专题02 简单的几何图形常考几何模型8大题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题02 简单的几何图形常考几何模型8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1 题型二、线段的动点问题模型 2 题型三、线段的中点问题模型 3 题型四、三角板中的角度计算模型 5 题型五、几何图形中的角度计算模型 6 题型六、角的旋转问题模型 8 题型七、角平分线有关计算模型 8 题型八、相交线角度计算模型 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 【答案】(1)12，6 (2) (3)18 【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义可得数据； （2）接下来根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式；（3）根据（2）中顶点数，面数和棱数之间的关系式列出关于面数的方程求解，问题即可解答． 本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，结合题干的图形，作答如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 故答案为：12，6； （2）解：观察模型中的四面体，长方体，正八面体的顶点数（V），面数（F），棱数（E）， 则有，，， ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （3）解：∵一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：18． 2．还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系． （1）通过观察图1几何体，完成以下表格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 五面体 六面体 （2）通过对图1所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：______． 【实际应用】 （3）足球一般有块黑白皮子缝合而成（如图2），且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可以近似把足球看成一个多面体，你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 【答案】（1）6，5，8；（2）2；（3）这个多面体有12个五边形，20个六边形，解答见解析 【分析】（1）观察几何体，即可完成表格； （2）直接利用欧拉公式求出答案； （3）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 五面体 六面体 （2）V+F-E=2． 故答案为：2； （3）设正五边形有x块，则正六边形有（32-x）块， 则F=32，， V=E÷3×2=-x+64， 根据欧拉公式得：V+F-E=2， 则-x+64+32-（-x+96）=2， 解得：x=12，32-x=20， 所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块． 【点睛】本题主要考查了欧拉公式以及一元一次方程的应用，正确应用欧拉公式是解题关键． 3．（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 【答案】（1）8，18，7；（2）；（3）12 【分析】此题主要考查了图形规律题，几何体的点、线、面，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律得到是解题关键． （1）结合棱柱的特点，即可填表； （2）利用表格，得到规律即可得出，，之间的关系； （3）根据（2）中规律，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）根据图形可得 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 故答案为：8，18，7； （2）分别可得， ， ， ， 所以可得； （3）设这个几何体有个面，则这个几何体的顶点数为， 根据（2）中规律可得， 解得， 故答案为：． 4．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 题型二、线段的动点问题模型 5．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【分析】（1）分两种情况：点C在线段上，点C在线段的延长线上，进行讨论即可求解； （2）①分两种情况：点Q在点D的左侧，点Q在点D的右侧，利用中点的定义和线段的和差列出方程即可求解； ②分三种情况：点P，R相遇前；当点P，R相遇后，且点P到达点B前；当点P，R相遇后，且点P到达点B后，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点C在线段上， ∵，， ∴； 点C在线段的延长线上， ∵，， ∴ ∴． 综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧， 依题意有， 解得； 点Q在点D的右侧， 依题意有， 解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知： ∵点D在线段上，， ∴， 点P，R相遇时， ， 解得， 点P，R相遇前，即当时，，， ， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，， ； 点P到达点B时，， 解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时， ， ， 点P，R相遇后，即当时， ， ， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时， 依题意有， 解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有， 解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有， 解得． 综上分析可知：或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和线段的和差，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点P为的中点，则x的值为 ，点P到点A的距离 ， ； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 ； 若点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为 （用含x的式子表示）； (3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数． 【答案】(1)1，2，4 (2)5， (3)或 【分析】（1）根据点P为的中点，得到，故，可计算x，点P到点A的距离，解答即可； （2）根据点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，大于4，判定点P在点B的右侧，得，解答即可；当点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为解答即可； （3）设运动时间为，设运动时间为，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点P运动的路程为，则，，，则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，分点A在点B的左侧，点A在点B的右侧，两种情况解答即可． 本题考查了线段的中点，数轴上的两点间距离计算，数轴上点的表示数计算，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由点P为的中点，得到，故， 解得， 故点P到点A的距离， ， 故答案为：1，2，4． （2）解：根据点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，大于4， 故点P在点B的右侧， 根据题意，得， 解得； 当点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为； 故答案为：5，． （3）解：设运动时间为，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点P运动的路程为， 则，，， 则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 当点A在点B的左侧时，根据题意，得，故， 解得，符合题意； 故，此时，点P表示的数为； 当点A在点B的右侧时，根据题意，得，故， 解得，符合题意； 故，此时，点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为或． 7．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②3 (2)①；② (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用路程速度时间，可求出当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长； （2）当点沿点运动时，利用的长点的速度点的运动时间，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，利用的长的长一点的速度点的运动时间，即可用含的代数式表示出线段的长； （3）分及两种情况考虑，当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是线段的中点， ∴此时线段． 故答案为：①4 ；②3 ； （2）解：根据题意得：当点沿点运动时，； 当点沿点运动时，． 故答案为：①；②； （3）解：存在，当时，， 根据题意得：， 解得：； 当时，， 根据题意得：， 解得：． 答：在运动过程中，存在点，使得的值为或． 8．如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或6 (2) (3) 【分析】（1）先求出A，B表示的数，再根据题意表示出P，Q两点，根据即可求出v； （2）表示出，，，求出，关于t的式子，再代入，化简得到，可得，结合为定值，即可求出m，n的关系； （3）先求出当时，代数式的最小值，再表示P为t，Q为，M为，而为的中点，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴A为10，B为40 由题意可得：当时，P为，Q为， ∵， ∴，即， 解得或6． （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10， ∴P为，E为， Q为，F为， 则，， ∴， 设， ∴， ∵k为定值， ∴且， ∴， 综上，． （3）解：∵ 而， ∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时． ∴， ∵P为t，Q为，M为，而为的中点， ∴， 解得：； 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，绝对值的含义，非负数的性质，线段中点的含义，解题的根据是根据数轴上的点运动的特点找到数量关系列方程求解． 题型三、线段的中点问题模型 9．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 10．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且，规定A、B两点之间的距离记作． (1)求A、B两点之间的距离； (2)设点P在线段之间且在数轴上对应的数为x，当时，求x的值； (3)若点P在线段之外，N、M分别是的中点．对于①的值，②的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数． 【答案】(1)6 (2) (3)的结果与点P位置有关，不为常数，的值为常数，这个常数为3 【分析】本题考查了绝对值和完全平方式的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的意义等知识点． （1）先由绝对值和完全平方式的非负性求出，再代入公式求解即可； （2）先表示出，，再由建立方程求解； （3）分两种情况讨论，结合绝对值的意义以及线段和差求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴，， ． （2）解：由上可得点A在数轴上对应的数为，点B对应的数为， ∵P在A、B之间，， ∵， ∴， ∴． （3）解：②的值是一个常数， 当点P在线段的左侧时， 有， 当点P在线段的右侧时， 有， ∴点P在线段之外时总有， 而的结果与点P位置有关，不为常数， ∴的值为常数，这个常数为3． 11．数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．一般地，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为．比如，，那么两点间的距离，线段的中点所表示的数为．如图，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为8． 应用以上知识解决下列问题： (1) ______，的中点所表示的数为______； (2)数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16，求点表示的数； (3)若点是数轴上任意一点，点位于两点之间，已知点到点的距离为2，点到点的距离为3，为线段中点，为线段中点，求点到点的距离． 【答案】(1) (2) (3)点到点的距离为或 【分析】本题考查阅读理解，涉及数轴上两点之间距离求法、线段中点求法，理解题意，掌握数轴上两点之间距离求法、线段中点求法是解决问题的关键． （1）根据题中材料所给数轴上两点之间距离求法、线段中点求法代值求解即可得到答案； （2）由根据题中材料所给数轴上两点之间距离求法，数形结合列出方程求解即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况：当点在点右侧；当点在点左侧；再由两点之间距离及数轴上中点求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为，点表示的数为，点表示的数为8， ；的中点所表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点表示的数是， 数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16， ， 解得， 则点表示的数是； （3）解：根据题意，可分两种情况： 当点在点右侧，如图所示： 点表示的数为，点表示的数为8， 点表示的数为，点表示的数为5， 为线段中点，为线段中点， 点表示的数为，点表示的数为， 则点到点的距离为； 当点在点左侧，如图所示： 点表示的数为，点表示的数为8， 点表示的数为，点表示的数为5， 为线段中点，为线段中点， 点表示的数为，点表示的数为， 则点到点的距离为； 综上所述，点到点的距离为或． 12．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，． 题型四、三角板中的角度计算模型 13．以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【分析】（）根据角的和差关系求解即可； （）设，则，由角的和差关系可得，求出进而即可求解； （）由平角定义得，由角平分线的定义得，进而由余角性质得，即可说明； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，   ∴； （2）解：设，则， ∵，     ∴， 解得，     即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分，     ∴， 又∵， ∴， 即所在射线是的平分线． 14．如图1，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，三角板可以绕点转动． (1)如图2，若，当三角板的边落在上时，则___________； (2)如图3，若始终在的内部，且，求的度数； (3)若在直线上方，且直线恰好平分，请画出草图并直接写出的度数（可以用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或； (3)为或． 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算； （1）先画出图形，再利用角的和差运算计算即可； （2）分两种情况讨论：当在的右边时，当在的左边时，再画出图形，结合角的和差运算可得答案； （3）分两种情况讨论：当在的右边时，当在的左边时，再画出图形，结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴； （2）解：如图，当在的右边时， ∵始终在的内部，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的左边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：如图，在直线上，在的右边， ∵，直线恰好平分， ∴， ∴； 如图，当在的左边时， ∵，直线恰好平分， ∴， ∴， ∴； 综上：为或． 15．如图1，点是直线上一点，三角板其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若秒时， 度； (2)当在的左侧且平分时，求的值； (3)如图，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意，当秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，分别表示出当在的左侧且平分，则，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时， ， ， ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵当在的左侧且平分， ∴ ∴ 解得： （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 【点睛】本题考查角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意列出方程求解是解决问题的关键． 16．在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义． （1）根据计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据即可求解； （3）分两种情况讨论：①在内；②在外，根据已知角度关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，与射线重合， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况：当在内时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当在外时， ，， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：． 故答案为：或． 题型五、几何图形中的角度计算模型 17．已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由． (3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形，并直接写出相应的的度数．（不必写出过程） 【答案】(1) (2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (3)为或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（3）的关键． （1）根据，分别平分和，得出，，求出，根据平分，得出，最后求出结果即可； （2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可； （3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：设旋转角为， ①当时，如图， ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； ②当时，在的下方，如图，    ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 18．如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角角平分线的有关计算． （1）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案； （2）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案； （3）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．【知识链接】旋转是运动学中的一个概念，指的是一个物体绕着一个固定的点或者轴旋转，使得物体或者点在平面上或者空间中呈现出旋转的运动状态．旋转也是一种常见的物理现象，也广泛应用于各个领域中，比如机械工程、航空航天、数学、物理、计算机图形学等．在数学中，旋转则是研究对称性和变形的重要工具，可用于研究复杂的几何图形等．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 【问题解决】如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线上，且，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转（时钟指针运动的方向），且平分平分，如图2，当时，求的度数； 【灵活运用】在图1中的直角三角尺旋转过程中，若平分平分，设，且，求的度数； 【拓展迁移】三角形的一个顶点O在直线上，一边在射线上，将三角形绕点O顺时针方向旋转（时钟指针运动的方向）（如图3），且旋转角的度数在到之间，平分平分，请通过计算找出与的数量关系． 【答案】问题解决：；灵活运用：；拓展迁移 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，三角板中角的有关计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 问题解决：先求出，，再根据角平分线定义得出，，最后求出结果即可； 灵活运用：分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可； 拓展迁移分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，根据角平分线定义求出结果即可． 【详解】解：问题解决：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴； 灵活运用：当在上方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； 综上分析可知：； 拓展迁移：当在上方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； ； 当在下方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； ； 综上分析可知：． 20．【知识再现】 《几何图形初步》这一章中我们学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．动手将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点落在处，若，求的度数； 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点分别落在点处，和在同一条直线上，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）①② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）由折叠可知：，进而根据平角的定义，即可求解． （2）根据、即可求解； （3）①根据、、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知： ∴； （2）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （3）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 故答案为：． 题型六、角的旋转问题模型 21．如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 【答案】(1)4；8 (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的和差的表示，数形结合思想以及分类讨论思想是本题解题的关键． （1）由题意可设线段的运动速度为 ，则点的运动速度为 ，再由两者的运动路程之和为，列方程即可求得． （2）由（1）可知，分两种情况，即点在点的右侧或者点在点的左侧，即可求得． （3）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为，分两种情况： 平分，所在的直线平分，即可求得． 【详解】（1）解：设线段的运动速度为，则点的运动速度为，根据题意列方程得， ， 解得：， ， 答：线段的运动速度为，则点的运动速度为， 故答案为：4；8； （2）由（1）可知，，， 设再经过秒，， ①当点在点的右侧时，，， ， 解得：， ②当点在点的左侧时，，， ， 解得：， 答：再经过或秒时，． （3）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为， ①若平分，， 解得：， ②若所在直线平分，， ， 解得：， 综上所述，经过或秒时，所在直线平分． 22．已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． (1)若射线平分，则 ． (2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义计算即可得解； （2）由题意可得，，，再分两种情况：当在外部时；当在内部时；分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （3）由题意可得，表示出，，结合建立关于的方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且， ∴， ∵射线平分， ∴； （2）解：∵射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动， ∴， ∵开始时与重合，其中与重合、与重合，以每秒的速度顺时针运动， ∴，， 如图，当在外部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 如图，当在内部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图： ∵将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为， ∴， ∴， ∵为的三等分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴的值为． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23．如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °； (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 【答案】(1)22.5 (2)144 (3)第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒 【分析】本题是几何变换的综合题，考查了一元一次方程的应用，角平分线定义，角度的计算，正确画出图形并分类讨论是解题的关键． （1）根据角的平分线的定义和平角的定义即可解答； （2）根据设未知数，由列方程即可解答； （3）正确画图，分三种情况讨论，列一元一次方程即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：22.5； （2）解：如图3，设，则，    由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：144； （3）解：三角板运动时间为：， 射线运动时间为：， 设运动时间为t秒， 当射线与重合时，如图4，    有， ∴； 当射线恰好与射线成角时，存在以下三种情况： ①当时，如图5，有，    ∴； ②当时，如图6，有，    ∴； ③后，射线停止，三角板继续旋转，    有（如图7）或（如图8）， ∴和； 综上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒时，射线恰好与射线成角． 24．问题情境： 数学活动课上，张老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）张老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，，则______； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，三角尺保持不动状态，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①求为多少秒时，边落在边上； ②当边旋转至内部且满足时，求此时的值； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．请你直接写出为何值时，． 【答案】（1） （2）①24；②18 （3）的值为或或或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用、三角板中的度数计算． （1）利用角度的减法即可求出答案； （2）①利用有理数的运算列式计算即可；②利用有理数的运算列式计算即可； （3）分情况列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）①（秒）， 故答案为：24； ②（秒）， 故答案为：18； （3）当三角尺的边首次落在直线上时，所需要的时间为：（秒）， 当秒或秒时，在的上方，当时，在的下方， 当秒时，或， 解得：或； 当时， 解得： 当秒时， 解得：； 总上所述：当的值为或或或时，． 题型七、角平分线有关计算模型 25．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 26．点O为直线上一点，在直线上侧任作一个，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，请求出与之间的倍数关系，即 （填一个数字）； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题主要考查角度的求解；解题的关键是熟知角平分线的定义及角的和差关系． （1）设，求出，由平分，得，最后由，求出即可； （2）设，求出，由平分、平分 ，求出即可； （3）设，则，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）设， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设，则， ∴， ∴结合（2）可得：， 解得：， ∴． 27．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线．若时．则________，__________； (2)如图二，过点作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是_________（直接填空）； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）①根据角平分线的定义求出和，再根据求解；②同理①即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ． 28．一个问题的解决往往经历“发现猜想一一探索归纳一一问题解决”的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为_____； 【探索归纳】（2）如图①，若，，为的角平分线，猜想的度数（用含，的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，三条射线同时旋转，当射线、射线中的一条与直线重合，或射线与射线重合时（点、A、在同一直线上），三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）秒，秒，秒 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用、角的和差等知识点，是熟练掌握角平分线的定义，理清各个角之间存在的数量关系是解决本题的关键． （1）先根据角的和差求得，再根据角平分线的定义求得，再根据角平分线的定义解答即可； （2）先根据角的和差求得，再根据角平分线的定义求得，再根据角平分线的定义解答即可； （3）根据各角之间存在的数量关系，设经过的时间为x秒时，分别用x将表示出来，然后分五类情况讨论，分别根据角平分线的定义列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴为的角平分线， ∴， ∴． （2），， ， 为的角平分线 ． （3）设经过的时间为秒， 则；； ①当时，为，的角平分线； ∴，即， ∴，解得：（舍去）； ②当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ④当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ⑤当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：（舍去）． 综上，经过秒，秒，秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 题型八、相交线角度计算模型 29．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义及角的和差，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角之间的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，而， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 30．如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离． （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短； （3）解：∵，平分， ∴， ∴． 31．如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据角平分线的定义解答即可求解； （）分在的同侧和异侧两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：当在的同侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在的异侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 32．如图，直线，相交于点，平分．    (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、对顶角相等、垂直、一元一次方程的几何应用，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据对顶角相等即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再设，则，根据角平分线的定义可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线，相交于点， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 33．如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)3或1 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是关键． （1）利用计算出，则，再利用得到，然后计算，即可得到结果； （2）利用线段中点的定义，讨论：当点P在B、C之间时，计算；当点P在A、B之间时，计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点 ∴， ∴； （2）解：∵Q为中点， ∴， ∵， ∴， ①当点P在B、C之间时，， ②当点P在A、B之间时，． 故线段的长为3或1． 34．如图，线段的长为，点C为线段的中点，D为线段上一点，且． (1)若，①求线段的长________；②求所有线段长度的总和________． (2)若为直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)①2；②38 (2)1或 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，，利用线段的和差即可求出线段的长；②由图可得，线段有、、、、、，共6条，将这6条线段的长相加即可得出答案； （2）根据题意，对点的位置分三种情况讨论：①点在延长线上；②点在线段上；③点在延长线上，画出对应的示意图，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：①∵线段的长为，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∵D为线段上一点，且， ∴，， ∴； 故答案为：2； ②由图可得，线段有、、、、、，共6条， ∴所有线段长度的总和为 ， 故答案为：38； （2）解：∵D为线段上一点，且， ∴，， ①若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ②若点在线段上，则， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； ③若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，的值为1或． 35．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 36．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程，非负性问题等知识，解题的关键是找准等量关系列出方程． (1) 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，即可得到答案； (2) 根据数轴上两点的距离和线段的中点的性质，得出点C表示的数为； (3) 当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而得出，，再结合，得到关于的绝对值方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， 即点表示的数是，点表示的数是5； 故答案为：，5． （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是5， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点表示的数是． （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表小的数为． ∴，． ∵， ∴， 即或， 解得或． ∴当时，运动时间的值为或． 37．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)128 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系等知识，解题的关键是： （1）根据平分线定义得出，，结合图形，根据角的和差关系可得出，即可求解； （2）类似（1）的思路即可求解． 【详解】（1）解：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：128； （2）解： 理由：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∴． 38．定义：如图①，射线在的内部，图中共有个角：，，．若其中有一个角是另一个角的倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数=___________； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 【答案】(1)或或或 (2)或或 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“巧分线”定义是解答本题的关键． （1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）根据“巧分线”定义分种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：，且射线在的“巧分线”， 或或或， ， 或或或； 故答案为：或或或； （2）根据题意得：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当为或或时，射线是的“巧分线”； 39．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分两种情况讨论：当平分时；当的反向延长线平分时；分别求出旋转的角度，再结合每秒的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是：， ， ； 如图，当的反向延长线平分时， ， ， 旋转的角度是：， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，等式的性质，对顶角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． 40．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 【答案】(1) (2) (3)为定值，这个定值为 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，由平角的性质可得，由此即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，设，则，，由此可得，根据，即可求解； （3）根据可以得可得，运动的速度差为秒，，用含的式子分别表示出，再根据题意计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∵， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 由（1）可得，， ∵三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，设运动时间为秒， ∴速度差为秒，， ∴，， ∴， ∴为定值，这个定值为． 41．如图，点在直线上，，射线在内部． (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 ； (2)如图2，当，，垂足为点O，求度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)160 (2) 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义和角的计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，用量角器画出射线即可，再计算度数即可； （2）根据垂直的定义得，再利用角的和与差即可得度数． 【详解】（1）解：，， ， ； 如图： 故答案为：160； （2）解：如图2， ， ， 时， ． 42．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．    【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的意义求出，再由求解即可； （2）先由角平分线的定义得出，再求出，利用等式的性质即可证明； （3）先由角平分线的意义和角的和差得出，再分两种情况进行讨论：①当在直线下方时，②当在直线上方时，进行求解即可． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当在直线下方时，； ②当在直线上方时，； 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 43．已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 【答案】（1）①40；②；（2）①；②． 【分析】（1）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； （2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，从而可得，再根据即可得． 【详解】解：（1）①， ， 平分， ， ， ， 故答案为：40； ②， ， 平分， ， ， ； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②如图，由（2）①已得：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键． 44．如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）由垂直得，即得，进而得，即得到，即可求证； （）由垂直得，即得，进而可得，得到，再根据角的和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，角的和差，掌握垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 45．如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为平分线． 46．已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 【答案】(1)的值为； (2)的大小为或，过程见解析； (3)或 【分析】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解； （2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求的大小，分射线在内部；射线在外部，两种情况进行讨论； （3）根据题意列出和关于时间的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解． 【详解】（1）解： ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）解：平分，， ，， 当射线在内部时，   ，， ， ， 当射线在外部时，   ，， ， ， 故的大小为或； （3）解：当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角度的比例关系，补角的计算，绝对值的化简，几何图形中角度的运算，解题的关键是：（1）根据比例关系和补角的定义列式，（2）分情况讨论射线可能存在的位置，（3）正确列出角关于运动时间的关系式，熟练应用绝对值的化简进行求解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单的几何图形常考几何模型8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1 题型二、线段的动点问题模型 2 题型三、线段的中点问题模型 3 题型四、三角板中的角度计算模型 5 题型五、几何图形中的角度计算模型 6 题型六、角的旋转问题模型 8 题型七、角平分线有关计算模型 8 题型八、相交线角度计算模型 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 2．还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系． （1）通过观察图1几何体，完成以下表格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 五面体 六面体 （2）通过对图1所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：______． 【实际应用】 （3）足球一般有块黑白皮子缝合而成（如图2），且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可以近似把足球看成一个多面体，你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 3．（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 4．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 题型二、线段的动点问题模型 5．如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点P为的中点，则x的值为 ，点P到点A的距离 ， ； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 ； 若点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为 （用含x的式子表示）； (3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数． 7．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 8．如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 题型三、线段的中点问题模型 9．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 10．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且，规定A、B两点之间的距离记作． (1)求A、B两点之间的距离； (2)设点P在线段之间且在数轴上对应的数为x，当时，求x的值； (3)若点P在线段之外，N、M分别是的中点．对于①的值，②的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数． 11．数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．一般地，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为．比如，，那么两点间的距离，线段的中点所表示的数为．如图，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为8． 应用以上知识解决下列问题： (1) ______，的中点所表示的数为______； (2)数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16，求点表示的数； (3)若点是数轴上任意一点，点位于两点之间，已知点到点的距离为2，点到点的距离为3，为线段中点，为线段中点，求点到点的距离． 12．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 题型四、三角板中的角度计算模型 13．以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 14．如图1，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，三角板可以绕点转动． (1)如图2，若，当三角板的边落在上时，则___________； (2)如图3，若始终在的内部，且，求的度数； (3)若在直线上方，且直线恰好平分，请画出草图并直接写出的度数（可以用含的式子表示）． 15．如图1，点是直线上一点，三角板其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若秒时， 度； (2)当在的左侧且平分时，求的值； (3)如图，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 16．在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 题型五、几何图形中的角度计算模型 17．已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由． (3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形，并直接写出相应的的度数．（不必写出过程） 18．如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数． 19．【知识链接】旋转是运动学中的一个概念，指的是一个物体绕着一个固定的点或者轴旋转，使得物体或者点在平面上或者空间中呈现出旋转的运动状态．旋转也是一种常见的物理现象，也广泛应用于各个领域中，比如机械工程、航空航天、数学、物理、计算机图形学等．在数学中，旋转则是研究对称性和变形的重要工具，可用于研究复杂的几何图形等．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 【问题解决】如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线上，且，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转（时钟指针运动的方向），且平分平分，如图2，当时，求的度数； 【灵活运用】在图1中的直角三角尺旋转过程中，若平分平分，设，且，求的度数； 【拓展迁移】三角形的一个顶点O在直线上，一边在射线上，将三角形绕点O顺时针方向旋转（时钟指针运动的方向）（如图3），且旋转角的度数在到之间，平分平分，请通过计算找出与的数量关系． 20．【知识再现】 《几何图形初步》这一章中我们学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．动手将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点落在处，若，求的度数； 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点分别落在点处，和在同一条直线上，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，将长方形纸片分别沿直线折叠，使点分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______（用含的式子表示）． 题型六、角的旋转问题模型 21．如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 22．已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． (1)若射线平分，则 ． (2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 23．如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °； (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 24．问题情境： 数学活动课上，张老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）张老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，，则______； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，三角尺保持不动状态，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①求为多少秒时，边落在边上； ②当边旋转至内部且满足时，求此时的值； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．请你直接写出为何值时，． 题型七、角平分线有关计算模型 25．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 26．点O为直线上一点，在直线上侧任作一个，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，请求出与之间的倍数关系，即 （填一个数字）； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 27．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线．若时．则________，__________； (2)如图二，过点作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是_________（直接填空）； 28．一个问题的解决往往经历“发现猜想一一探索归纳一一问题解决”的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为_____； 【探索归纳】（2）如图①，若，，为的角平分线，猜想的度数（用含，的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，三条射线同时旋转，当射线、射线中的一条与直线重合，或射线与射线重合时（点、A、在同一直线上），三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 题型八、相交线角度计算模型 29．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 30．如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 31．如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 32．如图，直线，相交于点，平分．    (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 33．如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 34．如图，线段的长为，点C为线段的中点，D为线段上一点，且． (1)若，①求线段的长________；②求所有线段长度的总和________． (2)若为直线上一点，且，求的值． 35．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 36．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 37．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 38．定义：如图①，射线在的内部，图中共有个角：，，．若其中有一个角是另一个角的倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数=___________； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 39．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 40．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 41．如图，点在直线上，，射线在内部． (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 ； (2)如图2，当，，垂足为点O，求度数（用含的式子表示）． 42．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．    43．已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 44．如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 45．如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 46．已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $