精品解析：北京市海淀区理工附南校区2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025-2026学年度第一学期初二年级 数学学科期中练习 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题关键是判断图形是否沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合． 根据轴对称图形的定义，逐一判断每个选项的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分完全重合． 【详解】解：A：该图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分都能完全重合，是轴对称图形，符合题意； B：图形中的闪电图案沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； C：图形中的植物部分沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； D：图形中的香烟和烟雾图案沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 以下各组线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，1，6 C. 1，2，2 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 4. 如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．根据作图痕迹，结合全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴， 故选：C． 6. 如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（ ） A. 4.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解答的关键． 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，然后进行线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，．点是边上的一点且，将沿直线折叠，使点落到点的位置，延长到点，使，连接、．则下列结论：①②③④其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的判定与性质逐个判断即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，使点落到点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即③正确； ∴，即④正确． 综上，正确的有4个． 故选：D． 第二部分非选择题 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加或，利用“”可判定， 故答案为：（或）． 12. 点关于轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，根据“关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”进行分析，即可求解． 【详解】解：依题意，点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为： 13. 如图，在中，，平分交于点，若，，则的面积为_____．     【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键。 如图：过D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图：过D作于E，     ∵，平分交于点， ∴， ∴的面积为. 故答案为：30． 14. 如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，，，的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案． 【详解】解：是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：5． 15. 如图，在中，是上一点，，，则______； 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数，进而求得的度数即可． 【详解】解：∵， 设， 在中， 解得：， 故的度数为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点．连接，过点作，且，连接 （1）设点的坐标为，则点的坐标为_____． （2）当线段取最小值时，点的坐标为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、两点坐标距离公式、平方式的非负性等知识，作辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）过D作轴于H，证明得到，，然后利用坐标与图形性质得到，，可得答案； （2）利用两点坐标公式得到，根据平方的非负性得到当时，取得最小值，进而可得答案． 【详解】解：（1）如图，过D作轴于H，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为，且点是轴正半轴上的一个动点， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为， 故答案为： （2）∵点的坐标为， ∴ ， ∵，当时取等号， ∴，即， 当时，取得最小值，此时，点C的坐标为， 故答案为： 三、解答题（17题8分，18-22每题5分，23-24每题6分，25题7分，共52分） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，熟练掌握相关解法并正确求解是解答的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即可求得不等式组的解集． 【详解】解：（1） 得，解得 将代入①中，得，解得 ∴该方程组的解为； （2） 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴该不等式组的解集为． 18. 如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】略 19. 如图，在中，于点，平分，交于点，若，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质 是解题的关键．先根据，，算出，再根据三角形外角性质得，又因为平分，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 则， 20. 阅读材料并解决问题： 已知：在中，． 求作：边上的高线． 作法： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方相交于点； ③作射线交于点． 所以线段即为的边上的高线． （1）使用无刻度直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接和． 在和中， ． ， 平分， _____⊥_____，（______________________________）（填写推理的依据） 即为的边上的高线． 【答案】（1） 解：补全图形，如图所示： （2） ，，等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂线的定义，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）按照要求作图即可； （2）根据提示补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法），直接写出点，的坐标：_____，_____； （2）若点在轴上，且满足与面积相等，则点的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； 由图及题意可得：， 故答案为：； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图-轴对称，直角坐标系中点的坐标，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据关于轴对称的特征作图，并写出点，的坐标即可； （2）根据三角形面积公式得到，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 22. 已知：如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵平分，， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． （1）直接根据角平分线的性质可证得结论； （2）证明得到，进而线段的和与差可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 数学课上，小明学习了三角形的各种重要线段，他对顶点与对边中点相连的“中线”产生了浓厚的兴趣．经过一番认真的作图与演算，他发现了一个简洁而美妙的结论：三角形的任意一条中线都将三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， [探究] （1）如图2，在中，点是边的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点是边上的点，且，求的值． （3）如图4，现在有一块四边形土地，甲、乙两人要均分这块土地，请通过画图均分四边形的面积．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对画法进行说明，可利用带刻度的直尺） 【答案】（1）4 （2） （3） 解：连接，取中点E，连接，， 则， 与（2）同理，得，， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作于点,根据即可求解； （2）过点作于点,根据，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，，则，与（2）同理，得，，故，即． 【小问1详解】 解：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： ， ． ，， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 略 24. 如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） （3） 解：． 证明：过点A作交于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题干要求画图即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得答案； （3）过点A作交于点H，连接，先证明，再证明，得到，，进而根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，然后进行线段的和与差即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，给出如下定义：若图形内部或边上存在一点，使和关于直线轴对称，则称点为图形关于直线的“反射内含点”．已知的三个顶点的坐标分别是，，．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． （1）若，在点，，中，点_____是关于直线的“反射内含点”； （2）当时，若轴上存在关于直线的“反射内含点”，则的最大值为_____； （3）已知直线过点且与第二、四象限角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____； ②已知点为边长为1的正方形的对角线交点，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____． 【答案】（1）、 （2） （3）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质、求一次函数解析式、解一元一次不等式组、坐标与图形等知识点，理解新定义“反射内含点”下结合对称轴的性质找到对称点并列出不等式组是解题的关键． （1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“反射内含点”的定义逐点判断即可； （2）由题意可知：直线为，设y轴上点坐标为，则其关于直线的对称点为，根据题意可得，解得，进而确定t的最大值即可； （3）①结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“反射内含点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值即可解得； ②根据正方形的性质可知四个顶点坐标分别为，设正方形上一点，其关于直线的对称点，再求得正方形四个顶点关于直线的对称点，再根据题意分别列不等式组求解，最后取其公共部分即可． 【小问1详解】 解：将各个点标示在平面直角坐标系中，，，， ∵，，关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“反射内含点”． 故答案为：、． 【小问2详解】 解∶由题意可知：直线为， 设y轴上点坐标为，则其关于直线的对称点为， ∴的三个顶点的坐标分别是，，， ∴， ∵轴上存在关于直线的“反射内含点”， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 【小问3详解】 解：①由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为， ∴点在直线上， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点时，有，解得：，即t的最大值为5； 当过点B时，有，解得：，即t的最大值为； ∴直线上存在关于直线的“反射内含点”，的取值范围为． ②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为， 由①可知：直线的解析式为， 设正方形上一点，过点P作轴交直线于点A，则点，连接，结合直线和对称性即可知， 那么，点关于直线的对称点． ∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线的对称点的坐标分别为，，，， ∵正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，且直线的解析式为， ∴，，，， ∴，，，， 综上，t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期初二年级 数学学科期中练习 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，1，6 C. 1，2，2 D. 1，2，3 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 7. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（ ） A. 4.5 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．点是边上的一点且，将沿直线折叠，使点落到点的位置，延长到点，使，连接、．则下列结论：①②③④其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分非选择题 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 12. 点关于轴的对称点的坐标是_____． 13. 如图，在中，，平分交于点，若，，则的面积为_____．     14. 如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，，，的长为_____． 15. 如图，在中，是上一点，，，则______； 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点．连接，过点作，且，连接 （1）设点的坐标为，则点的坐标为_____． （2）当线段取最小值时，点的坐标为_____． 三、解答题（17题8分，18-22每题5分，23-24每题6分，25题7分，共52分） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 18. 如图，点在一条直线上，，求证：． 19. 如图，在中，于点，平分，交于点，若，，求的大小． 20. 阅读材料并解决问题： 已知：在中，． 求作：边上的高线． 作法： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方相交于点； ③作射线交于点． 所以线段即为的边上的高线． （1）使用无刻度直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接和． 在和中， ． ， 平分， _____⊥_____，（______________________________）（填写推理的依据） 即为的边上的高线． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法），直接写出点，的坐标：_____，_____； （2）若点在轴上，且满足与面积相等，则点的坐标为_____． 22. 已知：如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 数学课上，小明学习了三角形的各种重要线段，他对顶点与对边中点相连的“中线”产生了浓厚的兴趣．经过一番认真的作图与演算，他发现了一个简洁而美妙的结论：三角形的任意一条中线都将三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， [探究] （1）如图2，在中，点是边的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点是边上的点，且，求的值． （3）如图4，现在有一块四边形土地，甲、乙两人要均分这块土地，请通过画图均分四边形的面积．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对画法进行说明，可利用带刻度的直尺） 24. 如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）猜想与的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，给出如下定义：若图形内部或边上存在一点，使和关于直线轴对称，则称点为图形关于直线的“反射内含点”．已知的三个顶点的坐标分别是，，．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． （1）若，在点，，中，点_____是关于直线的“反射内含点”； （2）当时，若轴上存在关于直线的“反射内含点”，则的最大值为_____； （3）已知直线过点且与第二、四象限角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____； ②已知点为边长为1的正方形的对角线交点，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $