 导学案以自主预习与合作探究为特色，通过问题驱动引导学生经历概念形成和性质探究过程。例题与检测题设计注重几何直观和推理意识的培养，帮助学生在解决实际问题中提升抽象能力，落实数学核心素养，适合学生自主学习和教师教学评估。

2.垂 线 学习目标： 1.理解垂线的概念及画法； 2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题(重点、难点). 自主学习 一、知识链接 1.两点间的距离如何测量呢？ 2.两条直线相交会形成几个角？这些角之间有何数量关系？ 二、新知预习 （预习课本P172-175）完成下列各题： 1.垂直的有关概念：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为 时，其他三个角也为直角，此时，这两条直线互相垂直，把它们的交点叫做 ，其中一条直线叫做另一条直线的 . 2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 . 3.从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离. 练习：如图， （1）图中互相垂直的两条直线为 ，垂足为 ；（写一组即可） （2）点B到直线AD的距离为 ； （3）点A到直线BC的距离为 . 合作探究 1、 要点探究 探究点1：垂线的概念 问题1:两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？ 问题2:试着借助下图写出问题1的推理过程. 已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°，说明∠AOD、∠BOD、∠BOC均为直角. 【要点归纳】 1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”. 3.交点O叫做垂足. 4.垂直是相交的特殊情况. 例1 (1)如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是________ ； (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______°. 例2 如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝116°，求∠AOD的度数． 探究点2：垂线的画法及基本事实 问题3 （1）画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条? 【要点归纳】垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 探究点3：点到直线的距离 问题4 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. （1）线段AB, AC, AD , AE谁最短？ （2）你能用一句话表示这个结论吗？ 【要点归纳】（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短. （2）线段AD的长度叫做点A到直线l的距离. 例3 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 二、课堂小结 垂线 垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 垂线的画法 借助三角尺画垂线的步骤：（1）放；（2）靠；（3）移；（4）画 垂线的性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)垂线段最短. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 当堂检测 1.过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，且直线AB与EF相交于点O,则图中∠1与∠2的关系是（　　） A．∠1+∠2＝180° B．∠1+∠2＝90° C．∠1＝∠2 D．无法确定 3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离（　　） A．等于4cm B．等于3cm C．小于3cm D．不大于3cm 4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（　　） A．两对对顶角分别相等 B．有一对对顶角互补 C．有两个角是直角 D．有三个角相等 5.如图，要从小河a引水到村庄A，设计人员设计了一条最佳路线如图所示，其设计的依据是　 　 ． 第5题图 第6题图 第7题图 6．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于点E．若∠AED＝145°，则∠CEF＝　 　°． 7．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝　 　． 8．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数． 参考答案 自主学习 二、新知预习 1.直角 垂足 垂线 2.垂直 3.垂线段 练习：1.（1）BC、AD D （2）线段BD （3）线段AD 合作探究 一、要点探究 探究点1：垂线的概念 问题2 解：因为∠AOC=90°，所以∠BOD=90°，∠AOD=∠BOC=180°-∠AOC=90°. 例1 （1）m⊥n （2）90 例2 解：因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°．因为∠EOC＝116°，所以∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE=116°﹣90°＝26°，则∠AOD＝180°﹣∠AOC＝154°． 例3 解：过农田P处作河流的垂线，垂足为点O，则沿着线段OP挖掘能使渠道最短，画图略. 当堂检测 1．C 2．B 3．D 4．A 5．垂线段最短 6．55 7．72° 8．解：因为AO⊥OD且∠AOB＝40°，所以∠BOD＝90°﹣40°＝50°.所以∠EOF＝50°．又因为OD平分∠BOC，所以∠DOC＝∠BOD＝50°．所以∠COE＝180°﹣∠EOF -∠DOC=180°﹣50°﹣50°＝80°． 学科网（北京）股份有限公司 $