精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

2025—2026学年度第一学期1106质量检测试题 高二年级数学 一、单选题 1. 经过点，圆心为的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 （教材84页例3） 5. 已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 7. 以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为8，则实数的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 二、多选题 （教材92页例2） 9. （多选）过点作圆O：的切线l，则切线l的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与虚轴长相等 B. 与焦距相等 C. 与离心率相等 D. 与渐近线相同 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 三、填空题 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 13. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为____. （教材108页例3） 14. 设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是________. 四、解答题 15. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 16. 设椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． （教材125页例5） 17. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为，求直线的方程. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 19. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期1106质量检测试题 高二年级数学 一、单选题 1. 经过点，圆心为的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求点与圆心的距离即可得圆的半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】解：因为所求的圆经过点，且圆心为， 所以，所求圆的半径为， 所以，所求的圆的方程为： 故选：B 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 3. 已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】双曲线 的顶点坐标为，渐近线方程为即， 根据双曲线的对称性，取顶点，渐近线， 根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为. 故选：C． 4. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. （教材84页例3） 5. 已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的方程，列出方程组可得答案. 【详解】设圆C的方程为，因为经过，两点，且点C在直线上， 所以，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：D. 6. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 7. 以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质判断出，结合以及离心率公式求得正确答案. 【详解】设的半焦距为， 由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得， 由椭圆的定义得，， 所以椭圆的离心率． 故选：B 8. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为8，则实数的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆被直线所截弦长得到圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得m值． 【详解】已知圆，其圆心为，半径为5． 又直线被圆截得的弦长为8， 设圆心到直线的距离为，则，解得， 直线， 则，解得或． 故选：C 二、多选题 （教材92页例2） 9. （多选）过点作圆O：的切线l，则切线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离为半径得出参数即可知道直线方程. 【详解】由题意得切线l的斜率存在，故可设切线l的方程为，即， ∴圆心到直线l的距离， ∴，∴或， ∴切线l的方程为或． 故选：AD. 10. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与虚轴长相等 B. 与焦距相等 C. 与离心率相等 D. 与渐近线相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 13. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点坐标，即可求解 【详解】由，可得焦点坐标为，顶点坐标为 设椭圆的方程为， 由题意可知： ， 所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为： （教材108页例3） 14. 设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点式求直线、斜率，结合已知求轨迹方程即可. 【详解】设点的坐标为，点的坐标是， 所以直线的斜率. 同理，直线的斜率. 由已知，有，化简，得点的轨迹方程为. 所以点的轨迹是除去，两点的椭圆. 故答案为： 四、解答题 15. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 16. 设椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答. （2）求出直线的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答. 【小问1详解】 因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； 【小问2详解】 依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为. （教材125页例5） 17. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意有，整理即可得出答案； （2）设，则有，两式相减即可求得，再将点代入求得，即可得出答案. 【小问1详解】 解：因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 所以， 化简得， 所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 解：设， 则， 则有， 两式相减得，即， 所以， 所以直线， 将点代入得，所以， 所以直线的方程为. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 19. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $