精品解析：辽宁省朝阳市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题

2024级高二第一学期期末教学质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 3. 若展开式的常数项为60，则值为 A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ） A. 1 B. 0 C. 0.5 D. 0.25 6. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 80种 D. 90种 8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 极差为3，第25百分位数为2 C. 众数为2，中位数为3 D. 众数为4，第60百分位数为3.5 10. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的残差平方和变大 B. 数据的决定系数变大 C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D. 样本相关系数的绝对值更趋于0 11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______． 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______． 14. 已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 16. “两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示. 得分 男性人数 10 15 65 75 115 50 20 女性人数 10 30 70 65 35 30 10 （1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？ （2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样的方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差. 附表及公式； 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 17. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 19. 已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. （i）求三角形面积的最大值； （ii）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期期末教学质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线的位置关系建立方程，结合三角函数的基本公式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 2. 某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单随机抽样的特点，总体中的每一个个体被抽到的可能性均等. 【详解】总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为. 故选A． 3. 若展开式的常数项为60，则值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解. 【详解】因为展开式的通项为， 令，则，所以常数项为，即，所以. 故选D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由的圆心，半径， 由的圆心，半径， 所以，故两圆相交. 故选：C 5. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ） A. 1 B. 0 C. 0.5 D. 0.25 【答案】D 【解析】 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 6. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以， 所以，因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以在中，，所以， 所以，所以， 所以或（舍去）， 所以的离心率为. 故选：C. 7. 现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 80种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】因为甲同学和乙同学均喜欢牛吉祥物，所以需对牛吉祥物的归属进行分类；第一类若甲选择牛吉祥物；第二类若甲不选择牛吉祥物；分别计算两类选法种数，然后将两类计算结果相加即可求解. 【详解】根据题意，按甲的选择不同分两类讨论：第一类，若甲选择牛的吉祥物，则乙的选法有2种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）；第二类，若甲选择马或猴的吉祥物，则甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）.所以不同的选法共有（种）. 故选:C 8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称； 即四边形为平行四边形； 又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形； 可知； 设，由可得，因此； 结合双曲线定义可得； 在中，由勾股定理可得，即； 解得； 又在中，由勾股定理可得，即； 可得，解得； 因此. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 极差为3，第25百分位数为2 C. 众数为2，中位数为3 D. 众数为4，第60百分位数为3.5 【答案】AC 【解析】 【分析】举例即可判断AC的正误；根据百分位数及极差判断B，由百分位数及众数判断D. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时， 满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，由可知，由小到大排列的第二位数为2， 所以第一位数为1或2，极差为3时，最大数为4或5，所以不会出现6点，所以B错误； 对于C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时， 满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以C正确； 对于D，由知，由小到大排列的第三位数与第四位数的平均值为3.5， 若第三，第四位数为1，6；2，5时，都与众数为4不符， 所以第三，第四位数为3，4，又众数为4，故第五位数为4，故D错误， 故选：AC 10. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的残差平方和变大 B. 数据的决定系数变大 C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D. 样本相关系数的绝对值更趋于0 【答案】BC 【解析】 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断． 【详解】由题意， 从散点图中可知，样本数据的两变量正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好，决定系数变大，故B正确，从而相关系数的绝对值更接近于1，所以D错误； 由于拟合效果更好，决定系数越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以A错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以C正确. 故选：BC. 11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D. 【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得 消去整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又， 所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设出事件，得到，，求事件的概率即可； 【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 则2个球中恰有1个红球的概率，即求事件的概率， ． 故答案为： 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______． 【答案】 【解析】 【分析】求出正面点数不大于2的概率，再利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2的概率， 因此，所以. 故答案为： 14. 已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先需要明确两个圆的圆心和半径，然后根据两圆恰有两条公切线的位置关系（相交），利用两圆相交时圆心距与两圆半径的关系来求解的取值范围. 【详解】圆：方程为，其圆心为，半径. 单位圆：圆心在原点，半径. 两圆的圆心距. 因为两圆恰有两条公切线，所以两圆相交，所以，即， 得，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）①，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用频率计算概率即可； （2）利用二项分布概率公式来计算概率，但总经济损失为的取值是； （3）利用分类讨论，研究三个方案的总经济损失的期望，通过对比来作出决策. 【小问1详解】 设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则； 【小问2详解】 依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为， 由题意知，. 离散型随机变量的分布列为： 10 12 14 【小问3详解】 使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元， 采用方案①：的取值为：5，7，17，19， ，， ，， 故采用方案①，总经济损失的期望 采用方案②：的取值为：10，12，15，17， ，， ，， 故采用方案②，总经济损失的期望 采用方案③：的取值为：5，10，17，22， ，， ，， 故采用方案③：总经济损失的期望. 综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小 16. “两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示. 得分 男性人数 10 15 65 75 115 50 20 女性人数 10 30 70 65 35 30 10 （1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？ （2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样的方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差. 附表及公式； 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 【答案】（1）列联表见解析，有 （2）分布列见解析，数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到答案； （2）根据题意，抽查结果为“比较了解”的概率为，变量的可能取值为，且，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合二项分布的期望和方差的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，可得列联表如下： 不太了解 比较了解 合计 男性 90 260 350 女性 110 140 250 合计 200 400 600 依题意，， 故有的把握认为市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关系. 【小问2详解】 解：由题意，抽查结果为“比较了解”的概率为， 随机变量的所有可能取值为，且， 可得，， ，， ， 可得随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以，. 17. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案； （2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； 由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质，代入点坐标计算即可； （2）法一、用点P坐标表示直线，联立双曲线方程得出C、D坐标，再表示直线，联立求其交点即可证明；法二、直接利用C、D坐标表示直线，利用三点共线的斜率关系计算可用表示直线方程，联立求其交点即可证明. 【小问1详解】 因为渐近线方程为，所以，设双曲线为， 代入得，双曲线的标准力程为； 【小问2详解】 法一、 设直线，联立双曲线得：， ，且； 设直线，联立双曲线得：， ，且； 所以 则 设，则，两式相除消得 所以在直线上； 法二、 设直线， 直线， 由于，即， 由于，即， 则. 设，则，两式相除消得 所以在直线上； 19. 已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. （i）求三角形面积的最大值； （ii）设，求证：. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目信息求出，即可得到答案； （2）（i）设直线的方程为，求出三角形的面积，结合对勾函数的单调性即可求出最大值；（ii）设与的斜率分别为，，证明即可证明. 【小问1详解】 由题可得，解得 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）如图，由题可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为： 设，，由题意知，， 联立，消去化简得 所以， 所以 又原点到直线：的距离 所以三角形的面积 令，则 设，根据对勾函数得在上单调递增，则，则， 所以三角形面积的最大值为. （ii）设与的斜率分别为，，又， 则. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $