精品解析：江苏省苏州市2025-2026学上学期九年级数学期中阳光测评试题

2025~2026学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初三数学 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（ ） A. 38 B. 42 C. 43 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值．通过统计每个数据的出现次数，比较后即可得出众数． 【详解】解：∵ 数据序列为：38， 42， 42， 43， 45， 45， 45； ∴ 38出现1次，42出现2次，43出现1次，45出现3次； ∴ 45的出现次数最多，故众数为45． 故选：D． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选：B． 3. 如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据在数字1、2、3、4中，2、4都是偶数，再根据概率公式进行列式计算，即可得出针指向区域所标数字为偶数的概率． 【详解】解：∵圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4， ∴指针指向区域所标数字为偶数的概率是， 故选：C 4. 若关于的一元二次方程有一根为2，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有一根为2， ∴代入得， ∴． 故选：D． 5. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，关键在于分别表示出正方形的面积和圆的面积，再根据两者面积的数量关系列出方程． 【详解】解：已知正方形孔的边长为，可得正方形的面积为． 设圆的半径为，根据圆的面积公式（其中为圆的面积，为圆的半径），可得圆的面积为． 已知正方形面积是圆面积的，即圆面积的等于正方形的面积， 可列出方程． 故选：C． 6. 已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 要解决本题，首先求出二次函数（）的对称轴为．因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大．然后分别计算点、、到对称轴的距离，距离越远，函数值越大．点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．距离大小为，所以 【详解】解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 且 ，开口向上， ∴ 点离对称轴越远，函数值越大． 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． ∵ ， ∴ ． 故选B． 7. 根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，该公司收入从2022年到2024年经历了两年增长，年平均增长率为x，根据复利增长公式，列方程即可． 【详解】∵ 2022年收入为6423亿元，年平均增长率为x， ∴ 2023年收入为亿元， 2024年收入为亿元． ∵2024年收入为8621亿元， ∴． 故选：C． 8. 二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①抛物线与x轴有两个交点可得，即可判断①；②由对称轴得到，然后结合即可判断②；③由时对应的函数值，可得出，由时对应的函数值，即可判断③；④由对称轴为直线，即时，有最大值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，则，即， ∴，②正确； 由图象得，当时，，即，当，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，③正确； 由图象时，y取得最大值，即， ∴（m为实数），④正确． 综上所述，正确的个数为4． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 数据20，20，30，40，50的中位数是___________． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了中位数，数据按从小到大排列，且数据个数为奇数，中位数即为中间位置的数． 【详解】将数据按从小到大的顺序排列：20，20，30，40，50． 数据个数为5，是奇数， 因此中位数是第3个数据，即30． 故答案为：30． 10. 二次函数的图象，与y轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，理解函数图像与解析式的关系是解题的关键． 把代入函数解析式得到纵坐标，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 11. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则这10次射击成绩较稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，成绩越稳定， 本题中甲的方差为3.8，乙的方差为2.5，在平均成绩相同的情况下直接比较两个方差的大小即可确定乙比较稳定． 【详解】解：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差为3.8，乙的方差为2.5． ∵， ∴乙的方差较小， 因此乙的射击成绩更稳定． 故答案为：乙． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则___________________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 13. 为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为___________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查获取扇形统计图信息，加权平均数，掌握获取扇形统计图信息，加权平均数，会利用加权平均数解决问题是解题的关键． 根据扇形统计图获取信息，利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该食堂销售午餐盒饭的平均价格为（元）， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 15. 二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴为，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴方程是本题求解的关键． 根据，两点纵坐标相同，可得到对称轴为，考虑为二次函数上的点，故为方程的一个根，根据对称性，得到关于的对称点，得到方程的第二个解，从而得到方程的解． 【详解】解：∵ 二次函数图像经过，两点纵坐标相同， ∴二次函数图像对称轴为， ∵为二次函数上的点， 故为方程的一个根， 根据对称性得到在二次函数上关于的对称点为， 故图象亦经过点， 故为方程的第二个根， 关于的方程的方程的解为或， 故答案为：或． 16. 如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．根据抛物线与y轴交点得，结合矩形的性质进一步证明，由得，设，，结合，即，化解得，利用二次函数的性质的对称轴求得m，即可求得最大值a． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点为，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，， 则，即， 化解得，， ∴，解得， 则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，灵活利用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）利用因式分解法，将方程变形得到．根据若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，可得或，进而求解． （2）利用因式分解法，将方程分解为，再根据乘积为0的数的性质，得到或，从而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 19. 苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣．小超同学计划在元旦假期从A．周庄古镇；B．黎里古镇；C．沙溪古镇；D．古里古镇四个古镇中随机选择部分古镇游玩． （1）小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是___________； （2）若小超同学从四个古镇中任选两个游玩，求选择两个古镇游玩的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果是正确解答的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表表示出所有等可能的结果，选择B，C两个古镇游玩的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵从四个古镇中随机选择部分古镇游玩， ∴小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下， A B C D A B C D 一共有12种情况，选择B，C两个古镇游玩的情况有2种， ∴选择B，C两个古镇游玩的概率为． 20. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位； （1）若，则所得二次函数图象的函数表达式为___________； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点，求平移后所得抛物线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律． （1）根据平移规律求解即可； （2）首先根据平移规律得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解：若， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴所得二次函数图象的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位 ∴所得二次函数图象的函数表达式为 ∵平移后所得二次函数的图象经过点， ∴ ∴ ∴平移后所得抛物线的函数表达式为． 21. 某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图． 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间（分钟） 频率 0.1 0.2 0.4 0.1 合计 1 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 （1）___________； （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生人数． 【答案】（1）0.2 （2） 补全频数分布直方图如图， （3）180人 【解析】 【分析】本题考查频数与频率，频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用1减去已有的频率可求出的值； （2）求出样本容量，用了样本容量乘以的频率求得此时间段的频数，再补全频数分布图即可； （3）用总人数乘本校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生占被调查人数的比例即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：0.2； 【小问2详解】 解：被调查的人数为：（人）， ， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生有180人． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而直接得出顶点的坐标； （2）联立一次函数与二次函数的解析式，求解方程组得到，两点坐标，再通过找辅助线将三角形面积拆分，进而计算出的面积． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得：， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及顶点式求二次函数顶点坐标、联立方程求交点坐标以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象的交点求法和三角形面积的拆分计算是解答本题的关键． 23. 如果关于的一元二次方程（其中为常数，且）有两个实数根，且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“倍差方程”． （1）根据上述定义，判断方程___________（填“是”，“不是”）“倍差方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍差方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解新定义． （1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断； （2）首先求出方程的解，然后根据“倍差方程”的定义分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，， ∵ ∴方程是“倍差方程”； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，， ∵关于的一元二次方程是“倍差方程”， ∴当时，； 当时， ∴ 综上所述，或． 24. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车需支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）297000元 （2）78辆，304200元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，有理数的混合运算的实际应用， （1）首先求出每辆车的月租费，然后求出月收益即可； （2）设每月租出辆汽车时收益为，根据题意表示出y，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当租出90辆汽车时，每辆车的月租费为（元） 月收益为：元； 【小问2详解】 解：设每月租出辆汽车时收益为 则 ∵， ∴当时，， ∴当每月租出78辆汽车时，收益最大，为304200元． 25. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 【答案】（1）；； （2）①能； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）①分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ②分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ②甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． （1）若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； （2）当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】（1）①；②当时，的值为或 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，作于，则，从而得出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得当，，时，，，求出，再由勾股定理即可得解；②当，时，，，再分两种情况：当点未到达点时；当点到达点时，分别结合勾股定理计算即可得解； （2）由矩形的性质可得，，，作于，则，则四边形为矩形，得出，，证明，得出，由题意可得当时，，，从而得出，进而求出，由等腰三角形的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动， ∴当，，时，，， ∴， ∴； ②∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当，时，，， ∴当点未到达点时，，此时， ∴， 解得：； 当点到达点时，，此时秒； 综上所述，当时，的值为或； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵是以为一腰的等腰三角形， ∴当时，由，， 故， 由①②解得，， 当时，，， 故， 由①③解得：，或，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27. 如图，二次函数（其中为常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．点是轴上方抛物线上的一点，连接．点是轴上的点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）①若，求点的坐标； ②若，则点的坐标为___________． 【答案】（1） （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图所示，过点M作轴于点N，证明出，得到，设，表示出，，代数求出，进而求解即可； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点，证明出，得到，求出点坐标为，然后求出得解析式为，和抛物线联立求出，同理求得． 【小问1详解】 ∵过点， ∴，解得 ∴则该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ①如图所示，过点M作轴于点N， ∵， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， 解得 ∴点M的坐标为； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点 由题可知，， ∵，且， ∴ ∴ ∵，故， 因， ∴ ∴， ∴得， 故点坐标为 设得解析式为， 把H点，B点代入联立可得， 解得 ∴得解析式为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 或（舍） 把代入抛物线，得 ∴ 点关于点C的对称点坐标为 则直线为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 ， 故 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，一次函数的图像和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初三数学 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（ ） A. 38 B. 42 C. 43 D. 45 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有一根为2，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 5. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 数据20，20，30，40，50的中位数是___________． 10. 二次函数的图象，与y轴的交点坐标为______． 11. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则这10次射击成绩较稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则___________________ 13. 为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为___________元． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 15. 二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为___________． 16. 如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是___________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣．小超同学计划在元旦假期从A．周庄古镇；B．黎里古镇；C．沙溪古镇；D．古里古镇四个古镇中随机选择部分古镇游玩． （1）小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是___________； （2）若小超同学从四个古镇中任选两个游玩，求选择两个古镇游玩的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 20. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位； （1）若，则所得二次函数图象的函数表达式为___________； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点，求平移后所得抛物线的函数表达式． 21. 某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图． 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间（分钟） 频率 0.1 0.2 0.4 0.1 合计 1 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 （1）___________； （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生人数． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 23. 如果关于的一元二次方程（其中为常数，且）有两个实数根，且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“倍差方程”． （1）根据上述定义，判断方程___________（填“是”，“不是”）“倍差方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍差方程”，求的值． 24. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车需支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 25. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． （1）若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； （2）当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 27. 如图，二次函数（其中为常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．点是轴上方抛物线上的一点，连接．点是轴上的点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）①若，求点的坐标； ②若，则点的坐标为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $