专题01 立体几何建系和设点的方法（压轴题专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第一册

专题01 立体几何建系和设点 目录 典例详解 1 类型一、已知两线垂直 1 类型二、已知线面垂直 4 类型三、已知面面垂直 6 类型四、根据点的位置直接设坐标 9 类型五、根据共线或共面定理设点 11 压轴专练 14 类型一、已知两线垂直 1.建系原则 ①常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意； ②同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的； ③在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 2.题型思路 ①借助等腰三角形的中点构造垂直； ②借助特殊图形的性质构造垂直； ③利用勾股定理或余弦定理证明垂直； ④利用线面垂直的性质证明垂直。 例1．如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥． (1)当时，求四棱锥外接球的表面积． (2)当时， ①求的面积； ②求平面与平面夹角的余弦值． 变式1-1．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 变式1-2．如图，在三棱锥中，.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-3．如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 类型二、已知线面垂直 线面垂直的相关性质： ①‌垂直平面内所有直线‌ 若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②‌垂直于同一平面的直线平行‌ 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 ③‌垂直于同一直线的两平面平行‌ 若两个平面均垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行。 ④‌两平面交线垂直于另一平面（推论）‌ 若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于该平面。 例2．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 变式2-2．如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 变式2-3．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型三、已知面面垂直 . 面面垂直的性质 . 一、‌交线垂线性质‌ 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线，必垂直于另一个平面。 ‌说明‌：此性质是面面垂直的核心应用，将面面垂直转化为线面垂直。 . 二、重要推论 ‌垂线在面内性质‌ 若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。 ‌交线垂直于第三平面‌ 若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于该平面。 ‌三平面交线两两垂直‌ 若三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直。 例3．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 变式3-1．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 类型四、根据点的位置直接设坐标 常见特殊位置的点的坐标 ‌一、坐标轴上的点‌ 设点在坐标轴上，则另两个坐标分量为0： · ‌x轴‌：(x, 0, 0)，例如点(3, 0, 0) · ‌y轴‌：(0, y, 0)，例如点(0, -2, 0) · ‌z轴‌：(0, 0, z)，例如点(0, 0, 4) ‌二、坐标平面内的点‌ 设点在坐标平面内，则垂直于该平面的坐标分量为0： · ‌xOy平面‌（水平面）：(x, y, 0)，例如点(1, 2, 0) · ‌yOz平面‌：(0, y, z)，例如点(0, 3, -1) · ‌zOx平面‌：(x, 0, z)，例如点(4, 0, 5) ‌三、对称点坐标‌ 点P(x, y, z)的对称点坐标规则： . ‌关于原点对称‌：(-x, -y, -z) . ‌关于坐标轴对称‌： 3. x轴对称：(x, -y, -z) 3. y轴对称：(-x, y, -z) 3. z轴对称：(-x, -y, z) . ‌关于坐标平面对称‌： · xOy平面对称：(x, y, -z) · yOz平面对称：(-x, y, z) · zOx平面对称：(x, -y, z) 例4．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 变式4-1．图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 变式4-2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 类型五、根据共线或共面定理设点 常见几何体的点、棱、面关系 一、‌共线向量定理设点法‌ ‌定理‌：若向量 与   共线，则存在唯一实数 k 使得   =k 。 ‌设点方法‌（三点共线问题）： ‌参数化坐标‌： 设点 P在直线 AB上，则存在实数 t满足： 坐标形式：若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)，则 P 的坐标为： . P(x1+t(x2−x1), y1+t(y2−y1), z1+t(z2−z1)) ‌关键‌：参数 t控制点 P 的位置（如 t=0时为 A，t=1时为 B) 二、‌共面向量定理设点法‌ ‌定理‌：若向量  与不共线的 ,  共面，则存在实数 x,y 使得  =x+y，且 x+y=1 时点共面。 ‌设点方法： ‌基底分解式‌： 设点 P 在平面 ABC 内，存在实数 x,y 满足： . =m+n+(1−m−n) 坐标形式：若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3)，则 PP 的坐标为： . P(mx1+nx2+(1−m−n)x3, my1+ny2+(1−m−n)y3, mz1+nz2+(1−m−n)z3) ‌关键‌：参数 x,y 需满足 x+y≤1（保证在平面内而非空间外）。 例5．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 变式5-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 变式5-2．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 变式5-3．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 1．在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 4．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 5．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． (1)若，证明：平面； (2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 7．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 8．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 9．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足 平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 10．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 11．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 12．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 13．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 14．如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； (2)是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 立体几何建系和设点 目录 典例详解 1 类型一、已知两线垂直 1 类型二、已知线面垂直 4 类型三、已知面面垂直 6 类型四、根据点的位置直接设坐标 9 类型五、根据共线或共面定理设点 11 压轴专练 14 类型一、已知两线垂直 1.建系原则 ①常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意； ②同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的； ③在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 2.题型思路 ①借助等腰三角形的中点构造垂直； ②借助特殊图形的性质构造垂直； ③利用勾股定理或余弦定理证明垂直； ④利用线面垂直的性质证明垂直。 例1．如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥． (1)当时，求四棱锥外接球的表面积． (2)当时， ①求的面积； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，设四棱锥外接球的球心，半径为，利用，解得，代入球的表面积公式即可的解． （2）①结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，利用向量法求得，利用同角三角函数基本关系求得，利用模的坐标运算得，代入三角形面积公式求解即可； ②分别求出平面FAD与平面FAC的法向量，利用向量法求出平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，垂直于ABCD为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，则，， 因为，所以，解得， 又，所以， 又，所以， 解得，则， 设四棱锥外接球的球心，半径为， 则，解得， 所以四棱锥外接球的表面积为． （2）①由（1）知，，， 则，解得, 又，， 因为， 所以，所以，即， 所以，，则， 所以， 所以， 所以的面积为； ②设平面的法向量为，，， 则，即，令，则． 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则． 所以，故平面与平面夹角的余弦值为． 变式1-1．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 变式1-2．如图，在三棱锥中，.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理得出平面，再分别求出平面与平面的法向量，最后应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）证明：因为， 所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，则易得. 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意易得，则.    设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 变式1-3．如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）在平面内，过点作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论； （2）求出以及平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）在平面内，过点作， 由题知，， 所以， 所以. 因为底面，且在平面内， 所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 设，因为，所以 所以，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，所以，又因为平面. 所以 平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，所以， 设直线与平面所成角为， 又， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 类型二、已知线面垂直 线面垂直的相关性质： ①‌垂直平面内所有直线‌ 若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②‌垂直于同一平面的直线平行‌ 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 ③‌垂直于同一直线的两平面平行‌ 若两个平面均垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行。 ④‌两平面交线垂直于另一平面（推论）‌ 若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于该平面。 例2．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 变式2-2．如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 所以，所以平面． （2）由（1）可知平面ABD，平面ABD，所以． 又因为，，所以． 以O为坐标原点，分别以OA、OC、OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设正的边长为2，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为． 则， 不妨令，则，，得平面的法向量为． 设平面的法向量， 则，不妨令，则，， 得平面的法向量为， 所以． 变式2-3．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 类型三、已知面面垂直 . 面面垂直的性质 . 一、‌交线垂线性质‌ 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线，必垂直于另一个平面。 ‌说明‌：此性质是面面垂直的核心应用，将面面垂直转化为线面垂直。 . 二、重要推论 ‌垂线在面内性质‌ 若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。 ‌交线垂直于第三平面‌ 若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于该平面。 ‌三平面交线两两垂直‌ 若三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直。 例3．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证； （2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 变式3-1．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用两次线面平行判定定理可得出平面平面，进而得出平面； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系求出平面的法向量，最后应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线和平面所成角为 故所求为. 变式3-2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）法一：根据面面角定义作图，在中，由余弦定理计算即可；法二，建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）连结交于点，连， ∵底面是正方形，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）法一：作交于，作交于，连， ∵平面平面，平面平面， ∴平面 ∵平面， ∴ 又∵，， ∴平面， ∴， ∴为二面角的平面角， 不妨设，则, ，， ，， ∴， ∴二面角的余弦值为 法二：取的中点为，的中点为，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵侧面底面，侧面底面， ∴底面， ∵底面， ∴，， ∴，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则由已知得，，， 在平面中，，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则为平面的一个法向量． 又∵平面的一个法向量 设二面角平面角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明转化为证明向量即可； （2）由（1）求出平面的法向量，然后由点到平面距离的向量求法求解即可； （3）由线面所成角的向量求法求解即可. 【详解】（1）证明： 连接，因为是正三角形，且是的中点，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取中点，因为四边形是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， 可得，， 则， 所以. （2）由（1）可得：，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 故点D到平面的距离. （3）由（1）知，又点Q为线段靠近C的三等分点， 所以，， 又平面的法向量. 故 类型四、根据点的位置直接设坐标 常见特殊位置的点的坐标 ‌一、坐标轴上的点‌ 设点在坐标轴上，则另两个坐标分量为0： · ‌x轴‌：(x, 0, 0)，例如点(3, 0, 0) · ‌y轴‌：(0, y, 0)，例如点(0, -2, 0) · ‌z轴‌：(0, 0, z)，例如点(0, 0, 4) ‌二、坐标平面内的点‌ 设点在坐标平面内，则垂直于该平面的坐标分量为0： · ‌xOy平面‌（水平面）：(x, y, 0)，例如点(1, 2, 0) · ‌yOz平面‌：(0, y, z)，例如点(0, 3, -1) · ‌zOx平面‌：(x, 0, z)，例如点(4, 0, 5) ‌三、对称点坐标‌ 点P(x, y, z)的对称点坐标规则： . ‌关于原点对称‌：(-x, -y, -z) . ‌关于坐标轴对称‌： 3. x轴对称：(x, -y, -z) 3. y轴对称：(-x, y, -z) 3. z轴对称：(-x, -y, z) . ‌关于坐标平面对称‌： · xOy平面对称：(x, y, -z) · yOz平面对称：(-x, y, z) · zOx平面对称：(x, -y, z) 例4．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析，体积为或 【分析】（1）根据三线合一得到，又，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，所以，所以，所以平面BDN； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，，求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出或，从而求出P到平面ABCD的距离，求出锥体体积. 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，M为边AD的中点，所以， 又因为，，所以． 又因为，平面，故平面MPQ． （2）连接MC，交BD于点E，连接NE． 因为，，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面BDN，平面BDN，所以平面BDN． （3）存在点P，使得二面角的正弦值为，理由如下： 取BC中点F，连接MF，则， 过M作平面ABCD，建立如图所示的直角坐标系． 为等边三角形，边长为2，故， ，，，设，， ， ，，． 设平面MPB的法向量为， 则，即， 取，则， 取， 设平面面MPC的一个法向量为， ， 令，则，， 平面MPC的一个法向量为， 设二面角为，则， 又因为，所以． 所以，解得或， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时． 变式4-1．图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 变式4-2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）先求证，接着由题设结合线面垂直判定定理求证平面，进而得，再由直三棱柱性质得，进而由线面垂直判定定理即可求证平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，设，，求出平面的一个法向量为和平面的一个法向量为， 再由求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 类型五、根据共线或共面定理设点 常见几何体的点、棱、面关系 一、‌共线向量定理设点法‌ ‌定理‌：若向量 与   共线，则存在唯一实数 k 使得   =k 。 ‌设点方法‌（三点共线问题）： ‌参数化坐标‌： 设点 P在直线 AB上，则存在实数 t满足： 坐标形式：若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)，则 P 的坐标为： . P(x1+t(x2−x1), y1+t(y2−y1), z1+t(z2−z1)) ‌关键‌：参数 t控制点 P 的位置（如 t=0时为 A，t=1时为 B) 二、‌共面向量定理设点法‌ ‌定理‌：若向量  与不共线的 ,  共面，则存在实数 x,y 使得  =x+y，且 x+y=1 时点共面。 ‌设点方法： ‌基底分解式‌： 设点 P 在平面 ABC 内，存在实数 x,y 满足： . =m+n+(1−m−n) 坐标形式：若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3)，则 PP 的坐标为： . P(mx1+nx2+(1−m−n)x3, my1+ny2+(1−m−n)y3, mz1+nz2+(1−m−n)z3) ‌关键‌：参数 x,y 需满足 x+y≤1（保证在平面内而非空间外）。 例5．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果； （2）设， 利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度． 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 变式5-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 变式5-2．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 变式5-3．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ， ， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离 ， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 1．在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，先证明平面，再结合线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形为正方形， 所以为的中点，又为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，且平面， 所以. （2）在正方形中，， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又，，所以， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，为线段的中点， 所以， 则， 设，，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 由平面平面，则，解得，即， 所以在线段上存在一点，使得平面平面，且. 2．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由条件，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. （2）假设存在一点，使得，由的计算结果即可判断 【详解】（1） 取中点,中点，连接,,, ,, 平面平面,平面平面,平面, 平面, ，，，, ,，,则,可得,, ,,又,, 以为原点,,,所在直线为轴建立空间直角坐标系, 则，，， , 由图易得平面的一个法向量, 为的中点.， 则,, 设平面的法向量， ，即， 故可取， , 平面与平面夹角的余弦值为. （2）设在棱上存在一点，使得, ,, , ,, ， 解得， 故在棱上不存在点，使得. 3．如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 4．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【分析】（1）通过证明平面可完成证明； （2）（I）在平面内作于，连接，由面面垂性质可得平面， 据此可得，，即可得体积； （II）方法1，以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 假设在侧面内存在点，设，由平面，可得点N坐标，然后由向量知识可得答案； 方法2，由题可得点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，由（I） 可得，然后由图及勾股定理可得答案. 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 5．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）取棱的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 6．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． (1)若，证明：平面； (2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为CD的中点 【分析】（1）取线段的中点P，连接PM，PD，利用已知可证四边形MNDP为平行四边形，进而可得，可证结论； （2）在平面中，作于O，可证，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面BMN的一个法向量为，利用向量法可求得，可得结论. 【详解】（1）取线段的中点P，连接PM，PD， 因为MP为梯形的中位线，所以， 又因为，所以， 因为，，且，所以，， 所以四边形MNDP为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，作于O， 因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD， 在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则， 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为等腰梯形，，，所以， 又因为，所以， 则，，，，，设，，所以， 设平面的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为M为的中点， 所以，所以，， 设平面BMN的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为平面与平面MNB夹角的余弦值为， 所以，整理得， 所以，解得或， 又因为，所以， 所以存在，点N为CD的中点． 7．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)选条件②，证明见解析； (2)存在，或. 【分析】（1）取AB中点O，连接，先假设，则有，进而得到条件②能使，从而选条件②，再由先出垂直判定定理结合线面垂直定义即可得证； （2）以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用求出参数y即可得解. 【详解】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 8．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 9．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足 平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）四边形为菱形，所以，由线面垂直得到，从而得到平面，，结合，证明出结论； （2）证明出，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，设，根据线面角的大小，得到方程，求出或.所以线段上存在点，或. 【详解】（1）证明：因为 且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以 设平面的法向量为，则 令，得，所以. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 10．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在，. 【分析】（1）取的中点，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得结论； （3）假设线段上存在点，使得平面，求直线的方向向量和平面的法向量，由假设可得两向量垂直，列方程求出的坐标，由此可得结论. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以中，，. 底面中，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）取的中点，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，， 因为，， 所以，所以， 所以两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）设线段上是存在点，使得平面，， 设平面的法向量为， 又，， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面， 所以，又， 所以， 所以， 所以存在点，使得平面，此时. 11．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接PO，进而说明，从而得到底面，得到，即可求证； （2）先说明直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角，再由（1）建系，利用线面角的向量法公式即可求解； （3）记，，结合向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】（1）记，连接PO， 因为底面ABCD是边长为的正方形， 所以. 因为，所以. 因为平面底面ABCD，且平面底面平面PAC， 所以底面 因为底面，所以，所以. （2）易知，又因为平面，所以平面PAB， 又因为平面PCD，平面平面，所以，所以直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角 由（1）知，可以为坐标原点建系如图所示， 由（1），， ，三角形为直角三角形，所以. 则， ， 所以 设平面DMN的法向量为， 因为，所以 令，可得.所以 设直线CD与平面DMN所成角为，则， （3）记，可得，所以. 由可得，解得， 所以. 记，可得， 所以，若，则，解得，所以， 故在线段BC上存在一点，使得，此时. 12．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； 解法二：延长、，设，连接，分析可知，为平面与平面夹角，计算出、的长，即可求得的余弦值，即为所求； （2）解法一：假设存在满足条件的点，设，根据空间向量法得出，求出的值，即可得出结论； 解法二：当时，平面，连接，取为的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论. 【详解】（1）解法一：因为在直四棱柱中，底面是边长为的正方形， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则， 易知是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 解法二：延长、，设，连接， 过在平面内作的垂线，垂足为，连接. 因为平面，平面，则， 又因为，、平面，， 所以，平面， 因为平面，所以，， 所以为平面与平面的夹角. 因为，所以，则，则为的中点， 所以，， 在中， ， 因为， 所以， 因为平面，平面，则， 则， 所以，， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）解法一：由（1）可得、，， 假设存在满足条件的点，设，所以， 因为平面，所以，解得. 故当时，平面. 解法二：当时，平面. 证明过程如下：连接，取为的中点，连接、. 因为为的中点，所以为梯形的中位线， 即，且， 因为，且，所以，， 所以为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 13．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取为中点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明结论； （2）由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）假设存在点满足条件，且，，求平面平面的法向量，结合假设列方程求可得结论. 【详解】（1）取为中点，连接，，又为的中点. ∴，又， 故， 又为等腰直角三角形，， ∴， 又，平面， 则平面，又平面， ∴.    （2）因为平面平面，平面平面， 由（1），又平面， 所以平面， 以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，   ， 则， ， ， 若为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）假设存在使得平面平面，且，， 由（2）知： ，， 则， ， 若是平面的一个法向量， 则， ， 令，  则，， 所以为平面的一个法向量，， 所以 ， 所以 存在使得平面平面，此时. 14．如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； (2)是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据直线与平面平行，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为的中点，可得，， 可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （2）因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 若直线与平面平行，可得，即可得， 解得，所以， 即存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为. 15．如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据已知易得，再由面面垂直的性质证平面BCDE，最后应用线面垂直的性质证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角即可； （3）设，，进而得到，证明平面得该面的法向量，通过的坐标表示列方程求参数，判断存在性. 【详解】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$