精品解析：黑龙江省大庆市龙凤区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

龙凤区2025-2026学年第一学期九年级第一次联考 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟，共28道题，总分120分； 2．请在答题卡对应区域内作答． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形. 【详解】A. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B. 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C. 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D. 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故不符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意； B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意； C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意； D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为， ∴，即．   故选：D ． 5. 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 【详解】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1， ∴AB==2，AC==， ∴sinα=cosα=，故选项A正确； tanC==2，故选项B正确； tanα=1，故选项D正确； ∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故选项C错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了一次函数与二次函数的图像与性质，根据一次函数与二次函数的图像与性质逐一判断即可，掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键． 解：、根据图像可得一次函数中，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第二、三、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项符合题意； 故选：． 7. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 8. 我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 9. 如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC、CF，根据菱形的性质求出AC、CF，∠ACD＝60°，∠GCF＝30°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：连接AC、CF、GE，且CF、GE交于点O，如图所示： ∵菱形ABCD和菱形CEFG中，BC＝1，CE＝3， ∴，，，CF平分∠GCE，AC平分∠BCD，GE⊥CF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=BC=1， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵GE⊥CF， ∴， ∵∠OCE=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是AF的中点， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，菱形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形，是解题的关键． 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 对于①，求出函数与坐标轴的交点坐标即可判断；对于②和③，根据函数图象判断即可；对于④，根据函数的对称轴即可判断；对于⑤，由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，再结合图象即可判断． 【详解】解：对于①，， 由，得， 函数的图象与轴的交点为， 由，得， 即， 因式分解，得， 或， 解得，， 函数的图象与轴的交点为，， 函数的图象与坐标轴的交点为，，，故①正确； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确； 对于④：函数图象的对称轴为，， 若在函数图象上，则也在函数图象上，故④正确； 对于⑤：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象可知，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 【答案】球体##正方体 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体的形状，具有较强空间想象能力及对立体图形的认识成为解题的关键． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看据此即可解答． 【详解】解：一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是球体（或正方体）． 故答案为：球体或正方体． 12. 沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 13. 将一元二次方程化成的形式，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 14. 在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 15. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得， 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 17. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点I，连接，构造，再延长至K，使，连接，，，构造，由全等三角形的性质，将转化为，根据全等三角形的性质得出此时，设此时，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点I，连接， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 延长至K，使，连接，，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、G、K三点共线时，最小，即最小， ∵、G、K三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当最小时，， 设此时，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即当最小时，． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，正确记忆特殊锐角三角函数值是解答本题的关键． （1）原式代入特殊锐角三角函数值，再进行二次根式乘法运算和零指数幂运算即可得到结论； （2）原式代入特殊锐角三角函数值和化简绝对值，即可得到结论； （3）原式代入特殊锐角三角函数值和乘方运算，即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　 　． 【答案】（1） 如图，线段AD即为所求． （2）如图，线段AE即为所求 （3） 【解析】 【分析】（1）在方格中找出点B关于点C的对称点点D，连接AD即可； （2）利用旋转变换的性质作图即可； （3）过点A作AT⊥DE于T，求出AD、DT，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作AT⊥DE于T． ∵AE＝AD， ∴DT＝ET＝， ∵AD＝， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——翻折变换、旋转变换，勾股定理和解直角三角形等知识点，解题关键是利用数形结合思想构造含∠ADE的直角三角形． 22. 国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】（1）600人， 补全条形统计图如下： （2）3200人 （3） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图． （1）由景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，然后求得的人数，补全统计图即可； （2）由某批次游客的人数乘以景点所占的百分比即可； （3）列表，共有20种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则B景点的人数为：（人）， ∴C景点的人数为：（人）， 故答案为：600人， 【小问2详解】 解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人） 故答案为：3200人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 23. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小 【答案】（1），，. （2）m=0，∠A=30°，∠B=120°． 【解析】 【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可； （2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=， cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=， sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°． ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验是方程4x2﹣1=0的根． ∴m=0符合题意． ②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意． ③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验不是方程4x2﹣1=0的根． 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 24. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为D，则，，然后分别解和求出即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D． 由题意得，， ∴，． 在中，， ∴，． 在中，， ∴． 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 25. 如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ 即，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解，求出，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． （1）求点的坐标； （2）点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得解得， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）坐标系内是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． （3）一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合），用t表示和，并求的最大值． 【答案】（1）；； （2）、、 （3），，的最大值为4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质以及二次函数图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由顶点式可得抛物线顶点的坐标，令可求出的值，得出点的坐标； （2）根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况讨论求解即可； （3）设经过，，的二次函数解析式为，求出，，，得二次函数解析式为，令，求出，得，可表示出，，得，运用二次函数性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点的坐标为； 令， ， 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点也为， ∵， ∴，， 解得，，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点坐标也为， ∵， ∴，， 解得，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， 则的中点也为 ， ∵， ∴，， 解得，，， ∴， 所以，存在点，坐标为或或． 【小问3详解】 解：设经过，，的二次函数解析式为， 把，，代入解析式得： ， 解得：，， 把，代入，得： ， 解得， 所以，二次函数解析式为， 令，则， 整理得：， ∵二次函数图象经过点， ∴是方程的一个根，设另一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上（与点O，B不重合），， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值4． 28. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D． 解决问题 (1)在图1中， ①B′D和AC的位置关系为　　； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　　； (2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　； 拓展应用 (4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　　． 【答案】(1)①BD′//AC，菱形； (2)①选择②证明如下： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折至△， ， ， ， 是等腰三角形； 将剪下后展开，得到的图形四边相等， 将剪下后展开，得到的图形四边是菱形． ②选择①证明如下， 四边形是平行四边形， ， 将沿翻折至△， ， ， ， ， ， ， ． (3)1：1或：1；(4)4或6或8或12. 【解析】 【分析】（1）①②根据折叠的相关性质即可解答，可得到展开的图形为菱形. (2)①根据四边形是平行四边形可得到再根据翻折的定义即可得到是等腰三角形，随之可解答.②求出，根据翻折得到即可解答. (3)分类讨论不同长宽比下的情况进行解答即可. (4)求出四边形是等腰梯形，再根据题意设，解出y,求出BC的长再分类讨论即可. 【详解】(1)①．②将剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为，菱形； (2)略 (3)①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为；， ， ②当矩形的长宽之比为时，满足条件，此时可以证明四边形是等腰梯形，是轴对称图形； 综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或； (4)，， ， ， 四边形是等腰梯形， ，， △是直角三角形， 当，时，如图3中， 设， ， 解得， ， ， ， ， 当，时，如图4， ，， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ； 当，时，如图5， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， 当时，如图6， ，， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ，， ； 已知当的长为4或6或8或12时，△是直角三角形． 故答案为平行，菱形，或，4或6或8或12； 【点睛】本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙凤区2025-2026学年第一学期九年级第一次联考 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟，共28道题，总分120分； 2．请在答题卡对应区域内作答． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正方形 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（ ） A. B. C. D. 5. 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 8. 我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A. B. C. D. 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 12. 沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度：______． 13. 将一元二次方程化成的形式，则_________． 14. 在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 15. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为_______． 16. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 17. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 18. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　 　． 22. 国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 23. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小 24. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 25. 如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 26. 如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． （1）求点的坐标； （2）点是边上一点，若，求直线的解析式． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）坐标系内是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． （3）一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合），用t表示和，并求的最大值． 28. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D． 解决问题 (1)在图1中， ①B′D和AC的位置关系为　　； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　　； (2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　； 拓展应用 (4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $