专题05 直线和圆锥曲线综合（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

专题05 直线和圆锥曲线综合 4大高频考点概览 考点01 抛物线中的三角形和平行四边形问题 考点02 直线和抛物线 考点03 直线和圆锥曲线位置关系 考点04 定点、定值和定直线问题 地 城 考点01 抛物线中的三角形和平行四边形问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知抛物线焦点在轴上，准线为，焦准距为.抛物线上一条弦过焦点，直线的倾斜角为，分别为在上的投影，则（    ） A．以为直径的圆一定经过点 B．若为坐标原点，则三角形的面积为 C．若，则 D．过点作抛物线的切线交于点，则点在上 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由题意，不妨设抛物线方程为，由平面几何知识可得判断A；设过点的直线的方程为，，联立方程组，由根与系数的关系可求得判断B；利用，，计算可判断C；设过点的切线方程为，代入抛物线方程利用判别式法可求得切线方程，进而可求得交点的横坐标判断D. 【详解】由题意，不妨设抛物线方程为， 对于A，如图所示，连接，由抛物线的性质可知， 所以，又， 所以，所以， 所以以为直径的圆一定经过点，故A正确； 对于B，与抛物线有两交点的直线的斜率不为0， 设过点的直线的方程为， 联立，得，， 所以， 所以，故B正确； 对于C，，， 解得，， 由，可得，当A点每一象限时，可得，故C错误； 对于D，设过点的切线方程为， 代入抛物线方程得，整理得， 所以，所以， 所以，所以，解得，即 所以，又，化简可得①， 同理可得过点的切线方程为②， 联立①②得，所以， 所以，所以过点作抛物线的切线交于点，则点在上，故D正确. 故选：ABD. 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，进而求得，即可判断AB，利用求得两切线方程，进而求得点的坐标，计算可判断C；求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【详解】如图，，直线的斜率，则设直线的方程为， 联立得，得：，解得． 由，得，故A错误； 由于，则，故B正确； 所以，所以，， 又因为在第一象限，故在第四象限， 所以，， 所以， 设过点的切线方程为，代入抛物线方程可得， 整理得， 由判别式等于0，整理可得，解得， 所以过点的切线方程为，即①， 同理求得过点的切线方程为②， 联立①②可得，所以，又， 所以，故C正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)抛物线的一条弦的长度为10，过，两点分别做抛物线的切线交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】设弦所在直线方程为，联立方程，利用弦长求得，进而求得的切线方程，进而求得交点的坐标，求得点到直线距离的最大值，可求得最大面积. 【详解】因直线的斜率显然不为0，设弦所在直线方程为，， 联方，消去得， 所以， 由弦长公式可得， 化简整理得，所以， 设抛物线的一条切线方程为， 联立可得，消去得， 所以，解得，代入方程可得， 解得，所以， 所以抛物线在处的切线方程为，在处的切线方程为， 联立，解得且， 又，所以交点的坐标为， 所以点到直线的距离为 ， 当时，，所以面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设弦所在直线方程为，先利用弦长找到的关系，进而求得点与，从而可求得点到直线的距离的最大值，求得最大面积. 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知抛物线经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，且在抛物线上，求的最小值； (3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 【答案】(1) (2) (3)9 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）将点代入，求得值，从而求得抛物线的标准方程. （2）由在抛物线上及抛物线的性质可知到F的距离与Q到准线的距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值. （3）设直线的方程，由直线与圆相切，圆心到直线距离的等于半径，求得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得到AB的距离为，最后根据三角形面积公式，代入的值即可求得的面积. 【详解】（1）因为抛物线经过，故，所以， 所以抛物线的方程. （2） 在抛物线上， 到F的距离与Q到准线的距离相等，设为. 的最小值转化为的最小值， 易知当垂直于准线时，取到最小值， ， 所以的最小值为. （3） 当AB斜率不存在时，，显然不合题意. 当AB斜率存在时，设直线的方程为，即， 与圆相切，   ， 联立直线与抛物线方程得：， 设， ， ， 到AB的距离为， . 5．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1)若，求的值； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】（1）设，， 当时，直线为，则直线的方程为， 由，得， 则， 所以. （2）设直线的方程为， 由，得， 因为，，， 所以. 又因为， 所以的面积， 因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围是. 地 城 考点02 直线和抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连·期末)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】分析可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可得，解方程组即可求解. 【详解】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：. 联立方程组，消去并整理得. ， 设，，则，. ，，即. 由韦达定理得. 联立方程组，解得或. . 故选：A. 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据题意，联立方程组求出点的坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由，可得圆心，也是抛物线的焦点为， 如图，交抛物线的准线于，根据抛物线的定义，可得， 故的周长为， 由，解得， ∵，且，∴的取值范围为，∴， ∴的周长的取值范围为. 故选：C. 3．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】求得直线的方程为，设，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，由，可得，求解可得抛物线方程. 【详解】过倾斜角为的直线的方程为，设， 联立，消去，可得， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 故选：A. 二、填空题 4．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为 . 【答案】5 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】设，，，求出切线的方程，然后求出直线的方程，与抛物线联立，最后运用韦达定理表示出，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】由条件可知，设，，，则，， 再设切线PM的方程为，联立方程组， 整理得 ，由，且，可得， 则切线PM的方程为 ，即.由切线PM过点，可得. 同理，切线PN的方程为，由切线PN过点，可得， 则直线MN的方程为，联立方程组，整理得， 可得，， 则 ，当且仅当时，等号成立，故的最小值为5. 故答案为：. 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点（点可以重合），记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点分别为，若直线的斜率为2，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)1 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）设圆心为，根据题意有，建立方程解出即可； （2） 设，，，，，，直线与抛物线方程联立得，同理可得代入即可得解. 【详解】（1）设动圆圆心为． 因为，所以， 化简得，所以的方程为． （2）设，，，．直线． 由，可得，，． 由斜率公式可得，． 直线，代入的方程可得， ，，所以．同理可得， 所以． 因为直线的斜率为2，所以直线的斜率为1． 5．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. (1)求的值； (2)若的面积等于3，求直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数关系求出两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）把的面积转化为两个三角形，的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解 【详解】（1）设，由题意的斜率不为0，设直线的方程为， 代入抛物线方程可得，， 由根与系数的关系可得， 所以． （2）记为点， 由（1）有，    所以， 所以，解得：， 所以直线的方程为：或． 6．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知直线，直线，抛物线上有不与坐标原点重合的任意不同两点M，N，且.（其中O为坐标原点） (1)若，求实数的值； (2)证明：直线MN过定点； (3)直线过定点为，求三角形GMN面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）利用讨论斜率存在和不存在情形，然后利用系数成比例可求得参数，并检验是否重合； （2）利用向量的坐标运算来表示垂直关系，再借助点在抛物线上来消元即可得，再由两点式求直线方程，利用上式消元后可得，从而可得定点； （3）利用直线与抛物线联立方程组，结合三角形面积公式转化为，再利用韦达定理结合二次函数即可求最小值. 【详解】（1）当时，，，不平行. 所以 则由，得， 即，解得或. 当时，与重合，舍去. 当时，，，满足. 综上：. （2） ，令，，则. 又，有，则. 当直线斜率存在时， 直线方程可为， 则， 即：， 故直线过定点. 当直线斜率不存在时，，此时有，即. 又，则，故直线过定点. 综上：直线过定点. （3） 由（2）知直线过定点，，， 由于点满足在直线上，所以直线恒过的定点， 所以. 令. 由，有，即. 则， 从而有，当且仅当时等号成立，此时. 故三角形的面积最小值为. 7．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知抛物线的焦点为，双曲线的左焦点为，一条渐近线为，且与的一个交点为，满足. (1)证明：； (2)一斜率为的直线与交于两点，与交于点（在上方），点到的距离之和为，求的值（用含的式子表示）. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）利用两点间的距离公式与点到直线的距离公式计算可得结论； （2）设直线，与双曲线方程联立方程组，可求得中点的坐标，结合已知可求得，进而利用向量的数量积的坐标运算可求得数量积. 【详解】（1）的一条渐近线方程为可设，且其离心率为2， 下面证明上的点到点的距离是到直线距离的2倍： 设，则， ， ，又， 等于到准线的距离，且和在点同侧， 即； （2）依题意设直线，双曲线的另一条准线为则直线到的距离，即点到的距离为， 点到直线的距离为， 联立，消去得到， ，设中点， ， 到的距离为， ， 解得（由点在上方可知舍去）， ， . 地 城 考点03 直线和圆锥曲线位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【详解】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 2．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用正弦定理可得，设圆心为，只需求的最小值，根据圆与直线相切时求最小值即可. 【详解】由椭圆知，焦点，， 由正弦定理可知，其中为外接圆的半径， 因为，由圆的性质可知，外接圆圆心在轴上，如图， 不妨设圆心为，则圆的方程为， 由题意，圆与直线有公共点，且， 显然当圆与直线相切时，有最小值2， 此时为切点，如图， 所以，此时取最小值， 故选：D 二、多选题 3．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，直线分别与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．若是的中点，则是的中点 C． D．若是的中点，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据点是的中点得，计算直线的方程，与椭圆联立可得点坐标，由此可得选项A错误；计算直线的方程可得选项B正确；利用可得选项C正确；利用线段比例关系可得选项D正确. 【详解】 由题意得，，，， A.∵点是的中点，∴， ∴，故直线的方程为， 由得，，解得或， 将代入，可得，即，，A错误． B.由，得，故直线的方程为， 令，得，即，∴是的中点，B正确． C.设，直线的斜率分别为，则，，， ∴， 直线的方程分别为，， 分别令得，，， ∴，C正确． D.由，得，． ∵是的中点，∴． ∵，∴，故，D正确． 故选：BCD. 4．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与准线相切 C．直线斜率为 D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 5．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（    ） A．曲线关于原点对称，且关于直线对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D．已知，直线与曲线交于两点，则为定值 【答案】ABD 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据曲线上任意点，结合曲线方程判断是否在曲线上判断A；令第一象限点在曲线上，得，应用基本不等式求的范围判断B；根据题意位于第二象限时取得最大值，令得，利用求的范围判断C；设第一象限点，则且，结合两点距离公式求判断D. 【详解】根据曲线方程，若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程， 所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，A正确； 令第一象限点在曲线上，则， 因为，则，解得，当且仅当时等号成立， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 所以，令， 将代入，可得， 故，解得，即的最大值为6，C错误； 由题，知点关于原点对称，不妨设第一象限点， 则且， 则， ， 所以为定值，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、基本不等式、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键. 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知曲线上任意一点，都有的和为定值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】讨论的取值，整理化简曲线解析式，并作出曲线的大致图像，转化为点到直线的距离，从而知道只需要让曲线上的点在两条平行线之间即可，联立方程组，由判别式求得实数的取值范围. 【详解】曲线， 故曲线C的大致图象： 其中，，， 双曲线的图象无限接近于渐近线， 因为为定值， 所以为定值， 其中，分别表示曲线上的点到直线和直线距离， 当其仅当曲线上的点在两条平行线之间时有定值，如图： 所以直线为曲线的切线或在曲线下方， 由图可知最多只有一个解， 即最多有一个负数解，需满足直线在y轴上截距， 当时，，此时的解为，符合题意； 所以时，结合，解得， 故可得 故答案为： 【点睛】方法点睛，通过对曲线方程的化简作出曲线大致图像，通过数形结合解决本题.对于代数值为定值需要转化为点到两条平行直线的距离和为定值，从而解决本题. 四、解答题 7．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知双曲线E：的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线E的方程； (2)若平面有一定点， ①双曲线E上是否存在两点M，N，使？若存在，求直线的斜率；若不存在，说明理由； ②过点P的直线交双曲线E于A，B两点，设A，B的中点为Q，过点Q分别作双曲线E渐近线的平行线，交双曲线E于C，D两点，证明：. 【答案】(1) (2)①不存在，理由见解析；②证明见解析 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）利用渐近线方程可得，利用共焦点可得，求解可得双曲线方程这 （2）①令，，利用点差法可得，进而检验可知不存在这样的直线；②令，由①可得，不妨设直线与平行，与平行，可求得在曲线上，可得是直线的方程，可得结论. 【详解】（1）由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则， 故的方程为. （2）①不存在.由，知为的中点. 令，，则，有. 又，有，则. 这时直线MN的方程为：，即. 由，得无解，故不存在. ②令，由①知得. 不妨设直线与平行，与平行. ，有① ，有② ①②得， 即③ 则在③式所表示的曲线上.又C，D在上， 则是直线的方程，其斜率. 故成立. 8．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知椭圆：（）的右焦点为，且点在上. (1)求的方程； (2)若，，点为上一点.设直线PM与的另一个交点为点B，直线PN与C的另一个交点为点D.设，，证明：当点P在上运动时，为定值. (3)若经过圆O：上一动点G作的两条切线，切点分别记为R，S，直线GR，GS分别与圆O相交于异于点G的两点.求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据焦点坐标和得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）设，设直线的方程为 ，直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之积，根据得到，，从而表达出，计算可得出结果； （3）设点，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：，求得的方程，检验直线的斜率不存在，也满足的方程；同理可得直线的方程，由两点确定一条直线可得的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和对勾函数的单调性，可得所求范围. 【详解】（1）由题意知，，则①， 又因为点在上， 所以②，联立①②式可得， 解得，，所以的方程为. （2）证明：设，，，直线PM的方程为， 其中，且， 联立，可得， 则，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值.    （3）设点，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由， 消去y可得， ， 由题意得，整理可得， 则 ， 所以直线的方程为， 化简可得，即， 经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足， 同理可得直线的方程， 因为在直线上，所以， 所以可得直线的方程为， 而在圆上，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得， 则，， 到直线的距离， . 令，， 则，而， 所以的面积的取值范围是.    【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 9．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1)2 (2)3 (3)或 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程可解得，再根据离心率即可求解； （2）设出点坐标，代入双曲线方程，利用点差法及中点坐标公式即可求得直线的斜率； （3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论.当直线斜率存在时，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理和平面向量数量积为0即可解得直线方程. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. （2）根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. （3）由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以 ， 解得， 所以直线的方程为，即或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线与直线的位置关系. 1.双曲线的中点弦问题的求解方法：①点差法：设出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式即可求出直线斜率； ②方程组法：设出直线方程，联立方程组消元，结合韦达定理与中点坐标公式即可求解. 2.对于第（3）小问，设出直线方程，联立方程组消元，利用韦达定理与直线垂直的向量表示即可求解. 10．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等． (1)求椭圆与的标准方程． (2)若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)若（异于的左、右顶点，）为椭圆上的点，直线与交于点，，直线与交于点，，求的值． 【答案】(1)， (2)是，定值为 (3)6 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）先确定方程，再结合离心率及长轴、短轴求； （2）设切线，联立椭圆方程，结合韦达定理及为椭圆上的点，即可求证； （3） 先确定，在分别设直线的方程为，则直线的方程为，结合弦长公式即可求解； 【详解】（1）根据题意可得． 将点的坐标代入，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 设椭圆的标准方程为，则． 由，解得， 故椭圆的标准方程为． （2） 根据题意易得经过点且与椭圆相切的直线斜率存在，可设为． 由得， 所以， 化简可得． 设直线与的斜率分别为，， 则，是关于的方程的两个实根， 所以， 因为为椭圆上的点，所以， 所以， 故直线与的斜率之积是定值，且该定值为． （3）设，由题意得，， 则，， 得． 又因为，所以，所以． 不妨设，，，， 直线的方程为，则直线的方程为， 联立可得， 所以，， 所以， 同理，将代得， 故． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解. 地 城 考点04 定点、定值和定直线问题 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．直线与间的距离最小值为4 【答案】ABC 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 由题设有过焦点，而， 设，则可得即， 此时且，， 故，故A正确； ， 故B正确； 对于C，， 而，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故C成立； 对于D，故直线与间的距离， 当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8， 故选：ABC. 二、解答题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析； （ii）存在点使成立，点横坐标为，理由见解析 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）由双曲线的定义可求得双曲线的方程； （2）（i）联立直线方程与双曲线方程，由题意可得，进而可求得，结合，可得直线的方程，联立直线的方程可得点在定直线上；（ii）根据题意利用夹角公式得到关于的表达式，进而求得，从而可求得点的横坐标，由此得解. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线中靠近点的一支， 且，解得，所以， 所以双曲线的方程为； （2）（i）联立方程组，消去，得， 整理可得①， 因为直线与曲线相切，所以， 所以，所以， 将，代入①可得：， 解得，代入直线可得，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立方程组，所以， 所以，解得； 所以点在定直线上，该定直线方程为； （ii）由（i）可知，， 因为，所以，， 所以 ， 解得或，又因为不符合题意，所以（舍去）， 所以点横坐标为， 存在点使成立，此时点横坐标为， 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问的解决关键在于，利用夹角公式化简得关于的表达式，从而得解. 3．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； (3)若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】(1)根据，四边形的面积为4.，列出，求解即可； (2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立； (3)由(2)得：，由题意可知，求函数在上的最值，整理即可得出的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得，即. 因为四边形的面积为，所以. 由，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为， 则，，，不符合题意，舍去. 若椭圆的标准方程为，则，，设， 则，符合题意. 故椭圆的标准方程为. （3）由(2)得椭圆的方程为.设，则. 若存在实数，使得，则， 得， . 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则，故的取值范围为. 4．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)已知椭圆焦距为2，离心率等于 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，，其中，在轴的上方，且在的右侧，设弦，的中点分别为M，N． ①若弦，的斜率均存在，求的最小值； ②为坐标原点，试探究：与的面积之比是否为定值?若是，请求出此值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②与的面积之比为定值，定值为 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值； （2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，可得，结合基本不等式运算求解；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点，进而分析面积之比. 【详解】（1）由题意可知，，可得， 则，所以椭圆的方程为. （2）①设，则 联立方程，消去x可得， 则， 由弦长公式可得：， 用代替可得， 可得， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为； ②因为，可得， 则，由代替m得， 当，即时，，过点； 当，即时，， 则， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 设到直线的距离分别为，则， 可得. 所以与的面积之比为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； 2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 5．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆.    (1)求椭圆的方程； (2)且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点.证明：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】（1）设，写出直线和的方程，再相乘得，结合点在双曲线上即可得到椭圆方程； （2）设，直线的斜率为，写出相关直线方程，再联立椭圆方程，解出，计算相关斜率得，再利用点差法得，则，即证明三点共线. 【详解】（1），设， 设为曲线上任意一点，则，， 则直线的方程：① 直线的方程：② 由①②得， 在双曲线上，， ， 椭圆的方程为. （2）设，直线的斜率为， 则直线，直线， 联立，得，其中， ，同理， ， ， 设， ，两式作差得， ，， 三点共线. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过设点法，得到相关直线方程，再联立椭圆方程得到相关点横坐标，再计算证明得即可. 6．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【答案】(1)椭圆方程为，极线方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ， ， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 7．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2). 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）设出点坐标，利用斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】（1）由点M到点的距离比它到直线的距离小2， 得点M到点的距离等于它到直线的距离， 因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以C的方程为. （2）由（1）设点，，显然， 由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得， 所以直线的斜率. 8．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点. (1)求C的方程； (2)在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，将点代入双曲线方程可得，解方程求可得结论； （2）设直线，的斜率分别为，，结合直线与圆的位置关系可得，联立直线与双曲线方程可求，再求的方程，证明直线过定点可得结论. 【详解】（1）由题意知双曲线的渐近线方程为， 所以，即， 因为双曲线过点， 所以， 所以， 所以，， 所以的方程为. （2）当过点的直线与轴垂直时，不合题意， 设过点的与圆相切的直线方程为，即 则与直线相切，得， 平方整理得， 当时，不合题意，所以 设直线，的斜率分别为，，则有， 设，， 由得 则有，， 同理， 则直线的斜率 所以直线 所以直线必过，故此光线屏蔽器所在位置的坐标为. 9．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆，椭圆：是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. (1)求椭圆的离心率； (2)设为上异于其左、右顶点，的一点， ①当时，过P分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于M，N两点，求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）由已知可求得椭圆中，，可求离心率； （2）①易得椭圆，设设，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据，可得，代入可得，进而可得，为关于的方程的两根，可得结论；②椭圆，设，易知直线、的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，由题意可求得直线的斜率为，联立直线与椭圆方程求得，的最小值. 【详解】（1）对于椭圆，则：为， 故椭圆中， 则：，则椭圆的离心率. （2）①由题解得， 所以椭圆， 设，则直线的方程为，即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以.又点在椭圆上，所以， 所以，为定值. ②椭圆， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，设，易知直线、的斜率均存在且不为0， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以. 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以. 而， 当且仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：第（2）问第1小问关键在于利用法求得，进而得到，为关于的方程的两根，从而求得结论. 10．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知平面直角坐标系内的一个曲线的方程为不全为. (1)若曲线为①中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆；②顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线，分别写出两种情况时对应的应满足的充要条件； (2)当时，曲线上仅有一个点到直线的距离为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）①先利用椭圆的性质确定部分参数，再把方程化为，再利用椭圆的性质建立不等式，求解参数范围即可；②先利用抛物线的性质确定部分参数，再把方程化为，再利用抛物线的性质建立不等式，求解参数范围即可. （2）首先利用给定条件确定方程为圆，再利用圆的性质判断出是圆的切线，再利用切线的性质得到斜率关系建立方程，求解即可. 【详解】（1）①对于充分性：若曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆， 则满足，此时方程变为，显然， 则，即，而椭圆焦点在轴上， 得到，而，得到， 解得，此时满足，则充分性成立， 对于必要性：当时， 是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，则必要性成立， 故充要条件为， ②对于充分性：若曲线为顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线， 则满足，此时方程化为，则，显然， 得到，而焦点在轴负半轴上，则，解得，则充分性成立， 对于必要性，当时， 是顶点在坐标原点， 焦点在轴负半轴上的抛物线，则必要性成立， 故充要条件为； （2）当时，方程化为， 易得圆恒过原点，且圆心， 设与直线的距离为1的直线为 则，解得或， 当时，直线为，此时由图可得，不符合题意，故排除， 由于时，直线为，显然直线经过原点， 而圆恒过原点，且此时圆上必有一点到所给直线距离为1， 故与圆相切于原点，且， 由切线的性质得，故， 由斜率公式得，即，解得. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线和圆锥曲线综合 ☆4大高频考点概览 考点01抛物线中的三角形和平行四边形问题 考点02直线和抛物线 考点03直线和圆锥曲线位置关系 考点04定点、定值和定直线问题 考点01 抛物线中的三角形和平行四边形问题 一、单选题 1,(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学期末)已知抛物线C焦点F在x轴上，准线为l,焦准距为p.抛物线上 一条弦AB过焦点F,直线AB的倾斜角为0，A1,B1分别为A,B在上的投影，则() A,以A1B1为直径的圆一定经过点F B、若0为坐标原点，则三角形A0B的面积为品。 C.若AF=FB(1>0),则1=1+o9 1-c0s8 D,过点A,B作抛物线的切线交于点P,则点P在上 2.(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜 率为V3的直线与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象限），分别以A,B两点为切点的两条切线交点为 Q,若AF=8,则以下结论正确的是() A.p=1 B.+= C.1QF1=83 3 D.△A0B的面积为 3 二、填空题 3.(24-25高二上·辽宁实验中学等五校期末)抛物线y2=8x的一条弦AB的长度为10，过A,B两点分别做抛 物线的切线交于P点，则△PAB面积的最大值为， 1/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 4.(24-25高二上·辽宁葫芦岛期末)已知抛物线C:x2=2py(p>0)经过点(2,2) (I)求抛物线C的标准方程； (2)若D(1,1),且Q在抛物线上，求1QD+IQF的最小值； (3)若过点M(0,3)的直线l与圆N:x2+(y-1)2=1相切，且直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,求△0AB (0为坐标原点)的面积 5,(24-25高二上辽宁大连·期末)己知抛物线C:y2=4x,过点M(2,0)倾斜角为0的直线与抛物线C相交于A, B两点，O为坐标原点 ()若0=求AB1的值； 求△ABO面积的取值范围. 考点02 直线和抛物线 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁大连·期末)过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A,B两点，若AF=3FB,则直线 AB的斜率为() A.士号 B,±V3 c.号 D.3 2.(24-25高二上·辽宁重点中学协作校期末)己知抛物线E:x2=4y的焦点为F,圆C:x2+(y-1)2=16与抛物 线E交于A,B两点，点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线L,直线交抛物线E 于点N,则△PFN周长的取值范围是() A.(7,9) B.(7,10) C.(8,10) D.(8,10] 3.(24-25高二上·辽宁实验中学等五校期末)过M(1,0)倾斜角为45°的直线与抛物线y2=2px(p>0)相交于 A,B两点，且满足AM=2MB,则抛物线的方程为() A.2y2=x B.3y2=x C.y2=2x D.y2=3x 二、填空题 4.(24-25高二上·辽宁点石联考期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过直线1：x-y+2=0上的点P 作抛物线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,则FM+IFNI的最小值为 2/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 4.(24-25高二上·辽宁多校联考期末)已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(-4,0),且与x轴、y轴分别交于B (x,0),D(0,y)两个动点（点B,D可以重合），记点M(x,y)的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)已知F(1,0),E(2,0),过点F的直线与C交于G,H两点，直线GE,HE与C的另一个交点分别为P,Q,若直线GH 的斜率为2，求直线PQ的斜率。 5.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)己知抛物线y2=-x与过点(-2,0)直线相交于A、B两点，点0 为坐标原点 (1)求0A.OB的值： (2)若△OAB的面积等于3，求直线的一般方程 6.(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知直线l1:ax+y-4=0,直线l2:2x+(a+1) y+4=0,抛物线y2=2x上有不与坐标原点重合的任意不同两点M,N,且∠M0N=90°.（其中O为坐标 原点) (1)若l1//l2,求实数a的值； (2)证明：直线MN过定点； (3)直线2过定点为G,求三角形GMN面积的最小值， 7.2425高二上辽宁大连第二十四中学期未)已知抛物线Cy2=2px0>0)的焦点为F,双曲线C2号芳=1 (a>0,b>0)的左焦点为E,一条渐近线为ly=3x,且C1与C2的一个交点为A,满足|AE=2|AF. (1)证明：p=a; (②)一斜率为-3的直线与C1交于PQ两点，与C2交于点M(M在PQ上方)，点MP,Q到的距离之和为。， 求0p.0Q的值（用含a的式子表示）. 考点03 直线和圆锥曲线位置关系 一、单选题 1.2425高二上辽宁实验中学等五校期未)已知椭圆等+号=1，直线过右焦点P2交椭圆于A,B两点，在 椭圆长轴所在直线上必存在一点P,使PA·PB为定值，则P点坐标为() A.) B.(0 c.( D.(2,0) 2.2425高二上辽宁协作体期末)已知椭圆C:号+号=1的左，右焦点分别为P1,P2,点P是直线x=2上与 3 3/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A〔20)不重合的动点，则的最小值为() A.号 B. C.23 D.4 二、多选题 3.Q425高二上辽宁多校联考期末)已知A,B分别为椭圆C塔+兰=1〔a>b>0的左、右顶点，D为C的上 顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作EM⊥x轴，垂足为M,直线AE,BE分别与y轴 交于点H,G,则下列结论正确的是（) A.若D是OH的中点，则IEM=碧 B.若D是OH的中点，则G是OD的中点 C.I0GIIOH]J0D12 D.若M是0A的中点，则0G= 3 4.(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体期末)过抛物线y2=2x(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交 其准线于点C,B在线段AC上，若BC=2BF,且AF=4,0为原点则下列说法正确的是() A.p=2 B.以AB为直径的圆与准线相切 C.直线斜率为3 D.= 5.(24-25高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)数学中有许多形状优美的曲线，曲线E.3x2+3y2-2引xy =8就是其中之一，则下列四个结论中正确的是() A.曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称 B.曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2 C.若M(x,y)是曲线E上的任意一点，则3y-x的最大值为V35 D.己知P(1,1),直线y=kx(k>O)与曲线E交于A,B两点，则PA+|PB为定值 三、填空题 6.(24-25高二上辽宁沈阳五校协作体期末)已知曲线c:-y1=1上任意一点P(x),都有x-2y++ |x-2y+2的和为定值，则实数a的取值范围是 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 x2 y2 7.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)已知双曲线E:总卡=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆号+ y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=±x. (1)求双曲线E的方程； ②)若平面有一定点P(1,): ①双曲线E上是否存在两点M,N,使2OP=OM+ON?若存在，求直线MN的斜率若不存在，说明理由 ②过点P的直线交双曲线E于A,B两点，设A,B的中点为Q,过点Q分别作双曲线E渐近线的平行线， 交双曲线E于C,D两点，证明：CD‖AB 8.2425高二上辽宁点石联考期末已知椭圆C:兰+片=1(a>b>0>的右焦点为F(V3,0),且点Q(1,) 在C上 (1)求C的方程； (2)若M(-1,0),N(1,0),点P为C上一点.设直线PM与C的另一个交点为点B,直线PN与C的另一个交点为 点D.设PM=11MB,PN=12ND,证明：当点P在C上运动时，1+12为定值 (3)若经过圆O:x2+y2=5上一动点G作C的两条切线，切点分别记为R,S,直线GR,GS分别与圆O相 交于异于点G的两点.求△ORS的面积的取值范围 9.(2425高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)已知双曲线C学盖=1(a>0)经过点H(2,0),直线1与 双曲线C相交于A,B两点 (I)求双曲线C的离心率： (②)若线段AB的中点坐标为(3,3)，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线C的右焦点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,求直线的方程 10.Q425商=上辽宁辽阳期末)已知精圆C1言+兰=1a>b>0)的长轴长为22，且C1经过点(，9.椭 圆C2的对称中心为原点0，焦点在x轴上，且C2的离心率与C1的离心率相等，C2的短轴长与C1的长轴长相 等 (1)求椭圆C1与C2的标准方程， (2)若H(xoyo)(xo≠士V2,yo≠士1)为C2上的点，过点H作C1的切线，设切点分别为M,N,试问直线HM与HW 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若T(异于C1的左、右顶点A1,A2)为椭圆C1上的点，直线TA1与C2交于点E,F,直线TA2与C2交于点P, Q,求IEF+IPQI的值 目目 考点04 定点、定值和定直线问题 一、多选题 1.(24-25高二上·辽宁葫芦岛期末)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平 行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点】 己知抛物线y2=8x的焦点为F,0为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<8m)射入，经过抛物 线上的点A(x1y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2y2)反射后，沿直线L2射出，则下列结论中正确的是 () A.x1x2=4 B.a+=月 C.|AF1+2IBF列的最小值为6+4V2 D.直线l1与l2间的距离最小值为4 二、解答题 2.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)已知F1(-2,0),F(2,0),动点P满足IPF1-1PF1=2W2, (I)求动点P的轨迹C的方程： (2)设在P点处曲线C的切线为y=kx+m,若M,N为l上两点，且满足OF.MF=0,PF.NF=0, ()证明：N点在定直线上，并求出定直线方程； (i)是否存在点P使tanPNF·tanPFM=2成立，若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由 3.(2425高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)若椭圆r层+器=1(a>b>0),B1(0,b),B2(0,-b), P为椭圆T上异于点B1,B2的任一点，且PB,<B,B2恒成立，则称椭圆r为内含椭圆”已知椭圆r学+兰=1 (Q>b>0)的左，右焦点分别为F1(-c,0,F2(c,0)(c>0,云+=四边形B1F1B2F2的面积为4 (1)求椭圆「的标准方程； (2)若椭圆T为“内含椭圆”，求椭圆T的标准方程； (3)若椭圆T为“内含椭圆，H为椭圆T上一点，M(5,0),且存在实数入，使得HF+HF2=HM,求的 10 取值范围。 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(Q425高二上辽宁实验中学等五校期末)已知椭圆E塔+长=1(a>b>0)焦距为2，离心率e等于月 (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点F(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,其中B,D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB,CD的中点 分别为M,N. ①若弦AB,CD的斜率均存在，求|AB+|CDI的最小值； ②0为坐标原点，试探究：△OMN与△FMN的面积之比是否为定值？若是，请求出此值；若不是，请说明 理由 5.(2425高二上辽宁实验中学等五校期末)双曲线：学-号=1中垂直于实轴的动弦MN,A1,A2为双曲线 的两个J顶点，直线NA1与MA2交点的轨迹为椭圆C YA (1)求椭圆C的方程； (2)P(xoyo)且(xo≠0，yo≠O)为椭圆C上一点，E,F为椭圆C两个动点，直线PE的斜率和直线PF的斜率互为 相反数，P点关于x轴的对称点为P1,Q为EF中点，O为坐标原点证明：O,Q,P1三点共线 6.(24-25高二上辽宁葫芦岛·期末)阅读材料： (一)极点与极线的代数定义己知圆锥曲线G:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(xoyo)和直线：Axo x+Cyoy+D(x+xo)+E(y+yo)+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以xo x替换x2,以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0y0)对应的极线方程特别地，对于椭圆后+ 若=1，与点P(oo)对应的极线方程为答+誉=1：对于双曲线蛤苦=1，与点P(0%)对应的极线方程 为答-罗=1；对于抛物线y2=2px,与点P(oo)对应的极线方程为yoy=p(0+).即对于确定的圆锥曲 线，每一对极点与极线是一一对应的关系 (二)极点与极线的基本性质，定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹 7/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆c塔+兰=1a>b>0)的离心率为9B(3,0)是c上一点， (1)求椭圆C的标准方程并写出与点E对应的极线方程； (②)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D(1,0)作斜率不为0的直线，l与椭圆C交于P,Q两点，直线AP与直 线BQ交于点M,记AP的斜率为k1,BQ的斜率为k2.证明： ①为定值： ②点M在定直线上 7.(24-25高二上辽宁丹东期末)已知点M到定点F(2,0)的距离比它到直线：x+4=0的距离小2，记动点M 的轨迹为C (1)求C的方程； (2)直线1交C于P,Q两点，点A(2,4),直线AP,AQ的斜率之和为0，求直线l1的斜率 8,(24-25高二上·辽宁丹东期末)某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可 近似的看成双曲线记双曲线c塔-景=1(a>0,b>0>,其海近线方程为y=±分x,且过点(4v同 (I)求C的方程； (2)在点B(0,2)处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为⊙B,其半径r可变（⊙B 范围不超过隔离带)，控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点A(2,0)发射两条与⊙B相切的伽马射线， 两条切线与电磁辐射隔离带分别交于M,N两点（异于点A),若经过M点反射的光线不经过N点，则系统才 能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标 9.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)在平面直角坐标系x0y中，若在曲线C1的方程F(x,y)=0 中，以(x,y)(1>0且1≠1)代替(x,y)得到曲线C2的方程F(x,y)=0,则称C2是由曲线C1通过关于原点 的伸缩变换得到的曲线，称为伸缩比已知椭圆C1号+y2=1,椭圆C2:等+芳=1〔a>b>0)是由曲线G1 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线 (1)求椭圆C2的离心率； (2)设P为C2上异于其左、右顶点A1,A2的一点， ①当入=时，过P分别作椭圆C1的两条切线PB1,PB2,切点分别为B1,B2,设直线PB1,PB2的斜率为 k1,k2,证明：k1k2为定值； ②当A=2时，若直线PA1与C交于D,E两点，直线PA2与C1交于M,N两点，求+的最小值 10.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学.期末)己知平面直角坐标系内的一个曲线C的方程为Ax2+By2 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +Dx+Ey+F=0(A,B不全为0，F≥0) (1)若曲线C为①中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆；②顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线， 分别写出两种情况时对应的A,B,D,E,F应满足的充要条件； 2)当A=B=1,F=0时，曲线C上仅有一个点到直线x+V3y-2=0的距离为1，求的值 9/9