专题01 空间向量及其运算（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

专题01 空间向量及其运算 4大高频考点概览 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量的数量积 考点03 空间向量基底 考点04 空间几何体的表面积和体积 地 城 考点01 空间向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 3．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 5．(23-24高二上·广东广州一中·月考)已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 地 城 考点02 空间向量的数量积 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 2．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 4．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图，平行六面体中，，，，，则的长为 ．    5．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 6．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则 ， . 7．(24-25高二上·辽宁大连·期末)平行六面体中，，，，则的长是 . 地 城 考点03 空间向量基底 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 14．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁大连·期末)在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 地 城 考点04 空间几何体的表面积和体积 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知空间四点，，，，则四面体的体积为（   ） A． B． C．15 D． 2．(24-25高二上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 . 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)如图1，在抛物线上任选一动点，可认为其纵坐标为以为边长的正方形的面积，由此将抛物线下阴影部分的面积转化为四棱锥的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则. (1)如图3，在拟柱体中，底面为矩形，，点到底面的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体的体积； (2)已知类似于圆锥的空间几何体具有圆锥的一切对称性，且其顶点为，底面为，高为，将置于空间直角坐标系中，使其顶点与坐标原点重合，与平面平行且上任意一点坐标均可表示为.若用任一平行于平面的平面截所得的截面的面积与到平面的距离有关系：.设被平面所截得曲线为， （i）求的体积关于的表达式及在平面中的方程； （ii）在平面中，过点作两条互相垂直的弦，分别交于两点，都在第一象限内且在的右侧，分别交于两点.设的面积为的面积为，当点的横坐标时，求的最大值. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 4大高频考点概览 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量的数量积 考点03 空间向量基底 考点04 空间几何体的表面积和体积 地 城 考点01 空间向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，则， 所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：D. 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 3．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由条件结合对称性求点的坐标，再求的坐标，利用模长公式求结论. 【详解】点关于轴的对称点为点， 所以点的坐标为， 所以 则． 故选：A. 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据题意，利用，逐项得到关于的方程组，检验是否满足题意即可得解. 【详解】对于A选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故A错误； 对于B选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，令，则，， 满足存在不全为零的实数，，的条件，故B正确； 对于C选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故C错误； 对于D选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题设给出的定义，从而逐项列式检验即可得解. 5．(23-24高二上·广东广州一中·月考)已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【来源】广东省广州市一中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 地 城 考点02 空间向量的数量积 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 【答案】B 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值. 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则 ，得． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，则． 因为， 所以的最小值为． 故选：B 2．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：D. 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 【答案】/ 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】以为基底，利用空间向量数量积的运算律计算可求得线段的长. 【详解】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 4．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图，平行六面体中，，，，，则的长为 ．    【答案】 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】选择为空间的一组基，将用基向量表示，再利用向量数量积的运算律即可求得的长. 【详解】平行六面体中，，，， ，    如图，，则 ． ． 故答案为：. 5．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据三棱柱性质确定出内切球的半径和球心位置，再利用极化恒等式结合向量数量积的运算律计算可求出结果. 【详解】由正三棱柱的底面边长为， 设底面三角形内切圆半径为 则 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为， 设内切球球心为，如下图所示： 易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为，即 所以， 又点是该正三棱柱表面上的动点，最小值为内切球半径，最大值为， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用极化恒等式将数量积表达式化简可得，再由可得结果. 6．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则 ， . 【答案】 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值1，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】因为， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时，取到最小值1， ， 则，解得. 故答案为：；. 7．(24-25高二上·辽宁大连·期末)平行六面体中，，，，则的长是 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长. 【详解】 因为， 由于在平行六面体中， 所以， 又因为，，， 所以 ， 故答案为：. 地 城 考点03 空间向量基底 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 14．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】依题意以基底表示向量即可得出结论. 【详解】由向量在基底下的坐标为可得， 又， 所以， 即可得向量在基底下的坐标是. 故选：A 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据给定的几何图形，利用空间向量的基底表示. 【详解】依题意，. 故选：D 3．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁大连·期末)在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】由平面向量的数量积计算求解即可判断选项A；空间向量的基底不共面即可判断选项B；由向量共面与直线共面的关系即可判断选项C；由直线异面与直线的方向向量的关系即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以， ，所以，故A正确； 对于B，若是空间向量的一组基底，则线性无关，故也线性无关，故可以构成空间向量的另一组基底，故B正确； 对于C，向量共面是指向量所在的直线可以平行于同一个平面，而直线共面是指直线都在同一平面上，则前者无法推出后者，故C错误； 对于D，直线异面意味着方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味着直线异面，它们可能相交，故D正确； 故选：ABD. 地 城 考点04 空间几何体的表面积和体积 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知空间四点，，，，则四面体的体积为（   ） A． B． C．15 D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据已知点坐标求平面的一个法向量，向量法求到面的距离，且为边长为的等边三角形，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】由题设为边长为的等边三角形， 且，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 则到面的距离， 所以四面体的体积为 . 故选：B    2．(24-25高二上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据题意求出母线长，然后代入圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径，所以母线长， 所以圆柱的表面积为. 故选：D 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由直线，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线， 联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为， 高为3的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同. 三、解答题 4．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)如图1，在抛物线上任选一动点，可认为其纵坐标为以为边长的正方形的面积，由此将抛物线下阴影部分的面积转化为四棱锥的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则. (1)如图3，在拟柱体中，底面为矩形，，点到底面的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体的体积； (2)已知类似于圆锥的空间几何体具有圆锥的一切对称性，且其顶点为，底面为，高为，将置于空间直角坐标系中，使其顶点与坐标原点重合，与平面平行且上任意一点坐标均可表示为.若用任一平行于平面的平面截所得的截面的面积与到平面的距离有关系：.设被平面所截得曲线为， （i）求的体积关于的表达式及在平面中的方程； （ii）在平面中，过点作两条互相垂直的弦，分别交于两点，都在第一象限内且在的右侧，分别交于两点.设的面积为的面积为，当点的横坐标时，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）的最大值为 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】从主题干中对抛物线下面积的转化，不难发现： 推广到任意几何体，都有，其中为该几何体横截面积与高所成的函数在坐标系中与轴正半轴所围成的图形面积（在定义域限制内），由此推论能够解决（1）和（2）的第一问； 对于（2）的第二问，考生首先要对“过定点”这一问题具有敏感性，能够迅速识别出直线恒过定点；其次，要善于转化面积的比值为，再利用定点转化为飘带型函数，得到极值. 【详解】（1）如图，用平行于底面的平面截拟柱体得矩形，设点到的距离为， 由相似的基本定理得矩形面积， 建立如图的平面直角坐标系， 由主题干信息得，拟柱体的体积即函数 与轴正半轴所围成的阴影部分面积，由抛物线的“三分之一” 原则：， 即拟柱体的体积； （2）（2）（i）由主题干信息得，类锥体的体积即底面的面积与轴正半轴所围成的阴影部分面积， 又与有关系， 所以； 因为具有圆锥的一切对称性， 所以其底面为圆， 得其半径， 由几何体的空间位置，可建立与得关系：， 即在平面中的方程为：； （ii） 设， 由得① 联立直线与抛物线② 由①，②得， 即（舍）或， 所以恒过定点， 改写为， 代入得， 即③ 易得，④ 所以 由③，④得， 令， 则有， 其中， 对于函数，当时，有如下图像： 所以， 所以， 即的最大值为. 【点睛】本题基于微积分基本定义的背景，以抛物线的“三分之一”原则引出推论，对不规则几何体的体积求法加以拓展，巧妙的考查了考生的理解能力，计算能力和综合运用能力. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $