精品解析：辽宁省铁岭市枫树岭实验学校2023-2024学年高二上学期期初考试数学试卷

铁岭市枫树岭实验学校 2023-2024 学年度上学期 高二年级期初考试数学学科试卷 出题人： 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知满足 ，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则复数 的共轭复数的模是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数 满足，则 （ ） A. B. C. D. 4. 如图在三棱柱中，下列直线与成异面直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为 A. B. C. D. 6. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对边分别为.若,则角的值为 A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ）. A. 的最大值为3 B. 最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 10. 已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 11. 用，，表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是 A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 12. 在△ABC中，a，b，c分别为，∠C的对边，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B 若，则 C. 若，则△ABC为钝角三角形 D. 若，则 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.） 13. 已知是虚数单位，复数，则__________． 14. 如图，设为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________． 15. 在△ABC中，，，若平面，，则点P到直线BC的距离为________. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是________. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知复数，(，为虚数单位). (1)若是纯虚数，求实数的值. (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 20. 已知向量，. （1）若∥，求的值； （2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值. 21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，. 求证：（1）直线DE平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F 22. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，．求证： （1）⊥平面； （2）平面⊥平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 铁岭市枫树岭实验学校 2023-2024 学年度上学期 高二年级期初考试数学学科试卷 出题人： 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知满足 ，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的概念即可求得结果. 【详解】由于，故复数z的虚部为2， 故选：C 2. 已知为虚数单位，则复数 的共轭复数的模是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数定义与复数的模长公式即可求得结果. 【详解】因复数，所以，故， 故选：D 3. 若复数 满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的计算即可求得结果. 【详解】因为，所以， 故， 故选：C 4. 如图在三棱柱中，下列直线与成异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线的位置关系，可得出结论. 【详解】由在三棱柱中，，，与异面，. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线的判断，要理解空间中直线与直线的三种位置关系，考查推理能力，属于基础题. 5. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积． 【详解】由题意侧棱长为． 所以表面积为：． 故选：A. 【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长． 6. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出值，结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】由可得， 由余弦定理可得， ，因此，. 故选：D. 8. 在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果. 【详解】由正弦定理得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题. 二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ）. A. 的最大值为3 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的最值求得的最大值，根据三角函数的周期性求得最小正周期，根据三角函数的对称性求得对称轴，根据三角函数的单调性求得单调减区间，进而判定各选项. 【详解】∵，所以的最大值为，故A不正确； 的最小正周期为，故B正确； 因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故C正确； 令，解得：，所以在区间和单调递减，在上单调递增，故D不正确， 故选：BC. 10. 已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】CD 【解析】 【分析】由，根据复数的除法法则求出复数，即可判断A；根据复数模的计算公式求出，即可判断B；由复数得到其共轭复数，再根据复数的乘法法则求出，即可判断C；由复数得到其在复平面内对应的点的坐标，即可判断D. 【详解】因为，所以复数，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为复数，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确. 故选：CD 11. 用，，表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 判断线与线､线与面､面与面之间的关系，可将线线､线面､面面平行(垂直)的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 【详解】根据平行直线传递性可知正确； 在长方体模型中容易观察出中､还可以平行或异面； 中､还可以相交； 是真命题，垂直于同一平面的两直线平行； 故选：. 【点睛】本题考查线面之间的位置关系，属于基础题 12. 在△ABC中，a，b，c分别为，∠C的对边，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则△ABC为钝角三角形 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，结合三角函数的性质以及和差角二倍角公式即可判断ABD，由向量的数量积定义即可判断C. 【详解】由得或，由于在三角形中，所以或，故△ABC为等腰三角形或者为直角三角形，故A错误， 由，得，由正弦定理得，故B正确， 若 ，则,因此为锐角，故无法确定△ABC为钝角三角形，故C错误， 由得,进而可得，由于, 所以,由于,所以,故D正确， 故选：BD 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.） 13. 已知是虚数单位，复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，化简复数为，再结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数， 所以. 故答案为：. 14. 如图，设为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________． 【答案】垂直 【解析】 【分析】 首先易证，，再利用线面垂直的判定即可得到平面. 【详解】因为，为中点，所以， 因为，为中点，所以， 又因为，所以平面. 故答案为：垂直 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断，属于简单题. 15. 在△ABC中，，，若平面，，则点P到直线BC的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】取BC中点D，证明平面，得到，求解即得. 【详解】 如图，取BC中点D，连结，因，则， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 又平面，故得，则PD为P到BC的距离. 由题设得，在中， . 故答案为：. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用余弦定理将角化边，即可得到，从而得解. 【详解】在中，， ， ， ，，则， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）0；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据为纯虚数，可得实部，虚部，联立即可求得答案. （2）根据复数相等条件，列出方程组，即可求导答案. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以， 解得. （2）因为， 根据复数相等的条件可得：， 解得. 综上当时，为纯虚数，当时，. 18. 已知复数，(，为虚数单位). (1)若是纯虚数，求实数的值. (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先运用复数乘法计算，再依据虚数的定义建立方程求解； （2）借助（1）的计算结果，依据题设条件“复数在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组，再结合条件“”，求参数的取值范围． 【详解】（1）依据 根据题意是纯虚数，故， 故； （2）依， 根据题意在复平面上对应的点在第二象限， 可得，即， 综上，实数的取值范围为. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即. 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 20. 已知向量，. （1）若∥，求的值； （2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值. 【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为 【解析】 【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解. （2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值． 【详解】解：（1）由得, ， ∴ ∴ （2） ∴函数 的最小正周期为 当 时， ∴当，即时，. 【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目． 21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，. 求证：（1）直线DE平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以，于是， 又因为DE平面平面， 所以直线DE//平面. （2）在直三棱柱中， 因为平面，所以， 又因为， 所以平面. 因为平面，所以. 又因， 所以. 因为直线，所以 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 22. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，．求证： （1）⊥平面； （2）平面⊥平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由勾股定理可知，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）由线面垂直性质可知，由正方形特点知，由线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直的判定定理证得结论. 【详解】（1）， 同理可得： 平面， 平面 （2）平面，平面 四边形为正方形 平面， 平面 平面 平面平面 【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直、面面垂直关系的证明，涉及到勾股定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$