精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年下学期九年级期中检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘法运算法则，整式的减法运算法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法计算即可解答． 【详解】A、，该选项不符合题意． B、，该选项符合题意． C、，该选项不符合题意． D、，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，整式的减法运算，完全平方公式以及同底数幂的乘法． 4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数的概念，中位数：先将一列数排序，取中间的数．若这列数的个数是偶数，则取中间两个数和的一半，若这列数的个数是奇数，则中间的数就是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．根据众数、中位数的概念解答即可． 【详解】解：这7个数据中出现次数最多的数据是5， 这组数据的众数是5． 数据排序为：3，3，4，5， 5，5， 6， ∴这组数据位于中间的数据为5， 这组数据的中位数为5． 故选：D． 5. 二次函数的图象与轴的交点的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断与x轴的交点个数即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴的交点个数取决于方程的实数根个数， ∴计算判别式，其中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴图象与x轴有2个交点． 故选：C． 6. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 7. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 圆内接四边形对角互补 C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论逐项判断即可得． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，则此项错误，不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，则此项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则此项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 9. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 10. 如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式，能根据纬度求出和两点对应的圆心角的度数是解题的关键． 由位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，得出它们的圆心角是，再根据弧长公式计算劣弧的长度即可． 【详解】解：∵位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上， ∴， ∴点和点之间的劣弧长为：． 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： _________． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，分解因式即可． 本题考查了因式分解，正确选择分解方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案：． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，从而建立不等式求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据： 投掷次数 100 500 1000 5000 10000 相交次数 28 138 273 1354 2698 相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为_____．（精确到0.01） 【答案】0.27 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近， 因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27， 故答案为：0.27． 14. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 _______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 由旋转性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解： ， 将绕点旋转到的位置 ，， ， 故答案为： 16. 孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方与加减，掌握知识点是解题的关键． 先计算算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，最后进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；5 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，包括平方差公式以及单项式乘多项式的运算，正确化简并运算是解决本题的关键． 先使用平方差公式化简，再进行同类项的合并，将代回求值即可． 【详解】解：， ， ∵， 上式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是_____． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析；. 【解析】 【分析】本题考查了作图----旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答的关键. （1）根据中心对称的性质作出各顶点关于原点的中心对称点，顺次连接各顶点即可求解； （2）根据旋转性质作出各顶点顺时针旋转后各对应点，顺次连接各顶点即可求解. 【小问1详解】 解：如图，即为所求 【小问2详解】 解：如图，即为所求，. 故答案为：. 20. 作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形统计图，圆心角，画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）用A的人数除以A的百分比，即可解答； （2）求出C的人数，即可补全条形图； （3）求出C所占总数的百分比，再乘以即可； （4）画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中一男一女的情况有8种，即可解答． 【小问1详解】 解：（人）． 故答案为：50． 【小问2详解】 （人）， ∴等级C有8人， 补全条形统计图如图 【小问3详解】 ． 答：扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角为． 【小问4详解】 画树状图，如图 共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有8种， ∴所选2名学生恰好是1男1女的概率为． 21. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，应用勾股定理解三角形． （1）利用矩形性质可得，，进而可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）过点作于点，构造，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：过点E作于点H，如图所示， ， 四边形是矩形，，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得． 22. 2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． （1）每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ （2）该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】（1）甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 （2）10台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． 小问2详解】 设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 24. 我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）过定点，定点为 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，难度较大，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性得到，，即，，据此即可求解，然后将代入，即可求解； （2）设上至少存在一对“互换点”，，则，可求得，，则，，再分别求出直线与坐标轴的交点，即可求解四边形的面积； （3）设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，，则，由①②得，由（2）得，设直线，根据直线过点，求出，则直线，将代入得，，则，那么，即可求解过定点． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”， ∴， ∴， 将代入，则， 解得， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设上至少存在一对“互换点”，， 则， 得： ∵， ∴， 同理可求：， ∴，， 令，则， 解得， 令，则 ∴，， 同理，， 可画示意图为： ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：过定点，定点为，理由如下： 由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，， ∴， 由①②得：， ∵， ∴， 由（2）得， ∴设直线， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线， 将代入得，， 由得，， ∴， ∴ ， 当时，解得，（舍）， ∴过定点． 25. 如图1，半径为4的中，点是上的一个动点，，点是弦的中点，点是弦的中点，连接． （1）求的长； （2）记的内心为，外心为，求，两点间的距离； （3）如图2，连接，，分别记，的面积为，，当时，求弦的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，结合垂径定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得解； （2）过点作于点，连接、，作于，于，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内心的性质可得平分，平分，点在上，由角平分线的性质定理可得，由三角形的面积公式计算得出，延长交于点，连接，，则，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上，由垂径定理可得垂直平分，即可得出点为的外心，求出，即可得解； （3）过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点，四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由（1）可得是的中位线，，得出，由平行线分线段成比例定理以及平行线的性质可得，，从而得出四边形、均为矩形，进而可得，求出，结合完全平方公式得出，由三角形面积公式计算可得，从而可得，连接，由勾股定理可得，再分两种情况：当时，；当时，，分别结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点是弦的中点，点是弦的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，连接、，作于，于， ， ∵，，， ∴， ∵记的内心为， ∴平分，平分，点在上， ∴由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 延长交于点，连接，， ∵，， ∴，均为等边三角形， ∴由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上， ∵由垂径定理可得垂直平分， ∴点为的外心， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可得是的中位线，， ∴， ∴，， ∴，四边形、均为矩形， ∴， ∵记，的面积为，， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的内心、三角形的外心等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级期中检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 5. 二次函数的图象与轴的交点的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 圆内接四边形对角互补 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 9. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）千米 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： _________． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 13. 1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据： 投掷次数 100 500 1000 5000 10000 相交次数 28 138 273 1354 2698 相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为_____．（精确到0.01） 14. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 _______． 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则_____． 16. 孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是_____． 20. 作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 21. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． （1）每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ （2）该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 24. 我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 25. 如图1，半径为4中，点是上的一个动点，，点是弦的中点，点是弦的中点，连接． （1）求的长； （2）记的内心为，外心为，求，两点间的距离； （3）如图2，连接，，分别记，的面积为，，当时，求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $