第二章 §2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(二)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆锥曲线弦长问题核心知识点，系统梳理基于横纵坐标差的两种弦长公式推导过程，衔接椭圆、抛物线、双曲线中的弦长计算，延伸至由弦长求参数、与弦长相关的最值等综合应用，构建完整学习支架。 资料通过多样解题方法（如例1三种求弦长途径）、强调判别式等关键注意点，培养学生逻辑推理与数学运算能力，体现用数学思维思考现实世界。课中辅助教师系统授课，课后例题及分层练习助力学生巩固知识，查漏补缺。

[学习目标]　1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式.2.会根据弦长解决一些简单的问题． 一、弦长问题 问题　当直线与圆锥曲线相交时，如何求弦长？ 提示　设直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝. 知识梳理 直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝·， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 特别地，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. 注意点：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积． (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论． 例1　已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． 解　因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)， 又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 方法一　解方程组 得交点A(0，－2)，B， 所以|AB|＝ ＝ ＝＝. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝＝. 方法三　由方程组 消去x得3y2＋2y－8＝0， 因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 反思感悟　求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利用弦长公式求解． 跟踪训练1　如图，已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直线l的方程为y＝. 联立消去y，得x2－5x＋＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－， 所以M到准线的距离等于3＋＝. 二、由弦长求参数的值 例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 解　(1)由题意得得b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝， 由＝，得k＝±1，满足Δ>0. 所以当△AMN的面积为时，k＝±1. 反思感悟　根据题意，通过建立等式或不等式求参数的值或取值范围，数学运算是正确解决问题的关键． 跟踪训练2　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴ ＝y＋，化简得x2＝2y. 故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝· ＝· ＝2， ∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 三、与弦长有关的最值问题 例3　半径为1的圆的圆心F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(A在B上方)，与圆F交于P，Q两点(P在Q的上方)，弦AB长的最小值为8. (1)求圆F以及抛物线C的方程； (2)求4|AP|＋9|BQ|的最小值． 解　(1)设直线l的方程为x＝my＋， 代入y2＝2px， 消去x整理得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm， |AF|＝x1＋＝my1＋p， |BF|＝x2＋＝my2＋p， 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝m(y1＋y2)＋2p＝2p(m2＋1)≥2p， 当且仅当m＝0时，等号成立， 所以当直线AB与x轴垂直时， 弦AB的长取得最小值2p， 所以2p＝8，解得p＝4. 所以抛物线C的方程是y2＝8x. 所以焦点F的坐标是(2,0)， 圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)由(1)知抛物线方程为y2＝8x， |PF|＝|QF|＝1， 因为4|AP|＋9|BQ| ＝4(|AF|－|PF|) ＋9(|BF|－|QF|) ＝4|AF|＋9|BF|－13， 又|AF|＝x1＋＝x1＋2， |BF|＝x2＋＝x2＋2， 所以4|AP|＋9|BQ|＝4x1＋9x2＋13. 由 得y2－8my－16＝0， 所以y1y2＝－16， x1x2＝·＝＝4， 所以4|AP|＋9|BQ| ＝4x1＋9x2＋13 ≥2＋13＝37， 当且仅当4x1＝9x2，即x1＝3，x2＝时等号成立， 所以4|AP|＋9|BQ|的最小值为37. 反思感悟　求与弦长有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． 跟踪训练3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为＋1. (1)求双曲线E的方程； (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 解　(1)因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)为等轴双曲线， 所以a＝b，设双曲线的焦距为2c，c>0， 故c2＝a2＋b2＝2a2，即c＝a. 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将xB＝c＝a代入－＝1， 可得|yB|＝a， 故|BC|＝2a. 因为△ABC的面积为＋1， 所以×|BC|×|AF|＝＋1， 即×2a×(a＋c)＝＋1， 所以a2＝1，a＝1，故双曲线E的方程为x2－y2＝1. (2)依题意，直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得 (1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 解得－1<k<1，且 所以|MN|＝ ＝|xM－xN| ＝ ＝ ＝. 联立方程组 得xP＝，同理xQ＝， 所以|PQ|＝|xP－xQ| ＝＝. 所以＝＝， 其中－1<k<1， 所以∈(1，]． 1.知识清单： (1)弦长问题． (2)由弦长求参数的值． (3)与弦长有关的最值、范围问题． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况． 1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦的弦长是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦． 将x＝c代入椭圆＋＝1， 得y＝±， 故最短弦的弦长是. 2．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．8 答案　D 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立可得x2－6x＋1＝0，Δ＝62－4>0， 所以x1＋x2＝6， 由抛物线的焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　双曲线－＝1， 过F1的直线l垂直于x轴时，|AB|＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， ∴满足|AB|＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交． 4．已知斜率为1的直线l与双曲线－y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋ B．y＝x－ C．y＝x－ D．y＝x＋ 答案　B 解析　设斜率为1的直线l的方程为y＝x＋t， 联立双曲线方程－y2＝1， 可得3x2＋8tx＋4t2＋4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则|AB|＝· ＝·＝·＝8， 解得t＝±， 由于直线l与双曲线的右支交于两点， 可得t＝－， 则直线l的方程为y＝x－. [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分；多选题每小题6分，共6分 1．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A．8 B. C. D. 答案　B 解析　联立 消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝·＝×＝. 2．已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.－1 B．2－ C．2－1 D．21－4 答案　C 解析　设点P的坐标为，圆(x－6)2＋y2＝1的圆心坐标为A(6,0)， ∴|PA|2＝2＋m2＝(m2－16)2＋20≥20， ∴|PA|≥2， ∵Q是圆(x－6)2＋y2＝1上任意一点， ∴|PQ|的最小值为2－1. 3．已知离心率为2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则k等于(　　) A．± B．±1 C．±2 D．±3 答案　B 解析　由双曲线C的离心率为2，可得＝2， 故b2＝3a2， 故双曲线的方程可化为－＝1， 联立可得x2＝和y2＝， 设A(x，y)，则B(－x，－y)， 故|AB|＝2＝2a， 而|F1F2|＝2＝4a， 由|AB|＝|F1F2|，可得2a＝×4a， 则k＝±1. 4．椭圆＋＝1，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若|CD|＝4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由题意可知，直线CD的方程为y＝x，直线倾斜角为， 不妨设C点在第一象限，则|OC|＝2， 因此可得C(1，)， 又点C在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1⇒b2＝， 所以椭圆的方程为＋＝1. 5．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－t，x1x2＝(t2－1)， ∴|AB|＝ ＝＝， 而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5. ∴取t2＝0得|AB|max＝. 6．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点(xA<xB)，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6,12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 答案　ACD 解析　设椭圆的左焦点为F′， 则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6， |AB|的取值范围是(0,6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误； 将y＝与椭圆方程联立， 可解得A，B，又∵F(，0)， ∴·＝＋2＝0， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确． 7．(5分)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　4 解析　由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程， 得y＝±2，故|AB|＝4. 8．(5分)已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________________． 答案　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0 解析　由题意得b＝1，c＝1， 则a2＝b2＋c2＝1＋1＝2， 即椭圆方程为＋x2＝1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1， 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)． ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|CD|＝|x1－x2| ＝ ＝. 即＝， 解得k2＝2， ∴k＝±. ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 9．(10分)在平面直角坐标系中，已知两圆C1：(x－1)2＋y2＝25和C2：(x＋1)2＋y2＝1，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，设动圆圆心的轨迹为E. (1)求E的标准方程；(5分) (2)点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2＋|PF|2的最小值．(5分) 解　(1)C1(1,0)，C2(－1,0)，设动圆的圆心为C，半径为r，由题意可得所以|CC1|＋|CC2|＝6>|C1C2|，所以圆心C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，2a＝6，c＝1，所以b2＝9－1＝8，得到椭圆方程为＋＝1， 所以E的标准方程为＋＝1. (2)由(1)得F(1,0)，设P(x，y)， 所以|PO|2＋|PF|2＝x2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2－2x＋1＋2y2，因为点P在椭圆上，所以y2＝8－x2，所以|PO|2＋|PF|2＝x2－2x＋17，x∈[－3,3]，二次函数的对称轴为x＝>3，所以当x＝3时，(|PO|2＋|PF|2)min＝2－6＋17＝13. 故|PO|2＋|PF|2的最小值为13. 10．(12分)如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(4分) (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．(8分) 解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在． 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y＝4x1，y＝4x2，kPQ＝＝＝2， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理，|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值，最小值为32. 11．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　B 解析　∵C：－＝1(a>0，b>0)， ∴双曲线的渐近线方程是y＝±x， ∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点， 不妨设D在第一象限，E在第四象限， 联立 解得故D(a，b)， 联立解得故E(a，－b)， ∴|ED|＝2b，∴S△ODE＝a×2b＝ab＝8. ∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)， ∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴C的焦距的最小值为8. 12．已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．6 答案　D 解析　双曲线C：－＝1，则c2＝4， ∴右焦点为F(2,0)， 由题意得过F的直线斜率存在， 设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0， ∴xA＋xB＝，xAxB＝. ∵线段AB中点的横坐标为4， ∴xA＋xB＝＝8， 解得k2＝2， ∴xAxB＝＝10， 则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24， 则|AB|＝＝＝6. 13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(a>0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是(　　) A．12 B．10 C．9 D．4.5 答案　C 解析　因为点A在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以|AF|＝＋＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，将点A(1，a)的坐标代入抛物线方程解得a＝2， 则直线AF的方程为y＝－2(x－2)，与抛物线方程联立消去y，整理得x2－5x＋4＝0，解得xB＝4，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝9. 14．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若＝3，则|MN|等于(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l：x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N到准线l的距离分别为dM，dN， 如图，过M向l作垂线，垂足为Q，则dM＝|MQ|， 由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1＋， |NF|＝dN＝x2＋，于是|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋1. ∵＝3，则|PM|＝2|QM|，易知直线MN的斜率为±， ∵F， ∴直线PF的方程为y＝±， 将y＝±，代入方程y2＝2x， 得32＝2x，化简得12x2－20x＋3＝0， ∴x1＋x2＝， 于是|MN|＝x1＋x2＋1＝＋1＝. 15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，∵|AB|＝4，r＝， ∴圆心(2,0)到渐近线的距离为， 即＝，解得b＝a，∴c＝＝a， ∴此双曲线的离心率为e＝＝. 16．(12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程；(4分) (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．(8分) 解　(1)依题意知，c＝2， 所以a2＋b2＝4， 则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)， 将点P(5，)代入上式，得－＝1， 解得a2＝50(舍去)或a2＝2， 故所求双曲线的方程为－＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以解得(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝· ＝·. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝d·|AB|＝×··＝. 又S△OAB＝2， 即＝1， 所以k4－k2－2＝0， 解得k＝±，满足(*)． 故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $