八年级数学上学期第二次月考·培优卷（人教版2024，举一反三，测试范围：第13章 三角形～第16章 整式的乘法）

八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列体育运动图案中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的体育图案不是轴对称图形，故不符合题意； B、选项中的体育图案不是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的体育图案是轴对称图形，故符合题意； D、选项中的体育图案不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和面积的关系，解题的关键是：根据中线的性质逐步得出，，即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 7．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴ a与a， c与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， 故选：D． 8．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解： 是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 12．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和运算，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合，得出，又因为平分，得出，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 13．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 14．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 15．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：4． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． （1）图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面积和，即可得到等式； （2）①根据（1）中的公式，将，代入即可；②令，根据（1）中的公式，将代入即可． 【详解】（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积， ∴等式为； （2）①由（1）知，， 当时，， 解得：； ②令， ∴， ， ， ， 即． 19．（8分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)2 (3)作图见解析， 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小问题，求三角形的面积， 对于（1），先作三个顶点关于x轴的对称点，再依次连接即可； 对于（2），根据矩形的面积减去三个三角形的面积解答； 对于（3），先作点A关于y轴的对称点，可得，根据三角形两边之和大于第三边得，即可得出最小值，观察图象得出坐标即可. 【详解】（1）解：如图所示，点 （2）解：； （3）解：如图所示，在轴上取点，连接， 作点A关于y轴的对称点，可得， ∴点三点共线时，交y轴于点，此时的点即为所求点的位置， 则， ∴线段的最小值为， 点P的坐标为． 21．（10分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； （2）解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中， ； 故答案为：； （3）解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【人教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第13章 三角形~第16章 整式的乘法 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列体育运动图案中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 6．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 12．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 13．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 14．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 15．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 18．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 19．（8分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 20．（8分）（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 21．（10分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 23．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $