专题02 空间中的角和距离（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02空间中的角和距离 ☆4大高频考点概览 考点01异面直线成角 考点02线面成角 考点03面面成角 考点04空间中的距离 目目 考点01 异面直线成角 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁点石联考期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是棱CD, AD的中点，则异面直线AN与B1M所成角的余弦值为() D M D A B A. B. C. 4v5 15 D. 5 二、多选题 2.(24-25高二上辽宁辽阳期末)已知在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥AC, AB=AC=AA1=2A1B1=4,CM=青CC.以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y, z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则() 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B A.B1C=(-2,4,-4) B.AM⊥B1C C.异面直线BB1与A,C所成角的余弦值为- D.点B到直线A1C的距离为2√6 3.(24-25高二上辽宁丹东期末)已知正三棱柱ABC-AB1C1中，AA1=AB,且满足 BD=BC(0≤1≤1)，B2=uBB1(0≤u≤1)，则() A.当入=4=号时，AE与C1D所成角的余弦值为 B.当入=4=专时，平面ADEI平面A1B1C C.存在，u∈[0,1]，使平面ADE⊥平面CDE D.存在，uE[0,1],使二面角E-A1C-D为钝角 三、解答题 4.(24-25高二上辽宁丹东期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AD=2, ∠PAB=∠PAD=60°，E、F分别是线段PA,CD的中点 D ,·A D (1)求EF; (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值， 5.(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学期末)我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”如 图所示的椭圆柱00'中底面长轴AB=A'B'=4,其长轴所在轴截面是正方形，F,F2分别为下底面椭圆的 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 左右焦点，P在BB'上且PB|=1,点Q为上底面椭圆上的一个动点，MN为下底面过点F的一条动弦（不 与AB重合)，ABI平面PMN A R M (1)求底面椭圆的半焦距长： (2)设QF1,QF2与下底面所成的角分别为，B,求tan(a+B)的取值范围； (3)当弦MN与底面长轴所成角为时，若三棱锥P-MNQ的体积为器，求直线PQ与MN所成的角的正 弦值， 目目 考点02 线面成角 一、 单选题 1.(24-25高二上辽宁丹东期末)在三棱锥0-ABC中，OA,OB,OC两两互相垂直，E为0C的中点，且 OB=OC=20A,则直线AE与平面ABC所成角的正弦值为() A.号 B. c.6 6 D. 二、多选题 2.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)如果a,6分别是平面，B的一个法向量，设，所成角的 大小为6，以a为方向向量的直线1与平面B所成角的大小为P,则() A.sine=sin(b) B.cose cos(3,b) C.coso=sin(3 b) D.sino=cos(B) 3.(24-25高二上辽宁葫芦岛期末如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,点M在线 段B:C上运动，则下列结论正确的是() 3/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B A.三棱锥B一A1MD的体积为定值 B.AM|的最小管为普 C.若点M运动到线段B1C中点，则异面直线AM与D1D所成角的正切值是2 D.存在点M,使直线C1M⊥平面A1C1D成立 三、填空题 4.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)已知二面角P-AB-Q的大小为号，且PQ与平面QAB所 成线面角为，若△PAB的面积为2，则△QAB的面积的取值范围为 四、解答题 5.(2425高二上辽宁葫芦岛期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AC的中点. B C D A (1)证明：AB1‖平面BC1D; (2)若AB=1,AA1=2,求直线BB1与平面BC1D所成角的正弦值 6.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC, BC1AA,B,F分别是线段A,B和CA上的点，且带-话，AB=AC=AA=2,∠AAB=等， 二面角A-BC-A的余弦雀为2雪 4/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F ()证明：EF//平面ABC; (2)求点A到平面A1BC的距离： (③侧棱CC1上是否存在点D,使得直线4D与平面A1BC所成角的正弦值为D?若存在，确定点D的位置； 5 若不存在，说明理由 7.(23-24高二上·贵州印江土家族苗族自治县智成中学月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AA=4,AD=2.AE=AB D A D B (1)证明：AC⊥平面DD1E: (2)求直线D1E与平面DEC1所成角的正弦值. 8.(24-25高二辽宁名校联盟)如图①，在△ABC中，C=90°，BC=AC=3,D,E分别是AC,AB 上的点，满足DE/BC,且DE经过△ABC的重心将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置（如图②）， 使A1C⊥平面BCDB,存在动点M,使A应=1A1(1>0 A B D E .>B D ① ② (1)当入=时，求平面CMB与平面MEB夹角的余弦值： (2)设直线BM与平面A1BE所成角为6，求sin6的最大值 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 面面成角 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁沈阳重点联合体期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=6, AA1=4,点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为() A要 B.号 c. D.322 22 2.(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学期末)在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所 成的角为B,相邻两侧面所成的二面角的平面角为Y,侧面等腰三角形的底角为6，则心，B,%6的大小关系 为() A.<B<6<Y B.a<B<y<8 C.a<y<B<8 D.a<8<B<Y 二、填空趣 3.(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知平面的一个法向量为=(x,1,2一x),直线] 的一个方向向量为6=(0,11,0)，则直线！与平面所成角的正弦值的最大值为一 三、解答题 4.(24-25高二上辽宁点石联考期末)如图甲，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别为AD,BC的中点， 沿EF将长方形EFCD折起，与平面ABFE形成60·的二面角，如图乙所示，点M在线段AB上且不与点A, B重合 D C D E B 甲 (I)若直线MF与由A,D,E三点所确定的平面相交，交点为N,CE⊥MF,求AM的长度及此时点N到 平面CDEF的距离； 6/12 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AM=A正，求平面MEC与平面CEF所成角的正弦值 5.(24-25高三上甘肃武威期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1和CAA1C1均为矩形， AB⊥AC B (1)证明：AB⊥AC; (2)若AB=AC=1,AA1=2,求平面A1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值 6.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)如图，在四棱锥B:一AECD中，底面AECD是菱形， ∠DAE=60°，M是AE的中点，Q是B1D的中点，且B1M⊥平面AECD,AD=AB1=2 B (I)求证：AE⊥平面B1DM: (2)求三棱锥D一QEC的体积： (3)求平面QEC与平面B1AD所成角的余弦值 7.(24-25高二上辽宁大连·期末)如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AB=2AD=2CD=4,将 △DAC沿AC翻折至△PAC,使得平面PAC⊥平面BAC ----------B (I)求异面直线PC与AB所成角的余弦值： (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (③)点Q在棱AB(不包含端点)上，且平面PCQ与平面BCQ所成角的余弦值为9，求8的值 8.(24-25高二上·辽宁丹东·期末)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，△PCD是边长为 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2的等边三角形，PB=2V2 (1)证明：平面PCD⊥平面ABCD: (2)求二面角A-PC-D的余弦值 9.(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)如图，在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD, AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=0.5. S B (1)证明：平面SAB⊥平面SBC. (2)求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值， 10.(24-25高二上辽宁锦州某校期末)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA上平面ABCD,底面ABCD是 平行四边形，且AD=PA=2,AB=3,∠DAB=60°，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上靠近点A的 三等分点. (I)求证：平面DEF⊥平面PAB; (2)求平面DEF与平面PAD所成角的正弦值. 11.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且 PD//EA,PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H G (1)画出过点F,G,H的截面（不必写出证明过程）： (2)求直线CE与平面FGH所成角的正弦值； (③)若M是(I)中过点P,G,H的截面上一点，二面角M一PE一D的余弦值为气，求满足题意的M点轨 迹的长度 目目 考点04 空间中的距离 一、单选题 1.(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学期末)空间直角坐标系中过点(1,2，一1)的直线1的一个方向向量 为(1,1,1)，则直线1与y轴之间的距离为() A.2 B.2 C. D.专 2.(24-25高二上辽宁点石联考期末)如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB/CD,PQCD, AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点M为BQ的中点，若Q=QC,则N到平面CPM的距离为() D: B A每 B.号 c.② D. 二、多选题 3.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)如图，正方体ABCD一EFGH的棱长为2，P1P2P3分别 为正方形ABFE,BCGF,EFGH的内切圆上的点，下列说法正确的是() 9/12 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 H A.若PP2P3分别为AB,CG,HG的中点，则棱AB与平面PP2P3所成角的余弦值为号 B.若平面P1P2P3与平面BEG平行，则平面P1P2P3到平面AHC的距离的最小值是25-6 C.直线P1P2与P1P3所成角的最大值为罗 D.|P1P2+1P2Ps+|P3P1的最小值为3V2-3 4.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的 表面上一个动点，则() D C A B G--- D A.当P在平面BCC1B1上运动时，三棱锥P一AA1D的体积为定值等 B.若E,G分别是线段CC1和DD1上的动点（都不与端点重合），EG//DC,D1C∩EG=H,P点 在平面BCCB1上，PE=CE,且PE⊥CB,则∠D1HP为定值 C.若P是线段CC1的中点，则沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为√17 D.使线段AP长度为的点P的轨迹长度为π 5.(24-25高二上辽宁多校联考期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的 中点，F为线段BB:的中点，则() 10/12 专题02 空间中的角和距离 4大高频考点概览 考点01 异面直线成角 考点02 线面成角 考点03 面面成角 考点04 空间中的距离 地 城 考点01 异面直线成角 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ）    A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】对于A，根据题意求出点和的坐标即可得的坐标；对于B，求出和的坐标，计算数量积即可判断； 对于C,求出与的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D，利用向量求距离的公式即可求出. 【详解】根据题意可得，，，则，故A正确； ，，， 则， 因为，所以，故B正确； ，，则，，设异面直线与所成的角为， 则，故C错误； ，则点到直线的距离为，故D正确． 故选：ABD. 3．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)已知正三棱柱中，，且满足， ，则（   ） A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，平面 平面 C．存在，，使平面平面 D．存在，，使二面角为钝角 【答案】AC 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用异面直线成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐项判断即可. 【详解】因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，， 分别以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，， ，，，， 选项A：当时，，， 此时与所成角的余弦值为，说法正确； 选项B：当时，，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 因为无解，所以平面与平面不平行，B说法错误； 选项C：显然当，，即与重合，与重合时， 由正三棱柱的性质可知平面 平面，C说法正确； 选项D：过作，垂足为，过作，垂足为， 因为四边形为正方形，故，同理， 故，故， 所以，同理，， 所以，而， 故，所以， 故为锐角即的平面角为锐角， 而的平面角不超过的平面角， 故二面角的平面角小于，故D错误. 故选：AC 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，， ，E、F分别是线段PA，CD的中点. (1)求EF； (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）解法一：以为基底，根据结合空间向量的数量积运算求解即可； 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，再根据两点间的坐标公式求解即可； （2）解法一：根据空间向量数量积运算可得，结合求解即可； 解法二：根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）解法一：以为基底，则，，. 因为. 因此 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA， 由，，所以， 在，中，得， 有，则，即AQ是的平分线， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由三余弦定理知，得， 所以，，，， 则，， 所以. （2）解法一：因为 而，所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 解法2： 由（1）知， 所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 【点睛】 5．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图所示的椭圆柱中底面长轴，其长轴所在轴截面是正方形，分别为下底面椭圆的左右焦点，在上且，点为上底面椭圆上的一个动点，为下底面过点的一条动弦（不与重合）， 平面. (1)求底面椭圆的半焦距长； (2)设与下底面所成的角分别为，求的取值范围； (3)当弦与底面长轴所成角为时，若三棱锥的体积为，求直线与所成的角的正弦值. 【答案】(1)1 (2) (3)1或 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，进而计算出半焦距长. （2）作出线面角，利用两角和的正切公式以及椭圆的性质求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用弦与底面长轴所成角以及三棱锥的体积确定点的坐标，进而求得直线与所成的角的正弦值. 【详解】（1）连接， 平面平面，平面平面 ， 又是正方形，， 半焦距. （2）作底面于点，连接， 则， 易知，依题意设， 则, , 根据椭圆性质知，即， ， ， 故. （3）以点为原点，椭圆长轴，短轴，直线＇分别为，轴建立坐标系， 则椭圆的标准方程为， 由对称性不妨令直线， 联立，消去得到， 设，则， 过点作 交于点，设， 则， ， ，即， 则，与椭圆联立解得或， 对于，注意到， ,， ,故， 平面平面，， 平面， 平面 平面 ， 即此情况下直线与所成角为直线与所成角的正弦值为1， 对于，设， 直线与所成的角即为与所成的角， 由上知， 综上所述，直线与所成角的正弦值为1或. 地 城 考点02 线面成角 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用平面所成角的大小与平面的法向量所成角的关系可判断AB，利用线面角的大小与直线的方向向量与平面的法向量的关系可判断CD. 【详解】因为，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为， 所以相等或互补，所以，故A正确； 所以，故B错误； 因为以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，所以，故D错误， 因为，故C正确. 故选：AC. 3．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正切值是2 D．存在点，使直线平面成立 【答案】AB 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】对于选项A，需通过等体积法将三棱锥的体积转化为易求的形式来判断是否为定值；对于选项B，要找到点M的位置使得最小，可利用勾股定理求解；对于选项C，先找出异面直线与所成的角，再求其正切值；对于选项D，可通过假设存在这样的点M，利用线面垂直的判定定理进行推理判断. 【详解】选项A：因为正四棱柱中，，所以. 由正四棱柱性质可知，且在平面内，不在平面内，所以平面. 那么点到平面的距离等于点到平面的距离，都是固定的， 则底面积和高都为定值，三棱锥体积也是定值，选项A正确. 选项B：连接，，在中，，，. 由余弦定理可得. 设（），则. 在中，由余弦定理可得. 当时，取得最小值，，则的最小值为，选项B正确.   选项C： 因为，当点为中点时，取中点N，连接，则 ，所以异面直线与所成的角等于.且底面AC. 在中，， ， 底面AC. 底面AC.则 则，选项C错误.   选项D：假设存在点，使直线平面. 因为平面，所以. 在正四棱柱中，，，平面， 若，则平面，所以，这与正四棱柱中且与相交矛盾， 所以不存在点，使直线平面成立，选项D错误. 故选：AB. 三、填空题 4．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据题意作图，找出二面角和线面角的平面角，在直角三角形中求出各边长，发现点的轨迹是一个圆，从而得到点到的距离的取值范围，代入计算即可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，作平面于点,连接, 根据题意，与平面所成线面角为， 平面，平面 又平面，平面，且, 平面，平面，. 二面角所成的平面角是. 设，则. 在中，，则， 在中，，则 所以点在以点为圆心，半径为的圆上. 设点到的距离为，因为，则， 所以，得. 故答案为：. 四、解答题 5．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 （2）取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 6．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，在三棱柱中，，，，分别是线段和上的点，且，，，二面角的余弦值为. (1)证明：平面ABC； (2)求点到平面的距离； (3)侧棱上是否存在点D，使得直线AD与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，在处. 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）利用线线平行可得平面，平面，进而利用线面平行可得平面平面，利用线面平行的性质可得结论； （2）取的中点，连接，过作，可证平面，可得为点到平面的距离，求解即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在上取点，使，连. 则平面，平面，所以平面， 由，得，故. 平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，则平面. （2）取的中点，连接，由知，. 又，，故平面，平面平面， 过作，则平面，为所求. 又，即为二面角的平面角. 令，. 而，，则，， ，故. （3）存在，在处. 由（2）得平面，则平面平面. 过作，则平面. 而在中，令，由余弦定理有， 即，解得. ，则. 作，以为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 则，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得. 设，. ， . 有，则，即在处. 7．(23-24高二上·贵州印江土家族苗族自治县智成中学·月考)如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】贵州省印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 8．(24-25高二·辽宁名校联盟·)如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. (1)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值的计算公式即可求解； （2）引入参数表示出，求出平面的法向量，进一步可将表示出的函数即可进一步求解. 【详解】（1）由题可知，，，两两垂直， 翻折前，因为经过的重心，且， 所以， 所以，，， 翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， . 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 且 ， 因为直线与平面所成角为， 则 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 地 城 考点03 面面成角 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法即可求解. 【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量为， 所以有，即，取故， 平面的一个法向量为，， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：D. 2．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】作图，找到所求的四个角，根据的大小关系，可比较的大小关系，并发现它们都是锐角，根据定义作出相邻两侧面所成的二面角的平面角，利用等面积法求出的长，利用余弦定理计算可得是钝角，将四个角按照大小排序即可. 【详解】    如图，不妨设正四棱锥的底面边长为2，高，取中点，连接. 易知 所以，则. 过点作于点，连接，因为，所以， 所以即为相邻侧面和侧面所成的二面角的平面角， 即， 在中，根据余弦定理， , 其中，所以. 所以，. 故选：A. 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)如图甲，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将长方形EFCD折起，与平面ABFE形成的二面角，如图乙所示，点M在线段AB上且不与点A，B重合. (1)若直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为N，，求AM的长度及此时点N到平面CDEF的距离； (2)若，求平面MEC与平面CEF所成角的正弦值. 【答案】(1)，距离为. (2). 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）取BF中点H，证明得，及，设，求出，过N作于T，所以平面CDEF，即NT的长度为点N到平面CDEF的距离，进而得到答案； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，，，CF，平面CFB， 所以平面CFB，同理可得平面DEA， 因为二面角为60°，所以， 所以由题意得DEA与CFB是全等的等边三角形， 如图，取BF中点H，连接CH，则，由平面CFB，又平面CFB，所以， 又，所以平面ABFE，所以， 因为平面，所以平面CEH，所以， 所以，， 设，则，，所以AM的长度为. 过N作于T，则由平面DEA，得，所以平面CDEF，即NT的长度为点N到平面CDEF的距离， 因为，所以，所以，，， 所以点N到平面CDEF的距离为. （2）如图，取AE的中点为O，连接OD，OH， 由（1）得，，，， 因为，，所以，又，AE，平面AED， ， 所以平面AED，因为平面AED，所以，所以直线OH，OD，OE两两垂直， 则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，，，， 设平面MEC的法向量，则， 令，则，，所以， 设平面CEF的法向量， 则， 令，则，，所以， 所以， 设平面MEC与平面CEF所成的角为， 所以， 综上所述，平面MEC与平面CEF所成角的正弦值为. 5．(24-25高三上·甘肃武威·期末)如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【来源】甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷 【分析】（1）求证平面即可由线面垂直定义得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量即可由平面夹角的向量法公式计算得解. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，，则， 设平面的一个法向量为，则，即 取，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 6．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，是的中点，且平面，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面QEC与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）利用线面垂直可得，进而利用线线垂直可得平面. （2）利用，可求体积； （3）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）在菱形中，连接，得等边， 是的中点，， 平面，平面，. 平面，平面，且， 平面. （2）因为，，，所以， 因为，，所以，则， 由. 又. 从而有. （3）由（1）知，，故，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，则，.    令平面的一个法向量为，则令，得， 又，，，则，. 令平面的一个法向量为，则，即，令，得. 有，则，而，， 设平面与平面所成角为，则 7．(24-25高二上·辽宁大连·期末)如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，求解直线的方向向量，即可由向量的夹角求解，或者利用线线平行可得为异面直线与所成角的补角，即可利用三角形的边角关系求解， （2）求解平面法向量，根据向量的夹角即可求解，或者利用线面垂直可得为直线与平面所成的角，，即可利用三角形的边角关系求解， （3）求解两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可求解，或者利用二面角的定义，结合几何法可得为二面角的一个平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）方法一：过作垂直于，所以， 结合，所以，， 所以，，所以. 取中点中点，因为，所以 因为平面平面， 平面平面，平面 所以平面， 又因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 则，，，， ，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法二： 过作垂直于，所以， 所以，， 所以，，所以. 取中点，中点，中点，中点， 所以，， 所以为异面直线与所成角的补角. 因为，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 又因为，所以平面，平面，所以， 在，，， 所以. 在中，，， 由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）方法一： ， 设平面的一个法向量分别为， ，， 由， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以. 过作，垂足为， 由于，，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）方法一： 设平面的一个法向量为， 令， 则，， 所以， 令，则， 所以. 又因为平面的一个法向量为， 所以 整理得，解得或（舍）. 所以. 方法二： 在棱上取一点，连接， 过作，垂足为，连接， 因为平面，为在平面内的射影， 所以，所以为二面角的一个平面角， 在中，因为，，所以， 在中，因为， 所以，， 所以， 在中，由正弦定理， 得，所以. 8．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，. (1)证明：平面平面ABCD： (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）法一：由（1）可知平面PCD，过D作，由三垂线定理得到是二面角的平面角求解；法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，先求得平面APC的一个法向量为，再由是平面PCD的法向量，由求解. 【详解】（1）证明： 因为，所以. 因为，，所以平面PCD. 因为平面ABCD，所以平面平面ABCD. （2）法一：因为，由（1）可知平面PCD. 如图所示： 在平面PCD内过D作，垂足为E，连结AE， 由三垂线定理可得，因此是二面角的平面角. 在等边中，，，所以. 于是二面角的余弦值为. 法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知z轴在平面PCD内. 则，，，，. 设平面APC的一个法向量为， 由，可得，可取. 又是平面PCD的法向量，故. 因为二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 9．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． (1)证明：平面平面． (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）法一，根据面垂直的判定定理证明即可；法二，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明； （2）利用面面角的空间向量求法求解即可. 【详解】（1）方法一，证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 方法二，证明：因为，底面，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则取． 设平面的法向量为， 则取， 因为，所以， 所以平面平面． （2）方法一，因为，，底面，所以以为坐标原点， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，， 由（1）易得是平面的一个法向量． 因为，， 所以，． 设平面的法向量为，则取． 设平面与平面所成角的大小为， 则 ， 故平面与平面所成角的余弦值为． 方法二，因为，所以． 设平面的法向量为，则取． 设平面与平面所成角的大小为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 10．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）利用余弦定理计算和勾股定理的逆定理的应用可得，由线面垂直的性质可得，结合线面、面面垂直判定定理即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角即可. 【详解】（1）因为点是线段上靠近点的三等分点，，所以； 在中，，， 由余弦定理可得， 满足，即； 因为平面，平面，所以； 又平面， 所以平面， 因为平面， 因此平面平面； （2）过点作，由平面，可得平面； 又平面，所以； 因为，故， 故以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 可得； 所以平面与平面所成角的正弦值为. 即可得平面与平面所成角的正弦值为. 11．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 【答案】(1)取中点，连接，则五边形为过，，的截面，理由见解析； (2)直线与平面所成角的正弦值为 (3)点轨迹的长度为 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面，利用面面平行的性质可证结论； （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，可证明平面，可得为直线与平面所成的角，计算即可； （3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用坐标法求得平面的一个法向量，结合平面的一个法向量为，结合已知可得，进而计算可求得点轨迹的长度. 【详解】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面， 理由，因为，，的中点分别为，，. 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或（舍去）， 当时，，当，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为 ，； ②直线与平面所成的角为 ，； ③二面角的大小为 ，. 地 城 考点04 空间中的距离 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)空间直角坐标系中过点的直线的一个方向向量为，则直线与轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】先证明直线与轴异面，设为上一动点，且，，由关系，求点，的坐标，由此可求结论. 【详解】设为轴上的动点，设点为， 设 若点在直线上，则， 又，所以，矛盾， 所以点不在直线上， 又直线的一个方向向量为，轴的一个方向向量为， 所以直线与轴不平行，所以直线与轴异面， 设为上一动点，且， 所以点的坐标为，所以， 当，时，取最小值， 所以当，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 此时，的最小值为， 所以直线与轴之间的距离为. 故选：B. 2．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量，则，即， 不妨设，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为 . 故选：B 二、多选题 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)如图，正方体的棱长为2，分别为正方形的内切圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若分别为的中点，则棱与平面所成角的余弦值为 B．若平面与平面平行，则平面到平面的距离的最小值是 C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，运用线面角的向量法可求棱与平面所成角的余弦值；利用向量法求得平面到平面的距离的最小值判断B；利用直线与可以垂直判断C；利用两点间的距离公式求得的最小值判断D. 【详解】以正方体的中心为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 对于A，由题意可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设棱与平面所成的角为， 所以， 所以棱与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，由题意易得与平面互相平行，从而可得平面的一个法向量为， 设，， 则到平面的距离， 当且仅当时，， 所以到平面的最小距离为，同理可得到平面的最小距离为，符合题意， 所以平面到平面的距离的最小值是，故B正确； 对于C，当是的中点，是的中点，是的中点时， 易证，所以直线与所成角的最大值为，故C正确； 对于D，由条件，设， ， 则，同理可得， ， 所以 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 4．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（   ）    A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在平面上，，且，则为定值 C．若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为 D．使线段长度为的点的轨迹长度为 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】对于A选项，三棱锥的高是点到面的距离为定值，即可求锥体体积；对于B选项，可设，由图，用勾股定理求出有关线段，由余弦定理即可解出，从而得出；对于C选项，将正方体沿棱剪开，构造出，由勾股定理即可得答案；对于D选项，设点在面内，由勾股定理可得点的轨迹，同理可得点的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角的圆弧，且点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同，代入弧长公式即可. 【详解】对于A选项，三棱锥的高是点到面的距离，即为，所以，即A选项正确； 对于B选项，设，由题意可得，，， 所以由勾股定理得，，，又，所以，在中，由余弦定理， 故，因此，即B选项正确； 对于C选项，将正方体沿棱剪开，可得， 由勾股定理，所以沿正方体的表面从点到点的最短距离为，即C选项错误； 对于D选项，设点在面内，因为长度为，所以点可在棱、上， 不妨分别设为、,由勾股定理得， 在中，，所以,同理， 所以，因此点在面内的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角圆弧， 故点在面内的轨迹长为，根据正方体的性质， 点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同， 设点在面中，点不仅可在处，还可在棱上，不妨设为， 因为长度为，所以， 所以点在面内的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角的圆弧， 故点在面内的轨迹长为， 且点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同， 因此使线段长度为的点的轨迹长度为.即D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：重在把握动点的位置，线段长度与位置的关系，长用的方法是将变量转换为可刻画的不变量. 5．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．四点共面 B．在平面上的投影向量为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，利用向量方法证明，判断A，根据投影向量的定义判断B，求，根据向量方法求点到直线的距离判断C，求平面的法向量及向量，利用向量方法求点到平面的距离判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，，则，， ，则，所以四点共面，A正确． 由正方体的结构特征，点在平面上的投影为， 所以在平面上的投影向量为，B正确． ，， ，， ，， 则点到直线的距离为，C错误． 设平面的法向量为，， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离为，D错误． 故选：AB. 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】连接，，设其交点为．由正六棱柱的性质知，，且，取的中点，连接，则平面．    以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 因为，，分别为，的中点， 所以，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则令，则． 故点到平面的距离． 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【详解】（1）由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面 面面， 所以面， 过作 ，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又 ， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 7．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. (1)证明： 平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）设正方体线段长，以整体一个顶点和三条相邻的棱建立空间直角坐标系，求出线的方向向量和面的法向量，从而证明线面平行； （2）由（1）中的空间直角坐标系求得两个面的法向量，由空间向量求得面面角的余弦值； （3）由（2）中的面的法向量和，由向量的投影求得点到面的距离. 【详解】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则 所以 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以 平面. （2）设是平面的一个法向量，， 则，令，则，即， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为，平面的一个法向量， 所以F到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $