第三章 简单的几何图形（知识清单）数学新教材北京版七年级上册

第三章 简单的几何图形 知识点01 图形的认识 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 知识点07 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点08 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【注意】 1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 知识点9 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点10 相交线与平行线 两条直线的位置关系 空间：平行 不平行 平面：相交 平行 垂线的概念和性质 （1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角） （2）两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD （3）垂线的性质1：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直 （4）垂线段的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） （5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 平行线的相关概念 （1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交 （2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线 一、图形的认识 1.几何图形的认识 错误：不认识具体几何体的名称 注意：要有空间想象能力，平时多见识不同的几何体 【例1】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，这是位于北京市怀柔区雁栖湖东路的中国科学院大学校门口的钟楼，它可以看为是一个四棱柱，以下为四棱柱的是（      ） A． B． C． D． 2.点、棱、面的关系 错误：理解不了点棱面之间的关系 注意：学会画出相关的图形，从基本图形抽象出具体的规律，加强印象 【例2】（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 二、线段、射线、直线 1.直线、线段、射线的联系与区别 错误：不理解直线、线段、射线的联系与区别 注意：重点记忆直线是无限延伸的，线段是有两个端点，射线有一个端点，另一边无限延伸； 【例3】（24-25七年级上·北京顺义·期末）在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    2.直线相交的交点问题 错误：忽略相交的情况 注意：要分类讨论，如果强调了两两相交，则可以直接用公式，如果只是说相交，则可能相交于同一点； 【例4】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n，则的值为 ． 3.尺规作线段 错误：忘记尺规作线段的步骤 注意：利用圆规丈量出已知线段的长度即可 【例5】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，平面上有四个点A，B，D，F．选择恰当的工具按要求画图，并完成填空． (1)连接线段，延长到点C，使得； (2)作射线，直线； (3)射线上取； (4)若，C和E两点分别表示公路两侧的社区，要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小，请在图中标出点，并写出最小的距离和为 ． 三、线段的和差 1.线段的和差计算 错误：不会计算线段的和与差 注意：计算线段的和差时，要具体情况具体分析，重点强调的是哪条线段，会不会有多重情况 【例6】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图： (1)延长线段到C，使； (2)延长线段到D，使 (3)如果，那么______， ______， ______ 2.线段的中点计算 错误：线段的中点计算方法不会 注意：如果是在数轴中的中点，则可以用两头的数字相加除以2来表示中点对应的数字； 【例7】（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 3.线段动点问题 错误：不会分类讨论 注意：要分析动点的运动规律，尤其是注意“拐点”； 【例8】（24-25七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 四、角 1.角的表示 错误：不会角的表示 注意：角的表示方法有三种，要注意大写字母 【例9】（24-25七年级上·北京顺义·期末）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 2.角的大小比较 错误：不会比较角的大小 注意：角的形式要统一，如果是分数都用分数表示；如果是小数都用小数表示； 【例10】（24-25七年级上·北京顺义·期末）若，，则 （填“”“”或“”）． 3.方向角 错误：不理解方向角的表示 注意：记住上北下南，左西右东的方位变式 【例11】（24-25七年级上·北京·期末）同一时间，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上，轮船在的平分线上，那么轮船在灯塔的（    ） A．正东方向上 B．东偏北方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 五、角的和差 1.角度的四则运算 错误：忘记进位 注意：角度加减计算的进位与退位是逢60进退的； 【例12】（24-25七年级上·北京东城·期末）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2.角度计算 错误：不会角度计算方法 注意：观察角度的大小，理解要求的角是如何计算出来的 【例13】（24-25七年级上·北京·期末）已知O是直线AB上一点，作射线OC． (1)如图①，若ON平分，则的度数为________． (2)如图②，若OC平分比大，求的度数． 六、相交线与平行线 1.相交线 错误：找到相交线中所形成的角关系，尤其是互余、互补的角度 注意：要加强对几何图形的训练，找到角度关系 【例14】（24-25七年级上·北京门头沟·期末）如图，直线，交于点，，于点，，求的度数． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（　　） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 3．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体从正面看和从左面看的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·北京·开学考试）下图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点 和点 ． 8．（24-25七年级上·北京·期末）如图，长度为的线段的中点是点，点在线段上，且，则线段的长为 ． 9．（25-26七年级上·全国·周测）由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 10．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 11．（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，点在直线上，．若，则 ． 12．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，点，，在线段上，．为靠近点的三等分点，是的中点．若，则 ， ． 13．（24-25七年级上·北京昌平·期末）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁，中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片．如图，车次是从北京到上海的高铁，仅需4小时35分钟即可到达，其经停站为北京南—济南西—南京南—无锡东—上海虹桥，则本次高铁二等座的车票共有 种． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）一个由若干个边长为的小正方体组成的几何体如图所示： (1)已知“从上面看”的形状如图①，请你画出从正面、从左面看这个几何体的形状图； (2)若为这个几何体的表面喷漆，每平方厘米需2克油漆，那么喷好这个几何体共需油漆 克． 15．（24-25七年级下·北京·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流． (1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由； (2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由； 17．（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段上一点，且，求线段的长． 请补充下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以_______________． 因为， 所以_______________． 所以___________________． 18．（24-25七年级下·北京·期中）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 19．（24-25七年级上·北京平谷·期末）如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 20．（24-25七年级上·北京平谷·期末）如图，已知线段，点在线段的延长线上，且，为线段的中点． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，求线段的长． 21．（24-25七年级上·北京大兴·期末）已知：，，，分别平分，．      (1)如图，当与重合时，的度数是 ； (2)若图中不动，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转． ①如图，当时，求的度数； ②当时，直接用等式表示与的数量关系． 22．（24-25七年级上·北京·期末）已知线段 （k为常数），点C 为直线上一点（不与点A，B重合），点M，N分别在线段上，且满足 (1)若点C在点A左侧，同时点M在线段上（不与端点重合），请判断 的值是否与k有关？ 并说明理由． (2)若点C是直线上一点（不与点A，B重合），同时点M在线段上（不与端点重合），求的长度．（用含k的代数式表示） 23．（24-25七年级上·北京平谷·期末）已知：，（其中， ），OD平分． （1）如图①，若，，补全图形并求的度数； （2）如图②，若，，补全图形并直接写出的度数为______； （3）若，（其中，），直接写出=_______（用含的代数式表示） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 简单的几何图形 知识点01 图形的认识 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 知识点07 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点08 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【注意】 1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 知识点9 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点10 相交线与平行线 两条直线的位置关系 空间：平行 不平行 平面：相交 平行 垂线的概念和性质 （1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角） （2）两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD （3）垂线的性质1：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直 （4）垂线段的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） （5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 平行线的相关概念 （1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交 （2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线 一、图形的认识 1.几何图形的认识 错误：不认识具体几何体的名称 注意：要有空间想象能力，平时多见识不同的几何体 【例1】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，这是位于北京市怀柔区雁栖湖东路的中国科学院大学校门口的钟楼，它可以看为是一个四棱柱，以下为四棱柱的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥． 【详解】解：A．该图是四棱锥，故不符合题意； B．该图是圆柱，故不符合题意； C．该图是四棱柱，符合题意； D．该图是三棱柱，故不符合题意； 故选：C． 2.点、棱、面的关系 错误：理解不了点棱面之间的关系 注意：学会画出相关的图形，从基本图形抽象出具体的规律，加强印象 【例2】（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 二、线段、射线、直线 1.直线、线段、射线的联系与区别 错误：不理解直线、线段、射线的联系与区别 注意：重点记忆直线是无限延伸的，线段是有两个端点，射线有一个端点，另一边无限延伸； 【例3】（24-25七年级上·北京顺义·期末）在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    【答案】 线段 相交直线 【分析】此题考查了简单的几何图形，根据有关概念即可，解题的关键是正确理解简单的几何图形的有关概念． 【详解】根据简单的几何图形可知：线有直线，射线，线段，两直线的位置关系有：异面直线，平行直线和相交直线， 故答案为：线段；相交直线． 2.直线相交的交点问题 错误：忽略相交的情况 注意：要分类讨论，如果强调了两两相交，则可以直接用公式，如果只是说相交，则可能相交于同一点； 【例4】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段，射线的数量．根据线段，射线的定义分别求出m，n的值，即可． 【详解】解：由图可得，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数， 能用字母表示的以点C为端点的射线的条数， ∴的值为2， 故答案为：2． 3.尺规作线段 错误：忘记尺规作线段的步骤 注意：利用圆规丈量出已知线段的长度即可 【例5】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，平面上有四个点A，B，D，F．选择恰当的工具按要求画图，并完成填空． (1)连接线段，延长到点C，使得； (2)作射线，直线； (3)射线上取； (4)若，C和E两点分别表示公路两侧的社区，要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小，请在图中标出点，并写出最小的距离和为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析；4 【分析】本题主要考查了线段、射线以及直线，两点之间线段最短，掌握相关定义和性质是解题关键． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据射线和直线的定义作图即可； （3）根据直线的定义作图即可； （4）由两点间线段最短可知，与的交点即为点P的位置，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，线段，点C即为所求作； （2）解：如图，射线，直线即为所求作； （3）解：如图，线段即为所求作； （4）解：如图，点P即为所求作． ∵，， ∴， ∴， 即最小的距离和为4． 三、线段的和差 1.线段的和差计算 错误：不会计算线段的和与差 注意：计算线段的和差时，要具体情况具体分析，重点强调的是哪条线段，会不会有多重情况 【例6】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图： (1)延长线段到C，使； (2)延长线段到D，使 (3)如果，那么______， ______， ______ 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析 (3)4，6，8 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差． （1）根据，可得线段； （2）根据，可得线段； （3）根据线段中点的性质，可得的长根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示； （3）解：∵，，，     ， 故答案为：4，6，8． 2.线段的中点计算 错误：线段的中点计算方法不会 注意：如果是在数轴中的中点，则可以用两头的数字相加除以2来表示中点对应的数字； 【例7】（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（）由线段的和差关系可得，即得，进而得到，若，同理可得； （）由为的中点可得，进而根据线段的和差关系可得，即可求证； 本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴仍然成立． 3.线段动点问题 错误：不会分类讨论 注意：要分析动点的运动规律，尤其是注意“拐点”； 【例8】（24-25七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 四、角 1.角的表示 错误：不会角的表示 注意：角的表示方法有三种，要注意大写字母 【例9】（24-25七年级上·北京顺义·期末）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】(1)认同 (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 【详解】（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 2.角的大小比较 错误：不会比较角的大小 注意：角的形式要统一，如果是分数都用分数表示；如果是小数都用小数表示； 【例10】（24-25七年级上·北京顺义·期末）若，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了度与度分秒的换算角度大小比较，根据角度之间的换算，再进行比较即可，解题的关键是熟练掌握角度之间的换算． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 3.方向角 错误：不理解方向角的表示 注意：记住上北下南，左西右东的方位变式 【例11】（24-25七年级上·北京·期末）同一时间，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上，轮船在的平分线上，那么轮船在灯塔的（    ） A．正东方向上 B．东偏北方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了与方位角有关的计算，角平分线的定义，根据题意先画出图形，根据方位角的定义求出的度数，进而由角平分线的定义得到的度数，再根据角的和差关系求出即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， ∵轮船在的平分线上， ∴． ∴． ∴轮船在灯塔的北偏东方向上，即东偏北方向上， 故选：． 五、角的和差 1.角度的四则运算 错误：忘记进位 注意：角度加减计算的进位与退位是逢60进退的； 【例12】（24-25七年级上·北京东城·期末）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 2.角度计算 错误：不会角度计算方法 注意：观察角度的大小，理解要求的角是如何计算出来的 【例13】（24-25七年级上·北京·期末）已知O是直线AB上一点，作射线OC． (1)如图①，若ON平分，则的度数为________． (2)如图②，若OC平分比大，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和邻补角的意义解答即可； （2）设，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）∵平分 ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵比大 ∴ ∴ ∴的度数为． 六、相交线与平行线 1.相交线 错误：找到相交线中所形成的角关系，尤其是互余、互补的角度 注意：要加强对几何图形的训练，找到角度关系 【例14】（24-25七年级上·北京门头沟·期末）如图，直线，交于点，，于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的定义，熟悉掌握角度的等量代换是解题的关键． 利用角度的比值关系等量代换运算求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解题的关键． 根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图， 从左到右，其对应的几何体名称分别为正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（　　） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该定理． 利用两点之间线段最短逐项进行判断即可． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体从正面看和从左面看的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】先根据正面看和从左面看的图确定几何体的层数与列数、行数，再分析每层小正方体最多数量，最后求和．本题主要考查由形状图确定几何体中小正方体个数，熟练掌握根据正面看和从左面看分析几何体的层数、行列数，进而确定每层最多小正方体数量是解题的关键． 【详解】解：由从正面看和从左面看的图可知，该几何体有2层、2列、2行． 底层：要使小正方体个数最多，每行每列都有小正方体，即底层最多有 个小正方体； 上层：从正面看和从左面看，上层最多有1个小正方体（在从正面看的左上角位置）． 则小正方体最多有 个． 故选：B ． 4．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，是的平分线，由角平分线定义可得：，再根据，，，整理，即可得出答案． 本题考查了角平分线定义，角的计算，掌握角平分线定义，角的计算是解题的关键． 【详解】解：，是的平分线， ， ， 则，， ， ， ， 故选：C 7．（25-26七年级上·北京·开学考试）下图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点 和点 ． 【答案】 A D 【分析】本题是考查展开图折叠成几何体，解题的关键是数形结合．把这个平面图形折成正方体判断即可． 【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点A和点D． 故答案为：A；D． 8．（24-25七年级上·北京·期末）如图，长度为的线段的中点是点，点在线段上，且，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是线段中点的有关计算、线段的和与差、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握线段中点的有关计算． 先由中点的定义求出，的长，再根据的关系，求的长，最后利用得其长度． 【详解】解：线段的中点为， ， ，， 设，则， ， 解得， 即， ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·周测）由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图还原立体图形，看懂三视图是解题的关键．观察所给几何体的两个视图，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数是个；从主视图可以看出该几何体的层数为，中间一层至少个，最多为个小正方体；最上面至少个，最多为个小正方体，据此解答即可. 【详解】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为，从主视图可以看出每一层小正方体的层数为层和中间一层为个到个，最上面为个到个， ∴堆成这个几何体最少需要：（个）小正方体， 最多需要：（个）小正方体， 即，，所以． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， 当在的内部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，点在直线上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角、垂直定义，先根据邻补角定义求得，再根据垂直定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如图，点，，在线段上，．为靠近点的三等分点，是的中点．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，两点之间的距离，熟练掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意得出，进而得出，，由，求出，可得到，计算即可． 【详解】解：，， ， 为靠近点的三等分点， ， ， ， ∵是的中点， ， ， 故答案为：①，② ． 13．（24-25七年级上·北京昌平·期末）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁，中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片．如图，车次是从北京到上海的高铁，仅需4小时35分钟即可到达，其经停站为北京南—济南西—南京南—无锡东—上海虹桥，则本次高铁二等座的车票共有 种． 【答案】10 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是明白每两个站点有一种车票． 从北京到上海，共有5个站点，每两个站点有一种车票，由此即可得到答案． 【详解】解：从北京到上海，共有5个站点，每两个站点有一种车票， ∴本次高铁二等座的车票共有（种）． 故答案为：10． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）一个由若干个边长为的小正方体组成的几何体如图所示： (1)已知“从上面看”的形状如图①，请你画出从正面、从左面看这个几何体的形状图； (2)若为这个几何体的表面喷漆，每平方厘米需2克油漆，那么喷好这个几何体共需油漆 克． 【答案】(1)见解析； (2)60． 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体所得到的平面图形的画法，以及几何体表面喷漆所需油漆量的计算．解题的关键是理解从正面、左面等不同方向观察几何体时所得到的图形的特征，以及通过统计几何体六个方向暴露面的总数量来计算表面积，进而求得油漆量． （1）确定正面和左面观察方向，数出对应方向上每列（行）小正方体的层数，按层数画出形状图． （2）统计六个方向暴露的小正方形面数，求和得总表面积，再乘每平方厘米油漆量即得总量． 【详解】（1）从正面、从左面看这个几何体的形状如图所示： （2）计算六个方向暴露的面数：上面、下面各6个，正面、背面各5个，左面、右面各4个，总面数为； ∵每个面的面积为：，总面积即为30平方厘米， ∴油漆总量总表面积克/平方厘米平方厘米克/平方厘米60克． 故答案为：60． 15．（24-25七年级下·北京·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． （1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为，利用线段中点的性质即可表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流． (1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由； (2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是垂线段最短，线段的性质，两点之间线段最短． （1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答． （2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答． 【详解】（1）解：如图所示：沿走，两点之间线段最短； （2）解：如图所示：沿走，垂线段最短． 17．（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段上一点，且，求线段的长． 请补充下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以_______________． 因为， 所以_______________． 所以___________________． 【答案】，，4，，，20 【分析】本题考查了中点的有关计算，两点间的距离，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据线段中点的性质，可得，根据线段的比，可得，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：因为是线段的中点，， 所以． 因为， 所以． 所以． 18．（24-25七年级下·北京·期中）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 【答案】（1）①见解析；②见解析．（2）；垂线段最短． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画图即可；②根据垂线的定义画图即可． （2）结合垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求； ②如图，即为所求． （2）由图可得，． 数学理由为：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 19．（24-25七年级上·北京平谷·期末）如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)①②③或 【分析】本题考查了画线段、射线，补角的定义，有关角平分线的计算等； （1）①根据要求作图，即可求解； ②根据要求作图，即可求解； （2）①由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ②由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ③分类讨论：当在上方时；当在下方时，即可求解； 会画直线、射线，能利用角平分线的定义熟练求解角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， 故直线、点为所求作； ②如图， 故射线、射线为所求作； （2）解：①， ， 平分时， ， 故答案为：； ②， 平分时， ； 故答案为：； ③当在上方时， ， ， 由②得：， ； 当在下方时， ， ， 由②得：， ， ； 综上所述：的度数为或． 20．（24-25七年级上·北京平谷·期末）如图，已知线段，点在线段的延长线上，且，为线段的中点． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差； （1）由线段的和差得，由线段的中点得，即可求解； （2）由线段的和差得，由线段的中点得，即可求解； 理解线段中点的定义，能熟练利用已知线段的和差表示出所求线段是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， ， 为线段的中点， ； （2）解：由图得 ， 点为线段的中点， ， ． 21．（24-25七年级上·北京大兴·期末）已知：，，，分别平分，．      (1)如图，当与重合时，的度数是 ； (2)若图中不动，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转． ①如图，当时，求的度数； ②当时，直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的相关计算，角的计算， （1）如图，利用角平分线的定义求出，即可； （2）①如图，根据求解即可； ②如图，用含分别表示出与，然后将与相加即可； 解题的关键是理解题意，能用含分别表示出与． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别平分，，，， ∴，， ∴， ∴的度数是， 故答案为：； （2）①如图， ∵，，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②与的数量关系：． 理由：如图， ∵，，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， 即．      22．（24-25七年级上·北京·期末）已知线段 （k为常数），点C 为直线上一点（不与点A，B重合），点M，N分别在线段上，且满足 (1)若点C在点A左侧，同时点M在线段上（不与端点重合），请判断 的值是否与k有关？ 并说明理由． (2)若点C是直线上一点（不与点A，B重合），同时点M在线段上（不与端点重合），求的长度．（用含k的代数式表示） 【答案】(1)的值与k无关，理由见解析 (2)的长度为 【分析】（1）依题意，先作图，再结合线段的和差关系以及，则，即可作答． （2）因为点C是直线上一点（不与点A，B重合），故分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可． 本题考查了线段和差运算，熟练掌握作图以及运用数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：的值与k无关．理由如下： 如图1： ∵， ∴． ∵与k的取值无关， ∴的值与k无关， （2）解：设则 ①当C点在B点右边时， ∵满足，M在线段上， 如图2： 此时，M不是线段上的点，不符合题意，舍去； ②当点C在点A的左边，如图3： ∵ 即 ∴ ∴ ； ③当点 C在线段上时，如图4： ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 综上所述，的长度为． 23．（24-25七年级上·北京平谷·期末）已知：，（其中， ），OD平分． （1）如图①，若，，补全图形并求的度数； （2）如图②，若，，补全图形并直接写出的度数为______； （3）若，（其中，），直接写出=_______（用含的代数式表示） 【答案】（1）补全图形见解析；∠BOD=30°；（2）补全图形见解析；70°；（3）或． 【分析】（1）先求出，再由角平分线的性质即可得到； （2）先求出，再由角平分线的性质即可得到； （3）分OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1），， ∴， ∵OD平分∠BOC， ∴； （2） ，， ∴， ∵OD平分∠BOC， ∴； 故答案为：70°； （3）如图1所示，当OC在∠AOB内部时， ，， ∴， ∵OD平分∠BOC， ∴； 如图2所示，当OC在∠AOB外部时， ∵，， ∴， ∵OD平分∠BOC， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度计算，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $