精品解析：河南省顶级名校联盟2026届高三上学期11月强基诊断性测试数学试题

2025年11月测试数学试卷 本试卷共150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简所求复数. 【详解】因为，则. 故选：C 2. 已知全集，集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由及， 可得：， 又因为， 所以. 故选：B 3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】应用特殊值法及不等式的性质结合充分条件必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，则， 即“”可推出命题“”； 当时，，但是不成立， 即由命题“”推不出“”； 故命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 5. 已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解． 【详解】当时，得， 由函数是定义域为R的奇函数， 得， 即当时，，等号成立时，， 则当时，的最小值为1， 故选：A 6. 已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得⊥，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 故，即为坐标原点O到直线的距离，则， 所以， 由双曲线定义可得，所以， 又，由勾股定理得， 故，解得，故离心率为. 故选：C 8. 若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使的最大值最小时的，从而求得实数a的最小值. 【详解】当时，的取值是以12为周期的序列. 在一个周期内的取值组成的集合为. 根据的单调性、对称性及的周期性， 不妨令，则的最大值在或中取得. 可使的最大值取得最小值，需使.根据正弦函数的对称性，此时两角关于对称，即. 此时，解得，. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9. 如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（ ） A. 直线AB B. 直线BC C. 直线CD D. 直线DA 【答案】CD 【解析】 【分析】由异面直线的定义依次分析选项. 【详解】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点， 正方体中有且，四边形为平行四边形，有且， 又，，所以且， 所以为梯形，故直线与相交，A错误； 正方体中，因为，所以，故B错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点， 又，，所以直线与直线不平行， 即直线与直线是异面直线，故C正确； 因为平面，平面，，故直线与异面，D正确. 故选：CD 10. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（ ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，点，则，为等边三角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得， 则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误. 故选：BC 11. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式和诱导公式可推导得到，讨论角的关系可确定A正确；利用正弦定理边化角、角之间的关系、诱导公式及二倍角公式可将转化为方程，令，，利用导数可确定的范围，进而确定、的范围，得到BCD正误. 【详解】对于A，，， ， ，，又， 或，即或； 当时，，此时，不合题意， ，A正确； 对于BCD，，， ，， 即， 整理可得：， 令，，，，即， 令，则， 在上单调递减，又，， ，； 由得：， ，，又， ，，，，B正确，C错误； ，，即， ，即，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 13. 掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的性质和期望的定义分析求解. 【详解】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，合题意， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示， 圆锥轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为． 由小球的半径1cm，， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长， 因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示． 无习惯M者 有习惯M者 合计 没患疾病N者 120 160 280 患有疾病N者 15 45 60 合计 135 205 340 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为患有疾病N与有生活习惯M有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对作答. （2）由给定公式，利用条件概率公式列式求解. 【小问1详解】 零假设：患有疾病N与有生活习惯M无关， 依据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为患有疾病N与有生活习惯M有关． 【小问2详解】 . 16. 已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，． （1）证明：数列为等差数列； （2）数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值． 【答案】（1）证明：因为当时，，， 所以， 可得当时，， 因为， 所以当时，等式两边同除可得， 数列是公差为的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，等式两边同除，结合等差数列的定义即可证得结论成立； （2）求出数列、的通项公式，可得出数列的通项公式，分析数列的单调性，可得出数列的最小项，即可得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，当时，，所以， 故， 因为数列是首项和公比均为的等比数列，则， 所以， ， 所以当时，，当时，， 即， 所以数列的最小项为，所以对任意正整数，均有，． 17. 如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． （1）证明：平面PAB； （2）若，平面平面ABCD，求二面角的大小（用反三角函数表示）． 【答案】（1）设AD中点为Q，连接, 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB，平面PAB， 平面NQM，平面NQM，且， 所以平面平面PAB， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）设AD中点为Q，根据三个中点M、N、Q推导平面平面PAB即可求证； （2）设AB中点为O，以O为原点，OB为x轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的大小即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设AB中点为O，CD中点为R， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面， 所以平面ABCD， 进而，因为四边形ABCD是正方形，所以， 以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，N为PD中点，所以， 设平面AMN的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面AMD的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 所以． 18. 已知抛物线的焦点为F，点在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）①1 ；②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义即可求解； （2）①设，，，，直线l的方程为，联立得，，再利用点到直线的距离求解； ②设方程为，，，AB中点，联立得到，，再由得到即可． 【小问1详解】 ， 所以，抛物线的方程为． 【小问2详解】 ① 设，，，，为直线l与x轴正半轴的夹角， 则直线l的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得， 不妨设，则，，， 所以，即， 点P到直线l的距离 （当时取等） 所以 （，时取等）， 所以的最小值为1． ②设方程为，，，AB中点， 直线的方程为，，， 因为垂直平分，且四点共圆， 所以关于对称，且MN是直径， 将方程代入抛物线方程得， 所以，， 因为C既在AB上，又在MN上， 所以，，得， 将方程代入抛物线方程得， 因为，所以， 得，即， 进而， 又因为，所以， 因为，所以，得， 所以直线l的方程为或． 19. 已知． （1）当时，证明：对于任意，均有； （2）①若是R上的增函数，证明：； ②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且． 【答案】（1）当时，，定义域为. 所以. 当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 进而对任意，均有． （2）①由，得. 因为是R上的增函数，所以在R上恒成立. 设，则. 若，则恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. 所以在上递减，在上递增.不合题意. 若.令，则. 当时，. 设，则，所以在上递减， 存在，与是R上增函数矛盾； 当时，则，设，则. 所以在上递增，，与是R上增函数矛盾； 当时，由（1）知，所以满足要求， 综上所述，． ②由，得. 设，由①知： 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在恒成立，即方程在上无解. 由（1）知恒成立. 设，则，即. 所以， 因为，所以，， 所以方程在区间上存在唯一解，记为. 因为在上递增，所以方程在上存在唯一解. 综上所述，方程在上存在唯一解，且当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上存在唯一极值点. 因为，且在上递减，所以在恒成立， 所以函数在上无零点，且. 由，得. ，设， 则， 所以是增函数，因为，所以， 又，所以在上存在零点， 因为在上递增，所以函数在有唯一的零点． 综上所述，函数在有唯一的零点，且． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，并得到其最小值为0，从而证得对于任意，均有； （2）①由是R上的增函数，得在R上恒成立，分别讨论时的情况，可证得；②当时，利用导数讨论函数在上单调性，可得到其极值点和零点的情况. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月测试数学试卷 本试卷共150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 5. 已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 7. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9. 如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（ ） A. 直线AB B. 直线BC C. 直线CD D. 直线DA 10. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（ ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 11. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________ 13. 掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 14. 一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示． 无习惯M者 有习惯M者 合计 没患疾病N者 120 160 280 患有疾病N者 15 45 60 合计 135 205 340 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，． （1）证明：数列为等差数列； （2）数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值． 17. 如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． （1）证明：平面PAB； （2）若，平面平面ABCD，求二面角的大小（用反三角函数表示）． 18. 已知抛物线的焦点为F，点在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 19. 已知． （1）当时，证明：对于任意，均有； （2）①若是R上的增函数，证明：； ②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $