精品解析：2023年上海市普陀区中考数学一模 试卷

2023年上海市普陀区中考数学一模试卷 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）． 1. 下列函数图象中，与y轴交点的坐标是的是（  　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握函数与坐标轴交点坐标的特征是解题的关键． 将分别代入函数的图象，得出y轴交点的坐标，即可判断． 【详解】A．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意； B．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意； C．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意； D．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意； 故选：D． 2. 在中，已知，，，那么的长是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 3. 如果二次函数的图像如图所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图像抛物线顶点坐标为在第四象限解题即可. 【详解】由图可知二次函数的顶点坐标在第四象限， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查了依据二次函数图像分析函数解析式中各个系数的取值范围，注意此类问题一般通过开口方向、对称轴、顶点坐标等方面进行分析. 4. 如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．用证明，得，可证，从而说明、、正确． 【详解】解：设交于点． 点是的中点， ， ， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选项，，正确． 故选：． 5. 已知为实数，是非零向量，下列关于的说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果是正整数，那么表示个相加 C. 如果，那么 D. 如果，与的方向一定相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括平行向量、向量与标量的乘法、单位向量和向量相等的条件．根据向量的定义和性质逐一判断各选项． 根据初中数学向量的知识，数乘的模长是标量绝对值与向量模长的乘积，方向取决于标量的正负．选项中零向量的表示不准确，选项和忽略绝对值与负号的影响，所以错误，选项在为正整数时正确． 【详解】∵ 向量的数乘定义：当k为正整数时，表示个相加，符合数乘运算． ∴正确。 ∵ 选项：时，为零向量，但选项中“”可能表示标量零，与向量不等，故不准确． ∵ 选项：，当时错误． ∵ 选项：与的方向,当时方向相反，故错误． 故选：B． 6. 在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行分析判断即可． 【详解】解：A.由，可以根据两边成比例且夹角相等，证明，该选项不符合题意； B. 由，可推导出，根据两角对应相等，证明，该选项不符合题意； C.由，不能判定两个三角形相似，符合题意； D.由，可推导，根据三边对应成比例，证明，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，，那么_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．根据题意得到，将其代入中，求出值，进而得到，将，代入中求解，即可解题． 【详解】解：，， ，则， 解得：， 故， 那么． 故答案为：2． 8. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴在每个象限中，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 9. 已知二次函数的图象有最高点，那么a 的取值范围是 ________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，二次函数的图象有最高点，则图象的开口方向向下，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象有最高点， ， ， 故答案为：． 10. 已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴公式 求解．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】由抛物线 得二次项系数 ，一次项系数 ， ∵对称轴公式为 ，且对称轴 ， ∴， 化简得：， ∴， 解得． 故答案为：2． 11. 已知点在抛物线上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置，那么点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线的平移变化点坐标的平移变化，先求出点坐标，再根据点也是沿着y轴向上平移3个单位得到点，即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置， 点也是沿着y轴向上平移3个单位， 即， 故答案为：． 12. 已知是线段的中点，设，那么____（用向量表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量方向、向量加法法则及线段中点性质，解题关键是正确判断向量之间的方向和长度关系． 由C是中点，与同向且得，再结合向量加法可得结果． 【详解】解：∵C是中点， ∴ ， 又． ∴． 故答案为：． 13. 在中，，，，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可． 【详解】解：在中，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，． ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，如果，，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． 先根据平行线的性质得到，加上，则利用相似三角形的判定方法可判断，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 15. 如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出比例线段是解题关键． 先根据勾股定理，得，再根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：连接， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，中一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，过点作，垂足为，并延长交于点，根据题意得：，，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，并延长交于点， 由题意得：，，，， ，， ， ， ， 解得：， 的面积， 故答案为：． 17. 如图，点、在边上，，，如果，，那么的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 证明，可得，，即可得答案． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，为边上的中线，，，．将绕点以逆时针方向旋转得到，点、分别与点、对应．连接，与线段交于点．如果点、、在同一条直线上，那么___________． 【答案】 【解析】 【详解】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，设交轴于，由为边上的中线，，，可得，，设，由，可得，故，，，，直线解析式为，根据将绕点以逆时针方向旋转得到，可证，得四边形是矩形，从而求得，，直线解析式为，联立得，即可得到答案． 本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，设交轴于，如图： 为边上的中线，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， ，， 由，，得直线解析式为， 将绕点以逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ∴ 设直线解析式为 把，代入， 得 解得 直线解析式为， 联立得， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，． （1）求的值； （2）连接，设，，那么 ， （用向量、表示） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键． （1）根据题意可证明四边形为平行四边形，得到，则，，易证明，由相似三角形的性质即可求解； （2）由得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出． 【小问1详解】 解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）可得， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数的解析式． （2）将正比例函数的图象向上平移个单位长度，新函数的图象与反比例函数的图象交于点．若点的纵坐标是横坐标的3倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，解得，再将代入，解得即可； （2）设新函数的解析式为，设点的横坐标为，则纵坐标为．根据点的纵坐标是横坐标的3倍列方程求，再将代入求解． 【小问1详解】 解：将代入，得，解得， 点的坐标为． 将代入，得，解得， 正比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，得新函数的解析式为． 设点的横坐标为，则纵坐标为． 点的纵坐标是横坐标的3倍， ，解得（不合题意，舍去）， 点的坐标为． 将代入，得， 解得． 【点睛】本题考查了正比例函数的解析式，函数图像的变换，掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米． （1）求的长；（结果保留根号） （2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 【答案】（1）米 （2）4米 【解析】 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和值，然后即可计算出的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【小问1详解】 解：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 【小问2详解】 解：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为4米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 已知：如图，在四边形中，上一点，，． （1）求证：； （2）如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明； （2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以． 【小问1详解】 证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 如图2，、、分别是、、的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则，在中，，则，即可求解； （3）直线恰好经过的重心，则为边上的中线，由点、的坐标得的中点坐标为，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为，则点； 【小问2详解】 设抛物线的对称轴交轴于点，过点作于点， 设点，则， 在中，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； 【小问3详解】 直线恰好经过的重心，记与交于点E， 则为边上的中线， 由点、的坐标得的中点E坐标为， 设直线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立和得 解得：或， 即点的坐标为，或， 故点到轴的距离为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、锐角三角函数，一次函数的应用等知识点，数形结合是本题解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． （1）当点与点重合时，如果，求的长； （2）当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】设，根据矩形的性质即解直角三角形推出，，根据勾股定理得到，据此求解即可； （2）①交于点，连接，根据相似三角形的判定与性质推出，，，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，据此求解即可； ②设，则，设，且，，则，根据锐角三角函数得到，根据勾股定理求出，，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的性质得，进而求出，据此即可得解． 【小问1详解】 如图，当点与点重合时，设， 四边形是矩形， ，，，，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ； 【小问2详解】 ①如图，交于点，连接， 由（1）得，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ； ②如图，连接， ， 设，则，设，且，，则， ， ， ，，， ， ， ， 即， ， 由①得，， ， ， 两边平方并整理得， ， ，， ，， ， ， ， 即的余切值． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年上海市普陀区中考数学一模试卷 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）． 1. 下列函数图象中，与y轴交点的坐标是的是（  　 ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，，，那么的长是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 3. 如果二次函数的图像如图所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为实数，是非零向量，下列关于的说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果是正整数，那么表示个相加 C. 如果，那么 D. 如果，与的方向一定相同 6. 在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（ ） A B. C D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，，那么_____． 8. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 9. 已知二次函数的图象有最高点，那么a 的取值范围是 ________ ． 10. 已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于____． 11. 已知点在抛物线上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置，那么点的坐标是______． 12. 已知是线段的中点，设，那么____（用向量表示） 13. 在中，，，，那么____． 14. 如图，在四边形中，，，如果，，那么____． 15. 如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是____． 16. 如图，中一边与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边、分别与刻度尺的另一边交于点、，点、、、在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么的面积是 _____． 17. 如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是____． 18. 如图，在中，为边上的中线，，，．将绕点以逆时针方向旋转得到，点、分别与点、对应．连接，与线段交于点．如果点、、在同一条直线上，那么___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，已知梯形中，，上一点，，、相交于点，． （1）求的值； （2）连接，设，，那么 ， （用向量、表示） 21. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数的解析式． （2）将正比例函数的图象向上平移个单位长度，新函数的图象与反比例函数的图象交于点．若点的纵坐标是横坐标的3倍，求的值． 22. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米． （1）求的长；（结果保留根号） （2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 23. 已知：如图，在四边形中，为上一点，，． （1）求证：； （2）如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 24. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 25. 如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． （1）当点与点重合时，如果，求的长； （2）当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $