4.1.2 垂线（课件）-2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心知识点，涵盖定义、画法、性质及点到直线的距离。课堂通过观察图片特殊位置关系和木条转动实验导入，从相交线自然过渡到垂直这一特殊情况，以定义、性质、画法为支架构建知识脉络。 其特色在于融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理意识），通过木条实验、修路引水等生活实例及光的反射跨学科题目，采用探究式与动手操作教学，课堂小结结构化呈现要点。助力学生深化概念理解与应用能力，为教师提供分层教学素材和清晰教学流程。

华东师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月22日 4.1.2 垂线 第四章 相交线和平行线 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于垂线的说法正确的是（ ） A. 两条直线相交，即为互相垂直 B. 互相垂直的两条直线不一定相交 C. 两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 D. 直线AB⊥CD，说明AB是垂线，CD不是垂线 2. 点到直线的距离是指（ ） A. 点到直线上任意一点的距离 B. 点到直线的垂线段 C. 点到直线的垂线段的长度 D. 直线的长度 3. 过一点画已知直线的垂线，可画（ ） A. 1条 B. 2条 C. 无数条 D. 无法确定 4. 下列语句错误的是（ ） A. 垂线段最短 B. 垂直是相交的一种特殊情况 C. 若两条直线垂直，则所成的四个角都是直角 D. 线段最短 5. 已知直线l外一点P，点P到直线l的距离为5cm，则点P到直线l上任意一点的距离（ ） A. 等于5cm B. 大于等于5cm C. 小于5cm D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 两条直线相交成________角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的________。 2. 垂线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直。 3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短。 4. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的________的长度。 5. 若直线AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC = ________°。 三、解答题（共70分） 1. （10分）判断下列说法是否正确，正确打“√”，错误打“×”： （1）两条直线相交，只要有一个角是直角，其余三个角也都是直角。 （2）垂线是一条线段。 （3）直线外一点到直线的垂线段就是点到直线的距离。 （4）在同一平面内，过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直。 （5）斜线段一定比垂线段长。 2. （15分）改错说理：判断正误，错误的改正并说明理由： （1）不相交的两条直线互相垂直； （2）线段AB垂直于直线CD，则AB是CD的垂线，CD不是AB的垂线； （3）垂线段最短，所以线段比射线短； （4）点到直线的距离是点到直线的连线； （5）过一点可以作无数条已知直线的垂线。 3. （15分）基础角度计算题： （1）直线AB⊥CD，垂足为O，求∠BOD的度数； （2）直线AB、CD相交于O，AB⊥CD，若∠AOE = 35°，求∠COE的度数； （3）已知直线l⊥m，m⊥n，判断直线l与n的位置关系（同一平面内）； （4）两条直线互相垂直，其中一个角为(2x)°，求x的值； （5）直线AB、CD交于点O，∠AOC = 90°，求∠BOC、∠BOD的度数。 4. （15分）中档综合计算题： （1）直线AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，求∠BOE的度数； （2）已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠COE = 40°，求∠BOD的度数； （3）过点P作直线l的垂线，垂线段长6cm，则点P到直线l的距离是多少？ （4）直线AB⊥OE，∠AOC = 30°，求∠COE的度数； （5）两条直线垂直相交，若其中一个角被射线分成2∶3两部分，求这两个小角的度数。 5. （15分）拓展应用与说理题： （1）为什么修路、引水都尽量修垂直路段？请用垂线知识点说明； （2）简述“点到直线的距离”和“两点间的距离”的区别； （3）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，求证：a∥c； （4）已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC = 20°，求∠BOD的度数； （5）简述过直线外一点画已知直线垂线的步骤。 参考答案： 一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 二、1. 直；垂线 2. 1 3. 垂线段 4. 垂线段 5. 90 三、1. （1）√；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√ 2. （1）错误；改正：同一平面内，两条直线相交成直角才互相垂直，不相交的直线不垂直； （2）错误；改正：垂直是相互的，AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线； （3）错误；改正：垂线段最短是相对直线外一点到直线的所有线段而言，不能比较线段和射线的长短； （4）错误；改正：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度，不是连线本身； （5）错误；改正：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3. （1）∵ AB⊥CD，∴ ∠BOD = 90°； （2）∵ AB⊥CD，∠AOC=90°，∴ ∠COE = 90° - 35° = 55°； （3）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，∴ l∥n； （4）2x = 90，解得x = 45； （5）∠BOC=90°，∠BOD=90°。 4. （1）∵ AB⊥CD，∠AOC=90°，OE平分∠AOC，∴ ∠AOE=45°，∠BOE=180°-45°=135°； （2）∵ OE⊥AB，∠AOE=90°，∠AOC=90°-40°=50°，∴ ∠BOD=∠AOC=50°； （3）点P到直线l的距离为6cm； （4）∵ AB⊥OE，∠AOE=90°，∴ ∠COE=90°-30°=60°； （5）直角90°，按2∶3分配：36°、54°。 5. （1）依据“垂线段最短”，垂直路径距离最短，节省材料、缩短路程； （2）两点间距离：两点之间线段的长度；点到直线距离：点到直线垂线段的长度，对象与定义不同； （3）证明：a⊥b，得夹角90°；b⊥c，得夹角90°，同位角相等，两直线平行，故a∥c； （4）∵ OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOB=∠COD=90°，∴ ∠BOD=∠AOC=20°； （5）①将三角尺一条直角边与已知直线重合；②平移三角尺，使另一条直角边经过已知点；③沿直角边画直线，即为已知直线的垂线。 知道垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线. 知道点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 能说出关于垂线的基本事实，并会用它解题. 观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？ 情景引入 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b a b ） α 垂线的概念 问题： （1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变 a与b所成的角也随之发生改变 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b 问题： （2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？ a b ） α a与b垂直 定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直. 记作：AB⊥CD或m⊥l 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2） 垂直的定义及表示方法 A B C D O （2） B C D O （1） A l m 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 记作：AB⊥CD于点O A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时， 那么AB⊥CD. 因为∠AOD=90°（已知） , 所以AB⊥CD（垂直的定义） 垂线的判定 符号语言： 若直线AB与CD垂直,垂足为O， 则∠AOD=90° 因为 AB⊥CD （已知） , 所以 ∠AOD=90°（垂直的定义） (或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) A B C D O 垂线的性质 8 如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______. 若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______. 如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______. O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 图1 图2 牛刀小试 4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？ 经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？ 垂线的画法及基本事实 试一试 P B A (1) (2) P A B B 问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？ O 如图，已知直线 AB,作AB的垂线. 无数条 1.落 2.靠 3.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线. 根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？ 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 特殊的直线 如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB. A B C D O // // 此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线） 垂直平分线又可称为中垂线 如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上． （1）画直线 DE⊥OB; （2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F． 解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线. （2）如图②所示，直线DF为所求作的直线. 牛刀小试 探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. 1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 简述：垂线段最短. 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. 规定： 作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 垂线段 思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 牛刀小试 如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 做一做 体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 起跳线 点到直线的距离 想一想 做一做 如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格； 向右转 90°，前进 5 格； 向左转 90°，前进 3 格； 向左转 90°，前进 6 格； 向右转 90°，后退 6 格； 最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形. A 练一练 1. 如图，下列说法正确的是 （ ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 思路点拨：紧扣定义解题. 2. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射 线，若∠1 ＝ 50°，∠2 ＝ 40°，则 OE 与 AB 的位 置关系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 练一练 知识点1　垂直的定义 1. 如图，若 CD ⊥ EF ，∠1＝∠2，则 AB ⊥ EF ，请说明理 由(补全解题过程). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 解：因为 CD ⊥ EF ， 所以∠1＝ °(垂直的定义). 所以∠2＝∠1＝ ⁠°. 所以 AB EF (垂直的定义). 90　 90　 ⊥　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 2. 已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线 互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因 果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有 (　D　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 3. [新趋势·跨学科 2023 江西]如图，平面镜 MN 放置在水平 地面 CD 上，墙面 PD ⊥ CD 于点 D ，一束光线 AO 照射到 镜面 MN 上，反射光线为 OB ，点 B 在 PD 上，若∠ AOC ＝35°，则∠ OBD 的度数为(　C　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 【点拨】 利用光的反射得∠ BOD ＝∠ AOC ＝35°，根据垂直的 定义得∠ ODB ＝90°，再利用三角形内角和等于180°即 可得出答案. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 4. [2023·北京]如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝ 126°，则∠ BOC 的大小为(　C　) A. 36° B. 44° C. 54° D. 63° (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 【点拨】 因为∠ AOC ＝90°，∠ AOD ＝126°， 所以∠ COD ＝∠ AOD －∠ AOC ＝36°. 因为∠ BOD ＝90°， 所以∠ BOC ＝∠ BOD －∠ COD ＝90°－36°＝54°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 中考考法 垂线 垂线的定义 垂线的性质 在同一平面内，过一点 ______________直线与已知直线垂直 垂线段____ 垂线的画法 一放二靠三移四画 最短 点到直线的距离 有且只有一条 课堂小结 $