专题04 简单的几何图形章末压轴10题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题04 简单的几何图形章末压轴10题型 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系问题 压轴题型二、立体图形的展开图问题 压轴题型三、直线、射线、线段联系与关系问题 压轴题型四、线段中点的有关计算问题 压轴题型五、线段动点问题 压轴题型六、三角板的角度计算问题 压轴题型七、角的旋转问题 压轴题型八、角平分线的相关计算问题 压轴题型九、钟面角有关的计算问题 压轴题型十、相交线中角度计算问题 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系问题 1．阅读与思考 下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 多面体欧拉公式 欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式． 表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（） 多面体编号 顶点数（） 面数（） 棱数（） 任务： (1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____ (2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数． (3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由． (4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？ 2．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 3．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 4．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 压轴题型二、立体图形的展开图问题 5．某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒（有盖）．设计组参照图1的两款心愿语盒，分别设计了如图2所示的两种对应的展开图（不考虑接缝）以供选择，但设计稿还没完全画完． 材料组准备了图3的三种类型的卡纸供选择，规格如表： 卡纸型号 型号I 型号II 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 任务一：（1）请帮设计组在图2中把两张设计稿补充完整（各一种方案即可）； 任务二：（2）设计组在对型号的卡片进行设计时发现此卡片如果用来做边长为正方体纸盒只能做1个，利用率不高，所以打算用型号的卡片来做一个有盖的长方体纸盒（不考虑接缝），由于卡片已经被制作组的成员在左上角减去了一个边长为的正方形纸片，所以制作组想干脆做一个深度为的体积尽量大的长方体纸盒，请你在图中画出设计稿（减去的部分打阴影，棱长用实线描出），并算出这个纸盒的体积． 任务三：①型号II的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图； ②型号III的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图，请你在型号III的卡纸上，画出此方案（只画外轮廓即可）． 6．新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 7．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 8．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 压轴题型三、直线、射线、线段联系与关系问题 9．直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 10．（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 11．一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 12．【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 压轴题型四、线段中点的有关计算问题 13．数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 14．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 15．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b．A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为4，两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，当P、Q两点第二次相遇时，请直接写出所需要的时间． 16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 压轴题型五、线段动点问题 17．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 18．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 19．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    20．如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______； (2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 压轴题型六、三角板的角度计算问题 21．综合与实践 从A、B两题中任选一题作答，我选择______题． A．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分． ①的值是______； ②此时是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． B．已知，是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 22．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． (1)若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； (2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； (3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 23．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 24．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 压轴题型七、角的旋转问题 25．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 26．综合与探究 【问题情景】 小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． (1)【问题解决】 如图①，直接写出的度数为_________； (2)【拓展延伸】 如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数； ②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 27．在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 28．【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 压轴题型八、角平分线的相关计算问题 29．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 30．解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】 （2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 31．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 32．已知：． (1)如图1，射线在的内部 ①若平分，求的度数； ②若，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若将绕点以15度/秒的速度逆时针旋转，得到，同时以10度/秒的速度绕点顺时针旋转，得到，当射线和重合时停止运动．设运动时间为，当射线平分时，求对应的值． 压轴题型九、钟面角有关的计算问题 33．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 34． 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为 °． (2)①经过 小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为 °． (3)①在表盘中分针每分钟转过 °，时针每分钟转过 °； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过 分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 35．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②在的内部作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 36．【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 压轴题型十、相交线中角度计算问题 37．如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 38．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 39．如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． (1)已知是的关联角．当时，_____． (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为_____． 40．已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 简单的几何图形章末压轴10题型 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系问题 压轴题型二、立体图形的展开图问题 压轴题型三、直线、射线、线段联系与关系问题 压轴题型四、线段中点的有关计算问题 压轴题型五、线段动点问题 压轴题型六、三角板的角度计算问题 压轴题型七、角的旋转问题 压轴题型八、角平分线的相关计算问题 压轴题型九、钟面角有关的计算问题 压轴题型十、相交线中角度计算问题 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系问题 1．阅读与思考 下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 多面体欧拉公式 欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式． 表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（） 多面体编号 顶点数（） 面数（） 棱数（） 任务： (1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____ (2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数． (3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由． (4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？ 【答案】(1)； (2)个 (3)不能切出有条棱的多面体，理由见解析 (4)理由见解析 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用， （1）先根据四面体、长方体、正八面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数、面数、棱数之间存在的关系式即可； （2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个，由题意可得面数，解方程求出的值即可； （3）若，根据欧拉公式得，再根据，，且、、都是正整数，分两种情况作进一步分析即可； （4）设顶点数为，得，，，设六边形的个数为个，则五边形的个数为个，继而得出，解得：，可得结论； 得出顶点数、面数、棱数的数量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：四面体的顶点数为、面数为，棱数为，则， 长方体的顶点数为、面数为，棱数为，则， 正八面体的顶点数为，面数为，棱数为，则， ∴关系式为：， ∴顶点数为、面数为，棱数为， 故答案为：；； （2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个， ∵每个顶点处都有条棱，共有棱条，一条棱有两个顶点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（个）， ∴该多面体三角形的个数为个； （3）不能切出有条棱的多面体．理由如下： ∵， 若，则， ∵，，且、、都是正整数， 当时，，不存在这样的多面体； 当时，，不存在这样的多面体； ∴不能切出有条棱的多面体； （4）设顶点数为， ∵每个顶点处都有条棱，一条棱有两个顶点， ∴，， ∴， 设六边形的个数为个，则五边形的个数为个， ∴， 解得：， ∵随着的增多而增多，即六边形的面数也会增多． 2．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【答案】(1)5，8，12，6，8，13，7，10，15，7 (2) 【分析】本题考查了截一个几何体，规律型：数字变化类． （1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下即可； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：见表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9 5 （c） 8 12 6 （d） 8 13 7 （e） 10 15 7 故答案为：5，8，12，6，8，13，7，10，15，7； （2）解：观察上表可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式为． 3．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 【答案】任务一：12；任务二：20；任务三：35 【分析】本题考查简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系，即欧拉公式，代数式求值，理解掌握欧拉公式是解题的关键． 任务一直接由欧拉公式求解即可； 任务二：顶点数为，面数为，棱数为，代入欧拉公式求解即可； 任务三：由任务二可知，得，代入，得，然后将变形为，再整理体代入即可求解． 【详解】解：任务一：由题意得：，解得：，故这个多面体的顶点数为； 任务二：由题意得，顶点数为，面数为，棱数为， 依照欧拉公式建立等式： ，即， 则的值为； 任务三：由任务二可知，则， 又， 则， 化简后，， 故． 4．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：． 压轴题型二、立体图形的展开图问题 5．某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒（有盖）．设计组参照图1的两款心愿语盒，分别设计了如图2所示的两种对应的展开图（不考虑接缝）以供选择，但设计稿还没完全画完． 材料组准备了图3的三种类型的卡纸供选择，规格如表： 卡纸型号 型号I 型号II 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 任务一：（1）请帮设计组在图2中把两张设计稿补充完整（各一种方案即可）； 任务二：（2）设计组在对型号的卡片进行设计时发现此卡片如果用来做边长为正方体纸盒只能做1个，利用率不高，所以打算用型号的卡片来做一个有盖的长方体纸盒（不考虑接缝），由于卡片已经被制作组的成员在左上角减去了一个边长为的正方形纸片，所以制作组想干脆做一个深度为的体积尽量大的长方体纸盒，请你在图中画出设计稿（减去的部分打阴影，棱长用实线描出），并算出这个纸盒的体积． 任务三：①型号II的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图； ②型号III的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图，请你在型号III的卡纸上，画出此方案（只画外轮廓即可）． 【答案】（1）图见解析（2）图见解析，；（3）①3；②4，图见解析 【分析】本题考查正方体和长方体的展开图，熟练掌握正方体和长方体的展开图，是解题的关键： （1）根据正方形的展开图，补全设计稿即可； （2）根据长方体的展开图，补全设计稿，根据长方体的体积公式进行计算即可； （3）分别在型号II的卡片和型号III的卡片上画图，求解即可． 【详解】（1）补全设计稿如图所示：（答案不唯一）； （2）解：由题意，设计稿如图所示， 长方体的长为，宽为，高为，体积为； （3）①如图，型号II的卡片最多可以剪出个图①的心愿语盒A的展开图；最多可以剪出3个图①的心愿语盒B的展开图； 故答案为：3 ②如图，型号III的卡片最多可以剪出4个图1的心愿语盒的展开图； 6．新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 【答案】(1)B (2)①2，3；②1，1，2，23 【分析】（1）根据几何体的展开图即可求解； （2）①分别在型号Ⅱ的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开图即可得出答案； ②由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作6个心愿语盒B，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，即可求解． 【详解】（1）解：心愿语盒B的底面和对应的顶面都是由两个长方形拼合成，只有展开图2有长方形， ∴展开图2可以围成心愿语盒B， 故答案为：B； （2）解：①如图，一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出2个心愿语盒A的展开图，或3个心愿语盒B的展开图； 故答案为：2，3； ②如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每张卡纸可制作不到6个心愿语盒A，则每个心愿语盒A成本大于， 由①得型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸1张，型号Ⅰ卡纸1张，则（个），此时总成本最低， ∴所用卡纸总费用为：（元）． ∴我的方案是：型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张，所选卡纸的总成本是23元． 故答案为：1，1，2，23． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 7．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解； （2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解； （3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 8．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可； 根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为； 根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体； B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体； C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体； D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体； 故选：C． （2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为， 当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形， 则纸盒的体积为：； （3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为， 折好的长方体纸盒的体积为， 当、时， 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． 压轴题型三、直线、射线、线段联系与关系问题 9．直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题．直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形即可求解． 【详解】解：如图， 直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形就可以了． 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 所以这些线段一共有2475个交点． 故选：B． 10．（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【分析】（）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据（）、（）的结果找到规律即可求解； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题，据此即可求解；②根据火车往返是双向的，结合票价数量解答即可求解； 本题考查了线段的定义及其应用，找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 11．一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)99套 【分析】本题考查线段的数量问题： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）根据给定的方法，进行求解即可； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，根据甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，确定的范围，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，5人参与游戏时使用密码的总套数为10，即：； （2）2人参与游戏时，每人使用1套密码，共1套密码； 3人参与游戏时，每人使用2套密码，共有套密码； 4人参与游戏时，每人使用3套密码，共有套密码； 5人参与游戏时，每人使用4套密码，共有套密码； ， ∴当有个人参与游戏时，每个人使用套密码，共有套； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，（为正整数） ∵甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备， ∴， ∴， ∵甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差最大， ∴， ∴甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值为（套） 12．【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． （1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 压轴题型四、线段中点的有关计算问题 13．数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 【答案】(1)，，，． (2)或 (3) 【分析】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）先求解绝对值方程，即可求解a、b，再根据平方和绝对值的非负性可求解c、d． （2）先表示出、、、四个点在运动中对应的数，再分别表示中点对应的数，再根据两点之间的距离公式列方程求解即可． （3）根据A、B、C、D四个点在运动中对应的数，结合重合时，重合时，建立方程求解临界值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． （2）解：∵、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵的中点与的中点距离3个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为或时，的中点与的中点距离3个单位长度． （3）解：∵，， 当重合时， ∴， 解得：， 当重合时， ∴， 解得：， ∴当时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 14．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 15．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b．A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为4，两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，当P、Q两点第二次相遇时，请直接写出所需要的时间． 【答案】(1)12， (2)①；② (3)6秒 【分析】本题为数轴上动点问题，考查了绝对值的几何意义，列代数式，一元一次方程的应用，中点定义等知识，理解题意，用含t的式子表示运动后点表示的数是解题关键． （1）根据绝对值的意义即可求出求出，根据中点定义即可求出线段的中点表示的数为； （2）①根据题意即可得到点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据P、Q两点相遇时得到方程，即可求出解得，P、Q两点相遇，此时相遇点表示的数为1． （3）根据第一次相遇与第二次相遇两个点的路程之和都是12，速度不变，即可得到从第一次相遇到第二次相遇时间不变，还是3秒，即可求出总用时为6秒． 【详解】（1）解：，线段的中点表示的数为． 故答案为：； （2）解：①点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：12，； ②当P、Q两点相遇时， 解得， ． 答：求当时，P、Q两点相遇，此时相遇点表示的数为1； （3）解：由（2）得，P、Q两点从开始运动到第一次相遇共用时3秒，当按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，第二次相遇时路程之和为12个单位， 所以P、Q两点从第一次相遇到第二次相遇用时仍然为3秒． 所以总用时为秒． 16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)， (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据“，”再结合点、点在数轴上的位置，即可求出点、点表示的数； （2）根据点、点运动方式表示出点、点坐标，再根据中点坐标公式表示出点坐标，最后根据两点之间距离公式表示出线段的长度，还可根据“当两点相遇时停止运动”求出时间的范围； （3）先根据点位置求出点坐标，再根据两点之间距离公式表示出长度，在讨论长度时需要分类讨论点与点的位置关系，最后把三条线段长度代入即可列出方程，解出． 【详解】（1）解：， 点在点的右侧，且 故答案为：， （2）点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动， 点坐标为： 点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， 点坐标为： 点为线段的中点， 点坐标为： 当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动 线段的长度 （3）点在线段上，且， ，，点坐标为： 由（2）可知，点坐标为：，且在点左边， 当点在点右边时，即， 解得 当点不在点右边时，即， 解得 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点之间距离公式和两点之间中点坐标公式．解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，在表示两点之间距离时需要对两个点的位置关系进行分类讨论． 压轴题型五、线段动点问题 17．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 18．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①1或；②的值不变，为 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义等知识，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系并结合已知可得出，然后代入计算即可； （2）①根据题意画出图形分析求解即可； ②设，结合已知可求出，，，，结合可得出关于b的方程，解方程求出b，即可求出，然后根据线段中点定义和线段和差关系求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：①∵，， ∴，即， ∴，， ∵Q是直线上一点，且， ∴Q的位置有两种情况： 点Q在点的延长线上，如图， ∴， ∴； 点Q在线段上，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为1或； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵C，D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不变，为． 19．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或或或12，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②，③，即可求解； （3）分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或或或12，理由如下： ①当是、的“巧点”， （ⅰ）如图，   ， ，， ， ， 解得：， （ⅱ）如图，   ， ，， ， ， 解得：； （iii）当，即时， ∴， 解得：； ②当是、的“巧点”， （ⅰ）图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； （ⅱ）如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； （iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上所示：当t为或或或或12时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 20．如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______； (2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3 (2)当时，点的运动时间的值为或20 (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键． （1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案； （2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可； （3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴， ∴， ∵线段， ∴， ∴． 故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点， ∴， 解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理： 解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下： 如图， 为的中点，为的中点， 压轴题型六、三角板的角度计算问题 21．综合与实践 从A、B两题中任选一题作答，我选择______题． A．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分． ①的值是______； ②此时是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． B．已知，是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】A题，A（1）①5；②是，理由见解析；（2）经过5秒时，平分，理由见解析；（3）秒或秒，作图见解析，理由见解析；B（1）；（2）；（3）①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． A（1）①根据邻补角求得，根据角平分线的定义可得，则三角板绕点旋转了，根据路程除以速度，即可求解； ②根据①得出，即可得出结论； （2）根据三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转，设为，则为，进而根据，列出方程，解方程，即可求解； （3）有两种情况，当射线在直线上方时，当射线在直线下方时，在（2）的基础上，根据题意列出方程，解方程即可求解； B题 （1）根据邻补角可得，根据角平分线的定义以及图形可得，即可求解； （2）同（1）的方法求解即可； （3）①分别用含的式子，表示出，即可求解； ②设，，根据（2）得出，由（3）得，代入，即可求解． 【详解】A题. 解：（1）①如图2，∵， ∴ ∵恰好平分 ∴ ∴ 故答案为：． ②是，理由如下： 由①可知，经过5秒时，， ∴， ∴平分； （2）经过5秒时，平分，理由如下： ∵，， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴设为，则为， ∵， ∴， 解得：秒，故经过5秒时，平分； （3）根据题意，有两种情况，当射线在直线上方时，如图4①，当射线在直线下方时，如图4②， 则有，或， 解得秒或秒， ∴经过秒或秒时，； B题 解：（1）由已知得， 又是直角，平分， ∴； （2）∵ 又是直角，平分， ∴； 即； （3）； 理由：∵是直角，平分， ∴， 则得， ∴得：； ② 理由：设，， 由（2）得， ∴， 由（3）得， 左边， 右边， ∴即， ∴． 22．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． (1)若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； (2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； (3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 【答案】(1)或 (2)存在，或或 (3)或或 【分析】本题主要考查旋转的性质，角平分线，解一元一次方程，解答的关键是对所求的直线位置进行讨论，并结合图形分析清楚角之间的关系． （1）分两种情况讨论：当在下方时；当在上方时，再结合角的和差进行求解即可； （2）分①平分；②若平分；③若平分，三种情况进行讨论计算即可； （3）首先根据题意得到当与重合时，与重合时，与重合时的时间，之后再根据讨论即可． 【详解】（1）解：①如图，当在下方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度旋转， ； ②如图，当在上方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转， ， 故当或时，； （2）解：①平分，， ，解得； ②若平分，， ，解得； ③若平分， ，解得， 综上所述，或或； （3）解：由题意得： 与重合时，，解得：， 与重合时，，解得：， 与重合时： ，解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍）； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 综上所述：或或． 23．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征是解题的关键． （1）利用直角三角形的内角和直接求得； （2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （3）根据图形的旋转，设运动时间为秒，可得，，即可得知是定值． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：不变． 设运动时间为秒，则， ，， ， ． 24．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，计算即可求解； （2）根据题意得，求得，计算即可得到答案； 根据题意得，求得，计算即可得到答案； （3）分和两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图2可知，， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下， 如图3，，， ， ， ； （3）解：或，理由如下， 秒， 秒， 当时， 当时， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， 优角， 优角， ， ． 压轴题型七、角的旋转问题 25．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 26．综合与探究 【问题情景】 小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． (1)【问题解决】 如图①，直接写出的度数为_________； (2)【拓展延伸】 如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数； ②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 【答案】(1) (2)①；②，，， 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，三角板中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）利用平角的定义，进行求解即可； （2）①根据角的和差关系进行计算即可；②分在左侧，当在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）①当时，， ∴； ②∵， ∴， 由题意，得：，，， （ⅰ）如图，当在左侧时，， ， ∵直线为的三等分线， ∴或， ∴或， 解得：或； （ⅱ）如图，当在左侧时：则：，， ∴或， ∴或 ∴或； 综上：或或或． 27．在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 【答案】(1)30 (2)①；②；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角板中的角度运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，结合图形可知，利用角的和差即可求出的度数； （2）①由可得，再根据角平分线的定义可得，再利用平角的定义即可求出的度数；②仿照①中的方法，分别求出如图所示的三种位置中的度数即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：30． （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， 的度数为； ②位置1： ，， ， 平分， ， ， ； 位置2：同理位置1的方法可得：； 位置3：同理①的方法可得：． 故答案为：；；． 28．【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 【答案】（1）或；（2）的度数不会随的变化而变化，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用等知识点，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据动轴分线的定义求解即可； （2）根据是平角，以及动轴分线定义，得出，从而得出，即可求解． （3）根据为的动轴分线，分为①当时和②当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的动轴分线， 则或， 则，或， 故答案为：或； （2）解：的度数不会随的变化而变化． 理由如下：∵是平角， ， ∵分别是和的动轴分线，且， ， ， ， ， ∴的度数不会随的变化而变化． （3）解：为的动轴分线， ①当时，． 即， 解得：符合题意； ②当时，． 即， 解得：，符合题意； 综上所述，当或时，为的动轴分线． 压轴题型八、角平分线的相关计算问题 29．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 30．解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】 （2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）经过秒时，第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）①先看当为，夹角的角平分线，即平分，此时，②再看当为，夹角的角平分线，即平分，，根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，延长到E， 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过8秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合， ∴总运动时间为4秒， ①当为，夹角的角平分线，即平分，此时， ∴， ， 解得：（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分，， ∴， ∴ 解得：； ∴运动秒时，、、这三条射线会第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 31．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)40， (2)①秒或25，理由见解析；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 32．已知：． (1)如图1，射线在的内部 ①若平分，求的度数； ②若，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若将绕点以15度/秒的速度逆时针旋转，得到，同时以10度/秒的速度绕点顺时针旋转，得到，当射线和重合时停止运动．设运动时间为，当射线平分时，求对应的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】此题主要考查角的计算，角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解． （1）①求解，从而可得答案；②求解，结合，从而可得答案； （2）分两种情况讨论：如图，证明，当，，当，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴． ②∵，， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵最长旋转时间为（秒）， 如图， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图， ∵，， ∴， 解得：， 综上：或. 压轴题型九、钟面角有关的计算问题 33．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 34． 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为 °． (2)①经过 小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为 °． (3)①在表盘中分针每分钟转过 °，时针每分钟转过 °； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过 分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 【答案】(1)105 (2)①1；②135 (3)①6，0.5；②或 (4)7 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）根据图知显示时间为9时30分，易算出的度数； （2）①根据题意得到等量关系甲车走的减去乙车走的为20，即可求出追击时间； ②在第（1）问的基础上加上一小时时针走过的角度即可； （3）①表盘中分针每分钟转过为；时针每分钟转过为； ②分情况讨论，在分针与时针重合之前和之后列式计算即可； （4）根据题意先分析图6，得到，再分析图7，得到，根据已知条件即可求得的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：105； （2）①设经过小时，甲车追上乙车， 由题得， 解得：， ②， 故答案为：1；135； （3）①，， 故答案为：6，0.5； ②设经过分钟后，的度数是， <1>在分针与时针重合之前， ， 解得， <2>在分针与时针重合之后， ， 解得， 故答案为：或； （4）在图6中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 在图7中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 又， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：7． 35．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②在的内部作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）由中点的含义可得，结合，可得，再利用线段的和差可得答案； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟，30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为， 再进一步列式计算即可；②如图，在的内部作射线，使，结合角的和差与平角的含义可得答案； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针得速度差为，可得，结合平分，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵B是中点， ∴， ∴； ∵； ∴； ∴； ∴， 即的长度为； （2）解：①分针的速度为每分钟； 时针的速度为每分钟， 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为， ∴， 即时分针和时针夹角的度数为； ②如图，在的内部作射线，使， ∴， ∴； （3）解：设经过时间为t分钟，而时针与分针得速度差为， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得或． ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解题意是关键． 36．【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 【答案】(1)95，82.5 (2)①当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．②． 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程的应用及角平分线的计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据圆周角的度数可直接得出结论；利用角平分线的性质可得出结论； （2）①根据题意可知，需要分两种情况，当追上之前，当追上之后，分别求解即可； ②先算出当与重合后，活动针的位置，再计算当与重合时，的值及的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； ，， ， 当平分时，， ． 故答案为：95，82.5； （2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是． 设经过秒后，． 当追上之前， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：； 当追上之后， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：． 综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是． ②设运动的时间为秒，当与重合时， 根据题意可知，， 解得，此时旋转，旋转，即， 此时； 当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时， 由题意可知，， 解得， 此时． 即活动针停止时对应的读数为． 压轴题型十、相交线中角度计算问题 37．如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差； （1）由垂直的定义得，等量代换得，即可得证； （2）由角的和差得，即可求解； 理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以． 38．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 39．如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． (1)已知是的关联角．当时，_____． (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为_____． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或或 【分析】本题考查平角，三角形的外角和，关联角的定义，解题的关键是理解关联角的性质，利用平角，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据关联角的定义，进行解答，即可； （2）①根据关联角的定义，得，根据平角的性质，则，，再根据关联角的定义，即可；②根据关联角的定义，求出，，分类讨论：当直线位于图所示位置：若是的关联角；若是的关联角；②当直线位于图所示位置：若是的关联角；若是的关联角，利用三角形的外角和，关联角的定义，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意得，是的关联角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的关联角； ②当直线位于图所示位置， ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， 若是的关联角， ∴； 若是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当直线位于图所示位置， ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴，， 若是的关联角， ∴， ∴， ∵， ∴（舍去）； 若是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 40．已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 【答案】(1)的值为； (2)的大小为或，过程见解析； (3)或 【分析】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解； （2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求的大小，分射线在内部；射线在外部，两种情况进行讨论； （3）根据题意列出和关于时间的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解． 【详解】（1）解： ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）解：平分，， ，， 当射线在内部时，   ，， ， ， 当射线在外部时，   ，， ， ， 故的大小为或； （3）解：当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角度的比例关系，补角的计算，绝对值的化简，几何图形中角度的运算，解题的关键是：（1）根据比例关系和补角的定义列式，（2）分情况讨论射线可能存在的位置，（3）正确列出角关于运动时间的关系式，熟练应用绝对值的化简进行求解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $