专题04 圆锥曲线的定义（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

专题04 圆锥曲线的定义 3大高频考点概览 考点01 圆锥曲线的定义 考点02 离心率问题 考点03 焦点三角形问题 地 城 考点01 圆锥曲线的定义 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】设的内切圆与分别切于点，利用切线长定理可得，结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得，可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值. 【详解】设的内切圆与分别切于点，如图所示： 则． 又因为，联立，可得， 又因为 ， 所以，所以， 因为的重心是三边中线的交点，所以在上， 由重心性质可得，因为，所以，解得， 所以，所以椭圆的方程为， 因为在椭圆上，所以， 所以，其中， 当，取最大值，最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，从而求得，进而求得. 2．(23-24高二·河北郑口中学·)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【来源】河北省郑口中学2023-2024学年高二第三次质量检测数学试题 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 3．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 4．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)与两圆和都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．两支双曲线上 D．一条抛物线上 【答案】B 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由条件求出圆和圆的圆心坐标和半径，设与圆和圆都外切的圆的圆心为，结合条件可得，结合双曲线定义判断点的轨迹可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 方程可化为 圆的圆心为，半径， 设与圆和圆都外切的圆的圆心为，该圆的半径为， 则，， 所以，且， 所以点的轨迹为以，为焦点的双曲线左支， 故选：B. 5．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得. 【详解】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由方程求焦点的坐标，根据向量垂直的坐标表示列方程求，结合抛物线定义求. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，又，， 所以，， 因为， 所以 ，即， 又，所以， 解得，， 所以． 故选：C. 8．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 9．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据抛物线标准方程可直接求解. 【详解】由标准方程可得，即； 所以准线方程为. 故选：A 10．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 11．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)若双曲线满足，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据双曲线渐近线的性质直接可得解. 【详解】由双曲线的渐近线方程为， 由，得， 则的渐近线方程为， 故选：D. 12．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，．若为线段的中点，为线段的中点，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据平行关系，列出线段的比例关系式，即可求解. 【详解】过点作轴，垂足为．由题意可得，， 即，，两式相乘，化简得， 所以，则． 故选：D. 13．(22-23高二上·河南豫北名校·)设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省豫北名校2022-2023学年高二上学期10月教学质量检测数学试题 【分析】由椭圆基本性质结合两点间斜率公式求得即可得解. 【详解】，则，，即椭圆方程为， 设，，，且，即， ， . 故选：C. 14．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知双曲线 的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据的关系可得，即可由渐近线方程求解. 【详解】由于，故，故双曲线的焦点在轴上， 根据焦距为4，故, 故，解得，则双曲线 的渐近线方程为． 故选：C 15．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 16．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】由椭圆标准方程可得顶点坐标，再由两点间距离公式可得. 【详解】由椭圆，可得， 则，，所以有． 故选：D. 17．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】设抛物线 ，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线 ， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 三、多选题 18．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为（   ） A．椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切. B．双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切. C．抛物线以焦半径为直径的圆与轴相切. D．抛物线以焦半径为直径的圆与准线相切. 【答案】AC 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点，计算可求得两圆心之间的距离为圆半径之差判断A；分在左右两支上结合双曲线的定义计算可判断B；设点点坐标为，计算可得为直径的圆的半径为，可判断D. 【详解】对于A，设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点， 作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示．    设中点为，连结，∴是的中位线，可得， 即两圆的圆心距为，|根据椭圆的定义，可得， 所以圆心距， 即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切．故A正确； 对于B，设以实轴为直径的圆的圆心为，其半径， 线段为直径的圆的圆心为，其半径为， 当在双曲线左支上时，，    所以，所以，所以两圆内切． 当P在双曲线右支上时，，    所以，所以， 所以两圆外切．故B错误； 对于CD，抛物线的焦点的坐标为，设点点坐标为， 则以为直径的圆的圆心是， 根据抛物线的定义与到直线是等距离的， 所以为直径的圆的半径为，因此以为直径的圆与轴相切，故C正确，D错误. 故选：AC. 19．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B．若，动点的轨迹是双曲线的右支 C．若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D．若，动点的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据相切的性质，结合抛物线的定义即可求解A，根据垂直平分线的性质，结合双曲线以及椭圆的定义即可求解BD，根据点点距离公式，结合圆的性质，即可求解C. 【详解】对于A,由于圆与圆外切，与轴相切，故,其中为圆心到轴的距离，因此圆心到的距离与到直线的距离相等，且圆心不经过直线，故点的轨迹为以为焦点，以为准线在抛物线，A正确， 对于B，当时，,由垂直平分线的性质可得， 如图，当靠近左半圆时，， 当靠近右半圆时，， 因此点的轨迹为以为焦点的双曲线，B错误， 对于C,连接,由于为线段的中点，故,又，故, 设，由,即，化简可得，即，故点的轨迹是圆，C正确， 对于D，时，在圆内，如图，此时,由垂直平分线的性质可得，故，因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，D正确， 故选：ACD 方法点睛：解析几何中与动点轨迹有关的题目，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 四、填空题 20．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的4倍，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】由椭圆短轴长可得，再根据的最值构造方程组可解得，求出结果. 【详解】依题意可知， 由的最大值是最小值的4倍可得，即； 又，即； 联立，解得， 所以椭圆的焦距为. 故答案为： 21．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 9 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标，由焦半径公式可求的横坐标. 【详解】由题意得抛物线的焦点为．设，因为，所以． 故答案为：；. 22．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ． 【答案】（或） 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为4，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：（或）. 23．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ． 【答案】 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 24．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】2或14 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果. 【详解】由双曲线可知， 所以，因此的最小值为； 再由双曲线定义可知， 可知2或14. 故答案为：2或14 地 城 考点02 离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 2．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据求解. 【详解】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果. 【详解】设，则，即， 设双曲线的半焦距为，则 所以， ， 因为双曲线上的点坐标都满足，所以. 则有即，所以 故选：D. 4．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【详解】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，若上恰好存在四条弦，使得，其中，则的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】在椭圆中利用椭圆的几何性质，结合双曲线的第二定义，三角形的中线定理，分析计算处椭圆的离心率的取值范围，从而做出判定. 【详解】首先，由于椭圆上到焦点距离最近的点是焦点相应一侧的顶点，因此以为圆心的相同半径的圆若与椭圆相交的话，各自只能有两个交点，根据椭圆和圆的对称性，可知所得四个交点两两关于椭圆的长轴和短轴对称，如图所示. 为了满足题设条件，则只能是如图所示的图1中的情况：与长轴平行和图2中的情况：经过椭圆的中心. 图1中的到的距离是到短轴距离的2倍，这是在以为焦点，短轴为相应准线的离心率为2的双曲线，设， 则点，又因为， 所以是这双曲线的实轴的顶点，因此这双曲线必然与椭圆有四个交点，如图所示，这样得到图1中的四条满足题意的椭圆的弦. 为了使得椭圆上恰好存在四条满足题意的弦，图2中所示的四条弦是不应当存在的. 图2中的四条弦必然满足，设，椭圆的长轴和焦距依次为， 则，， 由三角形的中线长公式得到，即, ，根据题意，此方程应当无解，所以, 此即，只有选项CD中的离心率满足此条件， 故选：CD. 6．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；BD.应用余弦定理整理可设设，，结合三角知识判断BD；C.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； BD.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为，可得， 设，， 则，可得，即， 因为，故B错误； 又因为， 当，即时，取到最大值，故D正确； C. 在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 三、填空题 7．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则 . 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，利用椭圆、双曲线定义可得，且，再应用余弦定理可得，进而求目标式的值. 【详解】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，， 则，则，且，则， 所以，且， 又，则， 所以，则，即， 所以. 故答案为：4 8．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知椭圆的焦点分别为，，过椭圆外一点和右顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】由已知可得也是中点，由中点坐标公式可得的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】因为，，，可得为的中点， 又，所以也是中点， 因为，则，代入椭圆方程可得， 所以，所以， 则离心率. 故答案为：. 9．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】可知轴为曲线的渐近线，进而可得，设，根据题意整理可得，结合椭圆定义可得以及，即可得结果. 【详解】对于曲线：，则轴为其渐近线，即渐近线相互垂直， 可知该双曲线为等轴双曲线，可得， 对于曲线，设曲线上的点， 由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称， 由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称， 由此令，代入到中， 可得，该椭圆焦点为， 由于曲线：是椭圆可按变换得到， 故按此变换，由，可取， 可得，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，， 又因为 ， ， 则， 可知曲线是以为焦点的椭圆，则，可得， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：1.根据双曲线渐近线的特征确定双曲线的离心率； 2.利用椭圆定义证明曲线为椭圆，注意的取值范围. 10．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为 . 【答案】 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据双曲线的定义，渐近线的性质以及余弦定理求出，，在代入到不等式中即可求解. 【详解】如图，双曲线C的焦点为，，渐近线方程为， 因为直线l的斜率，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且过点， 设直线l与双曲线C的另一条渐近线相交于点N， 可知，，，， 因为，即， 且，即， 解得，，若， 即，解得，所以，又，所以. 故答案为： 11．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)下列说法： ①过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为； ②已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率； ③若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为； ④一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为. 其中正确的序号是 . 【答案】③ 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】分截距是否为0，求直线方程判断①；根据双曲线渐近线方程可求其离心率，判断②；根据直线和圆的位置关系求参数范围可判断③；根据圆与圆的位置关系可求动点的轨迹方程判断④. 【详解】对于①，当直线在，轴上的截距均为0时，符合题意，此时直线方程为， 当直线在，轴上的截距不为0时，设方程为， 将代入，则，即直线方程为， 即过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为或，①错误； 对于②，双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，则， 则它的离心率， 双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，则， 则它的离心率，故②错误； 对于③，关于的方程有实数解， 即直线与半圆有公共点， 当直线与半圆相切时，，当直线过点时，， 故直线与半圆有公共点时，，③正确； 对于④，圆与圆的圆心距， 即两圆内切，切点为； 设动圆圆心为M，半径为r，由题意得，， 则，即动点M在以为焦点的椭圆上， 该椭圆的长半轴长，半焦距长为， 即椭圆方程为，结合图以及题意可知点不符合题意， 故动圆圆心的轨迹方程为，④错误， 故答案为：③ 12．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)正四面体中，分别是棱上的点，满足，分别为的中点，直线与平面相交于点，记点的轨迹为曲线，则曲线的离心率的值为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，表达出，进而表达出，写出直线的方程，结合，得到曲面与平面的交线方程为，为双曲线，进而可求得双曲线离心率. 【详解】以中点为坐标原点，以所在直线为轴，取轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 作平面，则为等边三角形的中心，故为的接近的三等分点，故， 由勾股定理得：，所以， 设， 因为，所以， 所以， 直线的方程为， 因为分别为的中点，且， 所以平面的方程为，代入的方程得： ， 故，所以， 即， 故点的轨迹的方程为，为双曲线， 其中，，所以离心率. 故答案为：. 地 城 考点03 焦点三角形问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)取两只小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条定长为的绳子结成一个绳圈套在两个钉子上，然后把一只笔插入圈内并轻轻拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】不妨设两个钉子对应的位置为，，设笔尖对应的位置为动点，由条件确定点的轨迹，建立平面直角坐标系求轨迹方程，表示三角形面积，利用导数求其最大值. 【详解】如图：不妨设两个钉子对应的位置为，，设笔尖对应的位置为动点， 设，则， 由已知，则， 设，， 以为轴的正方向，以的中点为原点，建立平面直角坐标系， 因为，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 由已知改椭圆方程为，设点的坐标为， 则， 所以的面积， 所以 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，当，时取等号， 所以的面积的最大值为. 故选：A. 2．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】联立直线与双曲线，求出点和，根据双曲线定义，结合焦点三角形的面积、周长公式，可分别求得和的内切圆半径，，相乘即可. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 直线过且倾斜角为，故方程为. 联立直线方程与双曲线方程，得， 解得或，故不妨设交点，， 则，，在和中，有和， 所以，，则的周长为，的周长为， 分别设和的内切圆半径为，， 则，， 又，， 所以，解得，同理可得，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：由题设先求出A、B两点坐标，再双曲线定义以及两点间距离公式求出两三角形的三边，再利用与三角形内切圆相关的三角形面积公式即可求解. 二、多选题 3．(24-25高二·辽宁名校联盟·)已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】对A，设椭圆与双曲线的交点在第一象限，根据椭圆与双曲线的定义化简可得，结合可判断；对B，由A项可知，再根据椭圆的基本量关系求解即可；对C，根据椭圆与双曲线的定义，结合求解即可；对D，根据椭圆的基本量关系判断即可. 【详解】A项，由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知 ，则， 由双曲线的定义知，则 ， 由两式相加化简得， 因为点在圆上，所以，所以， 则，则，又，联立解得，，故A项正确； B项，由A项可知，解得，则，所以椭圆的方程为，故B项正确； C项，由，，则， 所以的面积 ，故C项正确； D项，的周长为 ，故D项错误. 故选：ABC 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【答案】(1) (2)2. 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果； （2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解. 【详解】（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. （2）如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆锥曲线的定义 ☆3大高频考点概览 考点01圆锥曲线的定义 考点02离心率问题 考点03焦点三角形问题 考点01 圆锥曲线的定义 一、单选题 1.(2425高=上辽宁大连大连育明高级中学期末)已知椭圆C:若+芳=1的左、右焦点分别为，F2,P 是椭圆上第一象限的一点，△PF1F2的重心和内心分别为M,N,且MN⊥x轴又点Q(m,n)是该椭圆上任一 点，则+的最大值为() A.2 B.3 C.2 D.1 2.23-24高二河北郑口中学)已知椭圆C号+号=1的右焦点为P,P为椭圆C上在意一点，点A的坐标为 (-,),则PA+PF的最大值为() A号 B.5 C. .号 3.Q425高二上辽宁大连大连育明高级中学期未双面线。号=1止的点P到点(5,0的距离为8，剥点P到 点(-5,0)的距离为() A.16 B. c.16 D.8+27或8-27 4.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)与两圆C1:x2+(y+1)2=1和C2:x2+y2-8x+2y+13=0都 外切的圆的圆心在（) A.一个椭圆上 B,双曲线的一支上 C.两支双曲线上 D.一条抛物线上 5.(24-25高二上·辽宁多校联考期末)已知抛物线C:32x=y的焦点为F,点H(4,2),P是抛物线C上的一个动 点，则PFI+PH的最小值为() 1/7 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.10 C.12 D.16 6.(24-25高二上辽宁点石联考期末)已知抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),P为抛物线上一点，若A(2,1), 则PA+IPFI的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2425高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知A(0,2),抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,B (4,yo)为T上一点，若AB1AF,则BF1=() A.2 B.4 C.5 D.6 8.425高二上辽宁葫芦岛期末已知双曲线C片。片=1(m>0的实转长等于虚轴长的2倍，则双曲 线C的标准方程为() A.若-苦=1 B.若苦=1 c.若=1 D.若若=1 9.(24-25高二上·辽宁丹东·期末)抛物线y2=x的准线方程为() A.x=- B.x=-月 C.y= D.y- 10,(24-25高二上辽宁大连·期末)已知曲线C:x2+y2=4(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PQ, Q为垂足，则线段PQ中点M的轨迹方程为() A.￥+2=1y>0) B.若+=1y>0) C.￥+y2=1y>0 D.若+号=1y>0) 1,2425高二上辽宁江阳期末若双曲线c会若=1(a>0,b>0)满足a-4的=0，则G的渐近线方程为 () A.y=± B.y=± C.y=±2x D.y=±4x 12.24-25高二上辽宁辽阳期末)已知A,B分别为椭圆C总+兰=1(Q>b>0)的左、右顶点，D为C的上顶 点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE,BE分别与y轴交于点H,G.若D为线段OH的 中点，G为线段OD的中点，则点E到x轴的距离为() A. B.26 2 c D.9 13.(2.23高二上河南豫北名校)设椭圆后+荒=1(a>b>0)的左焦点为P,上下顶点分别为A,B,直线AP 2/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的斜率为， 并交椭圆于另一点C,则直线BC的斜率为() A.月 B.月 c. D.月 142425商二上辽宁无顺重点流中六饺协作体期利已知双面线C::兰。=1(-<m<3)的焦距 为4，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±3x B.y=±V2x C.y=±V3x D.y=±9 15.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)抛物线y=4x2的准线方程是（) A.x=16 B.y=话 C.x=-1 D.y=-1 16.(24-25高二上辽宁沈阳重点联合体期末)已知椭圆号+y2=1的左顶点为A,上顶点为B,则4B1= () A.V2 B.1 C.2 D.3 17.(24-25高二上辽宁多校联考期末)已知抛物线C的顶点为原点，对称轴是x轴，与直线x=6相交所得线 段的长为12，则C的标准方程为() A.y2=3x B.y2=6x C.y2=12x D.y2=24x 三、多选题 18,(24-25高二上·辽宁实验中学等五校期末)在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线)中，曲线上任意 一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为() A,椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切 B,双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切 C.抛物线x2=2py以焦半径为直径的圆与x轴相切， D.抛物线x2=2py以焦半径为直径的圆与准线y=-相切， 19.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)已知点M是圆A:(x+2)2+y2=2(r>0)上的动点，点B为 (2,0),线段BM的垂直平分线交直线MA于点P,点Q为(-1,2)，则下列结论正确的是() A.若r=1,且圆C与圆A外切，与y轴相切，则点C的轨迹为抛物线 B,若r=3,动点P的轨迹是双曲线的右支 C.若r=4,D,E在圆A上运动，且∠DQE=90°，F为线段DE的中点，则点F的轨迹是圆 D.若r=8,动点P的轨迹是椭圆 3/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、填空题 20.(2425高二上辽宁葫芦岛期末)已知椭圆C学+若=1(Q>b>0)的右焦点为P,短轴长为23，点M在 椭圆上，若MF的最大值是最小值的4倍，则椭圆的焦距为 21.(24-25高二上辽宁辽阳·期末)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，A为抛物线C上一点，若|AF1=11,则 点F的坐标为 ,点A的横坐标为 22.(24-25高二上辽宁实验中学等五校期末)反比例函数y=8的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点 坐标为· 23.2425高二上辽宁实验中学等五校期末)P点是椭圆后+号=1上任意一点，Q点是圆(6x-1)2+y2=1止 任意一点，求PQ的取值范围· 24.(Q425高=上辽宁丹东期末)已知F1,F2是双曲线写号=1的左右焦点，点P在双曲线上，若P℉ =8,则PF1= 目目 考点02 离心率问题 一、单选题 1.2425高=上辽宁丹东期末)已知椭圆C学+发=1(a>b>0,过点(0④的直线1与C交于AB两点， 若AB的中点坐标为(4,2)，则C的离心率为（) A.月 B.9 c. D.9 2.2425高二上辽宁葫芦岛期末)已知点P在双曲线C塔卡=1〔Q>0,b>0)上，P到两南近线的距离分别 为d1,d2,F为双曲线的一个焦点，且F到双曲线渐近线的距离为d3,若d1d2≤d3恒成立，则双曲线C的离 心率的最小值为() A.2 B.3 C.2 D.5 3.24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)已知点P1、F2是双曲线器若=1〔Q>0,b>0)的左、右焦点， 4/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若双曲线上存在一点P满足PF1·PF2=-a2,则该双曲线的离心率的取值范围为() A.[3,+∞)B.[2,+o) c.[W5-1,+∞) D.V2,+o) 4.(2425高二上辽宁沈阳重点联合体期末)已知双曲线号￥=1的离心率为5，则实数m的值为() A.1 B.2 c. D.月 二、多选题 5.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)已知椭圆T的左、右焦点分别为F1,F2,若T上恰好存在四条弦M: N,使得|F1M1|=|MN=|WF2,其中i=1,2,3,4,则T的离心率可以为() A.9 B.9 C. D.2 6 6.(2425高=上辽宁实验中学等五校期末)如图，P是椭圆C1后+发=1(a>b>0)与双曲线c2需片=1 (m>0,n>0)在第一象限的交点，∠F1PF2=0,且C1,C2共焦点，离心率分别为e1,e2,则下列结论正确 的是（) A.PFl=a+m,PF2l=a-m B.若0=60，则吃+=4 6 n C.tan= D.若0=60，则哈+的最大值是9 三、填空题 7.(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体期末)已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，F1F2是它们的公共焦点，P 是裤固和双曲线的交点，椭圆和双曲线的商心率分别为1和e2,若4R,P,=60,测时+号=— 8.(2425高二上辽宁重点中学协作校期末)已知椭题器+号=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-0),F2 (0,c),过椭圆外一点P(0,3c)和右顶点M的直线交椭圆于另一点N,若MF1‖NF2,则椭圆的离心率为 9,(24-25高二上辽宁大连期末)已知曲线C1:y=是双曲线，曲线C2:x2-y+y2=1是椭圆，其离心率 5/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分别是e1和e2,则e子+e3= 10.(2425高=上辽宁点石联考期已知双曲线C:二苦=1(a>0,b>0的左、右焦点分别为F1(-c,0), F2(c,0),直线1：bx+ay-bc=0与C相交于点M,若|MF1l≥8MF2l,则离心率e的取值范围为 11.(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学期末)下列说法： ①过点P(1,2)且在x,y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+1=0; ②已知双曲线的渐近线方程为y=士，则它的离心率e= ③若关于x的方程V4-x2=V3x+b有实数解，则实数b的取值范围为[-2√3,4： ④一动圆与圆C1:(x+2+y2=1外切，与圆C2:(x-22+y2=25内切，则该动圆圆心的轨迹方程为号+ 5 =1 其中正确的序号是 12.(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)正四面体ABCD中，M,N分别是棱AB,CD上的点，满足 BM=CN,P,Q,R分别为AB,AC,AD的中点，直线MN与平面PQR相交于点T,记点T的轨迹为曲线2，则曲线2 的离心率的值为 目目 考点03 焦点三角形问题 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)取两只小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条 定长为的绳子结成一个绳圈套在两个钉子上，然后把一只笔插入圈内并轻轻拉紧，使笔尖顺势在平板上移 动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最 大值为() A.312 36 B.32 24 c.2 D.2 2.2425高=上辽宁大连期末已知双曲线c:号-。=1的左、右焦点分别为F,P,过r作倾斜角为的 直线交双曲线C于A,B两点，若△AF1F2,△BF1F2的内切圆半径分别为r1,r2,则r1r2=() A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题 6/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高二辽宁名校联盟)己知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(-1,0),F2(1,0),点P是它们的一 个公共点，且在圆x2+y2=1上，椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,且e2=V2e1,则下列说法正 确的是（) A.e2=5 2 B梢圆G:的方程为号+3y2=1 C.△PF,F2的面积为 D,△PF1F2的周长为V3+2 三、解答题 4.(Q425高二上辽宁丹东期末已知F1,P2是椭圆C塔+发=1〔a>b>0)的焦点，P,P2引=42，且过点 (0,2) (1)求C的方程； (2)若点P在C上，∠F1PF2=90°，求△0PF2的面积 7/7