精品解析：辽宁省七校协作体2025-2026学年高三上学期11月联考数学试题

2025-2026学年度（上）七校协作体高三联考 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 命题校：丹东四中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若且，则的最小值为（ ） A 2 B. C. D. 4 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. ，可以作为平面向量的一组基底 D. 10. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的最小正周期是 D. 设，则的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知是等差数列，，则___________. 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______． 14. 锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 16 已知函数． （1）若，求函数值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 17. 已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求取值范围. 18. 设数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 19. 已知函数的导数为，且数列满足． （1）若数列是等差数列，求的值； （2）若对任意，都有，成立，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）七校协作体高三联考 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 命题校：丹东四中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用并集的定义求得结果. 【详解】由，得，则，而， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算直接化简即可. 【详解】，. 故选：A. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法易得. 【详解】当时，必有成立； 而由可得或，即不一定能推得， 故“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 5. 若且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“1”的妙用，转化为，展开后，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 则， 当，即，联立，得，时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 7. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. ，可以作为平面向量的一组基底 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的坐标求模判断选项A；利用向量线性运算的坐标表示判断选项B；由平面向量基底的条件判断选项C；由向量共线的坐标表示判断选项D. 【详解】向量，， ，，，A正确； ，B错误； 因为，所以，不共线，即，可以作为平面向量的一组基底，C正确； ，由，得与不共线，D错误． 故选：AC 10. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的最小正周期是 D. 设，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断A，根据不等式性质及特殊值可判断B，利用特殊值判断C，换元后由对勾函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，若，则，故A错误； 对于选项B，能推出，但不能推出，例如：，故B正确； 对于选项C，由，不相等，所以不是它的周期，故C错误； 对于选项D，令，则， 由对勾函数可知在上单调递增， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 11 已知函数，则（ ） A. 在和上是单调递减函数 B 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出相应的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可求出的范围. 【详解】A、B、C：由题意可得的定义域为， 对于函数，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， 所以在内单调递增，在，内单调递减，故A正确； 当时，，当时，，则， 作出相应图象，如下图， 当方程有个实根时， 所以或，即或，故B错误； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， 因为，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， 当即时，的图象在上方的正整数解为，故C正确； D：设切点为，则切线斜率， 切线方程为， 因为切线过点，所以， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有两个不同的非零实根， 所以且，即且， 解得或或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知是等差数列，，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差中项求出，再将化简即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：3. 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式将方程化成，令，求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】因为正实数a，b满足， 又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为4. 故答案为：4 14. 锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理确定，由锐角三角形确定，再由正弦定理即可求解. 【详解】由， 可得：, 化简可得：， 由正弦定理可得：， 所以，又, 所以，， 因为为锐角三角形， 所以解得：，所以， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； 【小问2详解】 由中线向量可得：， 则， 所以. 16. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【小问1详解】 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. 【小问2详解】 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【小问1详解】 当时，，则， ，在处切线的斜率为. 【小问2详解】 由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 18. 设数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. 【小问1详解】 一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 19. 已知函数的导数为，且数列满足． （1）若数列是等差数列，求的值； （2）若对任意，都有，成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1），，因此可得数列的递推公式，要求，只要令得，由数列是等差数列，可得答案． （2）由递推公式可知数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，因此可得，不等式的问题需按为奇偶分类讨论求出的取值范围 【详解】（1）由题意， 所以， 所以， ∴， ∴， ∵数列是等差数列，设公差为， ∴，得， ∴， ∴， （2）由，得 ∴， ∴是以为首项，4为公差的等差数列，是以为首项，4为公差的等差数列， ∴， ∴． ①当为奇数时，， 由得 令， ∴， ∴， 解得或 ②当为偶数时，， 由得， 令， ∴，∴，解得, 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $