专题02 直线与圆 4大高频考点（期末真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题02 直线与圆 4大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．（22-23高二上·山东威海·期末）经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（22-23高二上·山东滨州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东聊城·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 4．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 5．（23-24高二上·山东济南·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线在x轴上的截距为（    ）． A． B． C． D．2 7．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25高二上·山东滨州·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 11．（24-25高二上·山东青岛·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·山东德州·期末）已知直线，且，则实数a的值为（    ） A．5 B．1 C．5或 D． 13．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 15．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 16．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 18．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·山东东营·期末）已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 二、多选题 22．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 23．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 24．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线l：，则（    ） A．l不过第二象限 B．l在y轴上的截距为1 C．不存在k使l与直线平行 D．存在k使l被圆截得的线段长为2 25．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 26．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 27．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（    ） A．直线与直线的斜率相等 B． C． D． 28．（24-25高二上·山东泰安·期末）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 三、填空题 29．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知直线与直线垂直，则实数a的值为 ． 30．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则 . 四、解答题 31．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上． (1)若为直角三角形，求边所在直线的方程； (2)若为的中点，求边所在直线的方程． 32．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 地 城 考点02 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 4．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，若点P满足，则点P到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·山东德州·期末）已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点 ，点 满足 ，设点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．在 上存在点 ，使得 C．在 上不存在点 ，使得 D． 上的点到直线 的最小距离 11．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 ． 15．（23-24高二上·山东临沂·期末）的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为 . 16．（22-23高二上·山东威海·期末）已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为 ． 四、解答题 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 18．（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 19．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 20．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知圆M过点，，． (1)求圆M的标准方程； (2)若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且，求直线l的方程． 21．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 22．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 23．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 24．（22-23高二上·山东威海·期末）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）． (1)求证：线段MN为圆A的直径； (2)若圆A过点，求圆A的方程． 25．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆的圆心为，且与轴相切. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，从条件①；②中选择一个作为已知，求的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 26．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（    ） A． B． C．-2 D． 2．（23-24高二上·山东·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23高二上·山东德州·期末）已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 7．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 9．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．圆与圆有两条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 10．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线l：，则（    ） A．l不过第二象限 B．l在y轴上的截距为1 C．不存在k使l与直线平行 D．存在k使l被圆截得的线段长为2 三、填空题 11．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为 . 12．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为 . 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 14．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 . 15．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 17．（23-24高二上·山东威海·期末）已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的一个取值为 . 18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 19．（23-24高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为 . 20．（23-24高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于两点，若，则的值为 . 四、解答题 21．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 22．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 23．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 24．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 25．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 26．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 27．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 28．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 29．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 30．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆的圆心为，且与轴相切. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，从条件①；②中选择一个作为已知，求的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 31．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 32．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·山东潍坊·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 6．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点 ，点 满足 ，设点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．在 上存在点 ，使得 C．在 上不存在点 ，使得 D． 上的点到直线 的最小距离 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列四个命题正确的是（    ） A．直线的一个方向向量是 B．设直线过点，则这条直线的方程可以写成 C．直线与圆相交 D．圆与圆恰有三条公切线 三、填空题 9．（22-23高二上·山东威海·期末）已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 11．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆 4大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．（22-23高二上·山东威海·期末）经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由斜率公式可得， 故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 故选：B. 2．（22-23高二上·山东滨州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为. 故选：A. 3．（22-23高二上·山东聊城·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与轴垂直即可求得答案 【详解】因为直线与轴垂直， 故直线的倾斜角为 故选：C 4．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 5．（23-24高二上·山东济南·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为1，故倾斜角为. 故选：B 6．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线在x轴上的截距为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】直接利用定义求解截距即可. 【详解】令，解得，显然截距是. 故选：B 7．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据直线的斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则， 解得，即直线l的倾斜角为. 故选：A 8．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于直线与平行， 故，解得， 故选：D. 9．（24-25高二上·山东滨州·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程再将点，即可求得结果. 【详解】过点且与直线平行的直线的方程设为：， 再将点代入得，解得：，故直线方程为：. 故选：C 10．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一般式中两直线平行的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线，且， 所以，解得.经检验成立. 故选：B 11．（24-25高二上·山东青岛·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求直线的斜率，再求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率为1，即， 又，所以直线的倾斜角为. 故选：C 12．（22-23高二上·山东德州·期末）已知直线，且，则实数a的值为（    ） A．5 B．1 C．5或 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答. 【详解】直线，，由解得或， 当时，直线与重合，不符合题意， 当时，直线与平行， 所以实数a的值为. 故选：D 13．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 14．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】在直线上取点，求点到直线的距离即可. 【详解】在直线上取点， 则与之间的距离即为点到直线的距离， 即为. 故选：A. 15．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 先利用平行求出，再利用斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为，所以且，所以. 两直线的斜率为，所以倾斜角为. 故选：C. 16．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 17．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 【答案】D 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，直线 的纵截距为，故D正确. 故选： D. 18．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 19．（24-25高二上·山东东营·期末）已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】由是直线的一个法向量，可知直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：C 20．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 21．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 二、多选题 22．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 23．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 【答案】ACD 【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C． 【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确； 关于的对称点坐标为，B错； 到直线的距离为，C正确； 与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确． 故选：ACD． 24．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线l：，则（    ） A．l不过第二象限 B．l在y轴上的截距为1 C．不存在k使l与直线平行 D．存在k使l被圆截得的线段长为2 【答案】AC 【分析】取得出恒成立，从而判断A；由得出截距，从而判断B；由反证法判断C；由距离公式判断D. 【详解】对于A：当时，恒成立，即l不过第二象限，故A正确； 对于B：令，即l在y轴上的截距为，故B错误； 对于C：若直线和平行，则，且，与矛盾， 即不存在k使l与直线平行，故C正确； 对于D：若l被圆截得的线段长为2，则直线到圆心的距离为，但是圆心到直线的距离，即不存在k使l被圆截得的线段长为2，故D错误； 故选：AC 25．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 【答案】AC 【分析】结合直线的倾斜角与斜率，过定点问题依次判断即可. 【详解】解：对于A项，直线，则直线l恒过点，故A项正确； 对于B项，直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为， 得，故B项错误； 对于C项，由A项知，直线l恒过点， 则原点到直线l距离的最大值即为原点到点的距离，即，故C项正确； 对于D项，当时，直线不经过第四象限，故D项错误. 故选：AC 26．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得. 【详解】选项A，存在斜率， 直线方程可化为：， 直线也存在斜率，方程可化为， 由，则两直线平行的充要条件为， 即解得或，故A错误； 选项B，由直线的斜率， 则倾斜角的范围为，故B正确； 选项C，当时，直线，斜率为， 又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确； 选项D，，令，得， 故直线过定点，不过，D错误. 故选：BC. 27．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（    ） A．直线与直线的斜率相等 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等差数列通项的性质与前项和公式，验证各选项的结论. 【详解】设等差数列的公差为，是互不相同的正整数，且， 则有，， 直线的斜率，直线的斜率，A选项正确； ， ， 已知条件中不能得到，B选项错误； ，， ，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD 28．（24-25高二上·山东泰安·期末）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 【答案】BD 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点关于直线的对称点为， 由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上， 所以，，解得， 所以，点关于直线的对称点为，B对； 对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 所以，，解得，此时，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对. 故选：BD. 三、填空题 29．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知直线与直线垂直，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得或. 故答案为：或. 30．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则 . 【答案】或 【分析】根据两直线平行可得，注意检验两直线是否重合. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，直线，，符合题意， 当时，，，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题 31．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上． (1)若为直角三角形，求边所在直线的方程； (2)若为的中点，求边所在直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断角不是直角，在分别讨论角或角为直角的情况，利用题意求解即可 （2）由题意可设，再利用条件求出参数，然后求出边所在直线的斜率，最后利用公式求解直线方程即可. 【详解】（1）由的边所在直线的方程分别为，, 可知角不是直角， 若角是直角，由点在边上， 得边所在直线的方程为； 若角是直角，由边所在直线的方程为， 得边所在直线的斜率为，又点在边上， 所以边所在直线的方程为，即． （2）由题意可设，由为的中点，得， 将点的坐标代入边所在直线的方程， 得， 所以，解得，所以， 得边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为， 即． 32．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. （2）设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 地 城 考点02 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出公共弦所在的直线方程，进而求出弦长最长时的值. 【详解】圆的圆心，半径， 显然原点在圆内，又在圆内， 因此两圆必相交，直线方程为，而弦最大值为6， 即为圆的直径，此时直线过点， 则，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】分析可知线段AB的关于x轴对称，，利用等面积法运算求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为为，半径，    可知圆与圆均关于x轴对称，则线段AB的关于x轴对称， 若两圆在点处的切线互相垂直，则， 可得， 由的面积可得， 即，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质可得直线所过定点，利用圆上点到定点的距离最大值，可得答案. 【详解】因为是、的等差中项，则，整理可得，则， 直线的方程可化为， 由可得，所以，直线过定点， 由圆，则圆心为，半径为， 当时，圆心到直线的距离取最大值， 圆心到直线所过定点的距离为， 圆上任意一点到直线的距离最大值为. 故选：C. 5．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 6．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，若点P满足，则点P到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用向量数量积的坐标表示化简，即可得到点的轨迹方程，求出圆心到直线的距离，利用圆的性质可知，点到直线的距离的最小值为． 【详解】设点， 则，， 所以， 整理可得， 故点的轨迹方程为， 将变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 由圆的性质可得，点到直线的距离的最小值为． 故选：． 7．（22-23高二上·山东德州·期末）已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化为，由此可得最小值. 【详解】由得：，整理可得：， 则可令，，， （其中）， 则当时，. 故选：D. 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得圆的标准方程，进而求得圆心和半径. 【详解】圆， 即， 所以圆心为，半径为. 故选：A 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得关于直线的对称点，根据点和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得， 圆的圆心为，半径， 所以“将军饮马”的最短路程为. 故选：D 二、多选题 10．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点 ，点 满足 ，设点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．在 上存在点 ，使得 C．在 上不存在点 ，使得 D． 上的点到直线 的最小距离 【答案】ABC 【分析】设，根据求出曲线的方程可判断A；利用两圆的位置关系判断B；根据方程的判别式符号判断C；根据点到直线的距离公式，结合圆的几何性质可判断D. 【详解】已知 ，点 满足 ， 设，则，整理得，即，故A正确； 的圆心为半径为4，因为，所以D在以原点为圆心以3为半径的圆O上， 因为，所以圆O与圆C相交，所以在曲线C上存在点D，使得，故B正确； 设，由得， 即①，假设 上存在点符合题意， 则②， ①-②可得，代入①可得，方程无解，假设不成立，即在C上不存在点M，使得，故C正确； C的圆心到直线的距离，所以C上的点到直线的最小距离为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛，求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③逆代法，将代入. 11．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 【答案】ABD 【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出时对应弦长判断C；求出点关于直线的对称点到圆心距离判断D. 【详解】圆：的圆心，半径 对于A，在直线上取点，，点在圆外， 以点为圆心，为半径的圆与圆相内切，A正确； 对于B，四边形面积， 点到直线的距离，则，， 当且仅当时取等号，B正确；    对于C，当时，，由，得， 解得，C错误； 对于D，点到直线的距离为，点与点的距离为5， 点与圆心确定的直线斜率为，而直线的斜率为， 即点与确定的直线垂直于，因此点关于的对称点到点的距离为， 则点关于的对称点在内，D正确. 故选：ABD 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】建立平面直角坐标系，分析求出轨迹方程即可. 【详解】对于A，，显然的轨迹是线段，故A错误； 以中点为原点，建立平面直角坐标系，设,，设， 则，， 对于B，已知，则，所以，点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，由两点间距离公式得，， 代入中化简得，即， 故的轨迹是圆，故C正确； 对于D，代入中化简得，显然的轨迹是一个点，故D错误. 故选：BC 三、填空题 14．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧； 【详解】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系 ， 易知平面 的一个法向量为 ， 设 ， 当直线 与平面 所成的角为时， ， 所以 ， 则点 的轨迹是以 为球心，为半径的球， 为侧面 内的一个动点， 则点 的轨迹在侧面 内是以 为圆心，为半径的劣弧， 设轨迹分别交 于点 ， ， 可得 ， 则 ，则 ， 劣弧 的长为 ， 故答案为： 15．（23-24高二上·山东临沂·期末）的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为 . 【答案】 【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】由于，所以是外接圆的直径， 所以圆心为，半径为， 所以外接圆的方程为. 故答案为： 16．（22-23高二上·山东威海·期末）已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：设， 因为点满足， 所以，，整理得， 所以，点在圆上， 因为，点也在圆上 所以，圆与圆有公共点， 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，，解得， 所以，的取值范围为 故答案为： 四、解答题 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 18．（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【详解】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 19．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得两点坐标，然后根据确定所求圆的圆心为原点，半径为2，从而求出圆的方程即可； （2）联立双曲线与圆的方程求得点的坐标，利用切线性质求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线，得左焦点， 又直线与双曲线的两条渐近线交于两点， 将代入，得，所以两点得坐标分别为， 所以，则过点的圆的方程为. （2）由（1）得圆的方程为.解方程组得切点， 所以，又过点的圆的切线的斜率，得， 所以过点的圆的切线方程为，即. 20．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知圆M过点，，． (1)求圆M的标准方程； (2)若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由弦AB和BC的中垂线交点得圆心坐标，再求半径，可得圆的方程； （2）由弦心距公式可解. 【详解】（1）因为AB的中点为，AB的斜率为1， 所以AB的垂直平分线为，即． 又BC的垂直平分线为y＝0， 联立，得，所以圆心M的坐标为． 所以圆的半径为， 所以圆M的标准方程为． （2）显然直线l的斜率存在，设其方程为． 设圆心到直线l的距离为d，则， 则，解得， 所以直线l的方程为，即． 21．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，利用，解得，再计算半径即可; （2）找出点关于轴的对称点为，设反射后光线所在直线为，利用直线与圆相切，求出或，写出直线方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或. 22．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 23．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）依据圆心位置及与轴相切，利用弦长列方程即可解得圆心的坐标为； （2）利用直线和圆相切，以及两圆外切列方程即可求得不存在符合题目要求的圆. 【详解】（1）根据题意可设圆心，半径为； 由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：    由勾股定理可得，解得， 此时圆心，半径为2，圆的方程为； 所以圆心的坐标为； （2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：    因为圆心在直线上，所以； 若圆与直线相切可得， 若圆与圆相外切，则， 即，可得， 该方程，所以该方程无解， 故不存在满足题意的圆. 24．（22-23高二上·山东威海·期末）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）． (1)求证：线段MN为圆A的直径； (2)若圆A过点，求圆A的方程． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）依题意可设直线l的方程为，，，联立抛物线C的方程整理可得，进而可得到，，，，代入求得，即可得到结论； （2）结合（1）先设圆A的圆心为，再求得，，根据，即可求得，进而可求得圆心和半径的平方，即可得到圆A的方程． 【详解】（1）依题意可设直线l的方程为，，， 联立，消整理得， 则，，，， 则，即， 所以线段MN为圆A的直径； （2）结合（1）可设圆A的圆心为， 则， ， 又，解得， 所以圆半径的平方为，圆心为， 故圆A的方程． 25．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆的圆心为，且与轴相切. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，从条件①；②中选择一个作为已知，求的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得圆的半径，即可得解； （2）选①，利用余弦定理求得，从而可得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 选②，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，且与轴相切， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； （2）选①， 因为，， 所以， 所以圆心到直线的距离， 即，解得. 选②， 因为， 所以圆心到直线的距离， 即，解得. 26．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答. （2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答. 【详解】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得， 所以C的方程为． （2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为， 由消去y得，则，有，，即， 因此线段AB的中垂线方程为，即， 令，得，设所求圆的圆心为E，则， 又AB过C的焦点F，则有， 设所求圆的半径为r，则， 故所求圆的方程为． 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（    ） A． B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相离或相切可求的最小值 . 【详解】因为过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上， 也即直线与圆相离或相切， 则，即，解得， 故的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二上·山东·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 直线交轴于点，当直线与垂直时， 此时，，原点到直线的距离取最大值，即， 因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得. 故选：C. 3．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可. 【详解】因为为正三角形，且均与圆相切，故， ，由四边形内角和为可得. 又圆，圆心为，半径为. 故到直线的距离为. 故，解得或（舍）. 故选：C 5．（22-23高二上·山东德州·期末）已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化为，由此可得最小值. 【详解】由得：，整理可得：， 则可令，，， （其中）， 则当时，. 故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 【答案】ABD 【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出时对应弦长判断C；求出点关于直线的对称点到圆心距离判断D. 【详解】圆：的圆心，半径 对于A，在直线上取点，，点在圆外， 以点为圆心，为半径的圆与圆相内切，A正确； 对于B，四边形面积， 点到直线的距离，则，， 当且仅当时取等号，B正确；    对于C，当时，，由，得， 解得，C错误； 对于D，点到直线的距离为，点与点的距离为5， 点与圆心确定的直线斜率为，而直线的斜率为， 即点与确定的直线垂直于，因此点关于的对称点到点的距离为， 则点关于的对称点在内，D正确. 故选：ABD 7．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用抛物线的定义可把相关距离进行转化再求最值；与圆有关的切线问题可转化为点到圆心的距离问题，即可求解. 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断． 【详解】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 9．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．圆与圆有两条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 【答案】ABD 【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D． 【详解】对A，直线， 即，恒过点，所以A正确； 对B，圆的圆心坐标为，半径为， 而圆的圆心为，半径为1， 则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1 ，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确； 对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2． 直线，恒过点，代入圆方程得， 则定点在圆内，则直线与圆必有两交点， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 若要弦长最短，则最大， 而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为： ， 所以直线被圆截得的最短弦长为 ，所以C不正确； 对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标， 得，则该直线经过圆的圆心， 所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确． 故选：ABD． 10．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线l：，则（    ） A．l不过第二象限 B．l在y轴上的截距为1 C．不存在k使l与直线平行 D．存在k使l被圆截得的线段长为2 【答案】AC 【分析】取得出恒成立，从而判断A；由得出截距，从而判断B；由反证法判断C；由距离公式判断D. 【详解】对于A：当时，恒成立，即l不过第二象限，故A正确； 对于B：令，即l在y轴上的截距为，故B错误； 对于C：若直线和平行，则，且，与矛盾， 即不存在k使l与直线平行，故C正确； 对于D：若l被圆截得的线段长为2，则直线到圆心的距离为，但是圆心到直线的距离，即不存在k使l被圆截得的线段长为2，故D错误； 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为 . 【答案】3 【详解】求出m，得圆半径，由切线长定理即可求解. 【解答】解：圆可化为， 则圆心坐标为，半径为. ，即， 圆心到直线的距离. 圆心到直线的距离为，解得，则圆半径， 则， 则切线长为， 故答案为：3 12．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用直线与半圆有且只有一个交点，数形结合，即可求出实数的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：， 而直线过定点，如图： 当直线过时，；过时，， 当直线与半圆相切时，，故或（舍）， 所以，当直线与半圆有且只有一个交点时，或， 故实数 的取值范围为， 故答案为： 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 是圆上任意一点，圆心，半径为， 则，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，结合已知列方程求得，然后利用离心率公式求解即可. 【详解】圆即圆心为，半径为， 不妨取双曲线一条渐近线为即， 由题意圆上恰有3点到直线的距离为2， 只需圆心到直线的距离，即，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为： 15．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式、弦长公式计算即可. 【详解】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 17．（23-24高二上·山东威海·期末）已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的一个取值为 . 【答案】或其中一个 【分析】根据圆的几何性质以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 由于圆上恰有三个点到直线的距离等于， 所以到直线的距离等于， 即，解得或. 故答案为：或其中一个 18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出直线过定点，数形结合得到当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出最短弦长. 【详解】变形为，故直线过定点， 故当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短， 其中的圆心为，半径为2， 此时弦长为. 故答案为： 19．（23-24高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设切点为A，连接，作作，垂足为B，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，即可求解． 【详解】如图，作于点A，于点B． ∵与圆相切，， ∴，，则，． 又点M在双曲线上，∴， 整理得，即，得，由解得， ∴双曲线的离心率为． 故答案为：． 20．（23-24高二上·山东东营·期末）已知直线与圆交于两点，若，则的值为 . 【答案】1 【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出，验证后得到答案. 【详解】变形为， 故，解得， 故圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得，解得，满足要求. 故答案为：1 四、解答题 21．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得. （2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1，再列式计算得解. 【详解】（1）圆：的圆心，半径，， 由直线与相切于点，得. （2）要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1， 而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，由，解得或， 所以直线的方程为或. 22．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又，所以，即，解得； （2）由（1）可得，则，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可得，过点的圆的切线方程为或.    23．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 【答案】(1) 与圆 相交. (2) 【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系； （2）先求出的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值. 【详解】（1）直线的方程可化为：，令， 故，故直线过定点，而， 故该定点在圆的内部，故 与圆 相交. （2）两圆的半径均为1， 因为，故即， 故，故， 故的轨迹为直线. 因为表示，而，故. 故的最小值为. 24．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）求得的坐标，再由题意得到轴，确定的坐标，即可求解； （2）由（1）设直线方程，再结合直线与圆的位置关系，列出等式，即可求解； 【详解】（1）在圆：中，令，解得，所以点的坐标为. 因为点是圆上到轴距离最大的点，所以轴. 因为圆的圆心为，且半径为1，所以点的坐标为. 过、两点的直线方程为，整理得， 即直线的方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为1， 所以， 解得或， 所以所求直线的方程为和. 25．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把圆转化为标准方程，再应用点到直线距离列式计算求参； （2）应用点到直线的距离及弦长计算面积即可. 【详解】（1）圆的方程可化为   ∴圆心,半径 ∵  ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）由（1）， 到的距离，     ∴，     ∴的面积为. 26．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 27．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果； （2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由直线：，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. （2）由圆C：，可得圆心，半径， 则圆心C到直线：的距离为， 又由圆的弦长公式可得弦长 28．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）依据圆心位置及与轴相切，利用弦长列方程即可解得圆心的坐标为； （2）利用直线和圆相切，以及两圆外切列方程即可求得不存在符合题目要求的圆. 【详解】（1）根据题意可设圆心，半径为； 由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：    由勾股定理可得，解得， 此时圆心，半径为2，圆的方程为； 所以圆心的坐标为； （2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：    因为圆心在直线上，所以； 若圆与直线相切可得， 若圆与圆相外切，则， 即，可得， 该方程，所以该方程无解， 故不存在满足题意的圆. 29．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，将直线与直线的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据圆心到直线的距离求出直线的斜率，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又因为圆的圆心在直线上， 由，解得，即，圆的半径， 所以，圆的方程为． （2）解：设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 因为圆心为，所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或. 30．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆的圆心为，且与轴相切. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，从条件①；②中选择一个作为已知，求的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得圆的半径，即可得解； （2）选①，利用余弦定理求得，从而可得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 选②，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，且与轴相切， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； （2）选①， 因为，， 所以， 所以圆心到直线的距离， 即，解得. 选②， 因为， 所以圆心到直线的距离， 即，解得. 31．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，利用，解得，再计算半径即可; （2）找出点关于轴的对称点为，设反射后光线所在直线为，利用直线与圆相切，求出或，写出直线方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或. 32．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解. （2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得. 【详解】（1）依题意，过点且垂直于直线的直线方程为， 则圆的圆心在直线上，由，解得， 即点，因此圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离，， 于是的面积，解得或， 所以直线的方程为或，即或. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解． 【详解】由已知，，两圆半径分别为，， 而两圆相交，则，解得． 故选：D． 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【详解】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C 5．（22-23高二上·山东潍坊·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再与两圆的半径和差比较大小判断作答. 【详解】圆，即的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因此，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：A 6．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 二、多选题 7．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点 ，点 满足 ，设点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．在 上存在点 ，使得 C．在 上不存在点 ，使得 D． 上的点到直线 的最小距离 【答案】ABC 【分析】设，根据求出曲线的方程可判断A；利用两圆的位置关系判断B；根据方程的判别式符号判断C；根据点到直线的距离公式，结合圆的几何性质可判断D. 【详解】已知 ，点 满足 ， 设，则，整理得，即，故A正确； 的圆心为半径为4，因为，所以D在以原点为圆心以3为半径的圆O上， 因为，所以圆O与圆C相交，所以在曲线C上存在点D，使得，故B正确； 设，由得， 即①，假设 上存在点符合题意， 则②， ①-②可得，代入①可得，方程无解，假设不成立，即在C上不存在点M，使得，故C正确； C的圆心到直线的距离，所以C上的点到直线的最小距离为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛，求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③逆代法，将代入. 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列四个命题正确的是（    ） A．直线的一个方向向量是 B．设直线过点，则这条直线的方程可以写成 C．直线与圆相交 D．圆与圆恰有三条公切线 【答案】BCD 【分析】根据直线的方向向量、直线方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，直线的斜率是， 所以一个方向向量是，A选项错误. B选项，直线过点， 则， 所以直线方程可化为， 即，所以B选项正确. C选项，圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相交，C选项正确. D选项，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆外切， 所以圆与圆恰有三条公切线，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（22-23高二上·山东威海·期末）已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：设， 因为点满足， 所以，，整理得， 所以，点在圆上， 因为，点也在圆上 所以，圆与圆有公共点， 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，，解得， 所以，的取值范围为 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 【答案】(1)3 (2)证明见解析，． 【分析】 （1）判定三角形形状再求解面积即可. （2）找到圆心和半径求出圆的标准方程，用圆和圆的位置关系判断相交，两圆相减求出公共弦方程即可. 【详解】（1） 由题意知x轴平分，所以， 设，则，解得，所以， 所以，所以为直角三角形， 因为，，所以． 即的面积为3． （2） 由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为， 所以圆M的方程为，半径． 将圆N的方程化为标准方程，得， 所以圆心，半径． 所以． 又，，所以， 故圆N与圆M相交． 因为，圆M的方程可化为， 两方程作差，得． 所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为． 11．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）依据圆心位置及与轴相切，利用弦长列方程即可解得圆心的坐标为； （2）利用直线和圆相切，以及两圆外切列方程即可求得不存在符合题目要求的圆. 【详解】（1）根据题意可设圆心，半径为； 由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：    由勾股定理可得，解得， 此时圆心，半径为2，圆的方程为； 所以圆心的坐标为； （2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：    因为圆心在直线上，所以； 若圆与直线相切可得， 若圆与圆相外切，则， 即，可得， 该方程，所以该方程无解， 故不存在满足题意的圆. 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $