选择题压轴-数与式的操作问题-（重庆适用）-2025-2026学年七年级上册人教版数学

选择压轴：数与式的操作问题（解析版） 一、与绝对值有关 1 ．（23-24 七年级上·重庆綦江·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算” ．例如，对于 1 ，2 ，3 进行“绝对运算” ，得到：|1— 2+2 — 3+1— 3 |= 4 ．①对 1 ，3， 5，7 进行“绝对运算”的结果是 20；②对x ，—2 ，5 进行“绝对运算”的结果为A ，则A 的最小值是 7；③对a，b，b，c进行“绝对运算” ，化简的结果可能存在 6 种不同的表达式； 以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】绝对值的意义、化简绝对值、合并同类项 【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值运算、绝对值的意义等知识，读懂题意，严格按照“绝对运算”定义逐项验证即可得到答案，理解定义，掌握绝对值意义是解决问题的关键． 【详解】解：①对 1，3，5，7 进行“绝对运算”，则 1— 3 + 1— 5 + 1— 7 + 3 — 5 + 3 — 7 + 5 — 7 = 2 + 4 + 6 + 2 + 4 + 2 = 18 ≠ 20 ， ①错，不符合题意； ②对x ， —2 ，5 进行“绝对运算”的结果为A ，则A = x + 2 + x — 5 + —2 — 5 = 7 + x + 2 + x — 5 ，由绝对值的几何意义可知x + 2 + x — 5指表示数x 的点到表示数 —2 和5 的距离和，则当 —2 ≤ x ≤ 5 时，x + 2 + x — 5 的最小值为7 ，则A 的最小值是14 ，②错，不符合题意； ③对a，b，b，c 进行“绝对运算” ，则令B = a —b + a —b + a — c + b—b + b— c + b— c = 2 a —b + a — c + 2b— c ，若a < b < c ，则a —b < 0,a — c < 0,b— c < 0 ，即B = —2(a —b)— (a — c)— 2(b— c) = —3a + 3c ； 若a < c < b ，则a —b < 0, a — c < 0, b— c > 0 ，即B = —2(a —b)— (a — c)+ 2(b— c) = —3a + 4b— c ； 若c < a < b ，则a —b < 0, a — c > 0, b— c > 0 ，即B = —2(a —b) + (a — c)+ 2(b— c) = —a + 4b— 3c ； 若c < b < a ，则a —b > 0, a — c > 0, b— c > 0 ，即B = 2 (a —b) + (a — c)+ 2(b— c) = 3a — 3c ； 若b < c < a ，则a —b > 0, a — c > 0, b— c < 0 ，即B = 2 (a —b) + (a — c)— 2(b— c) = 3a — 4b + c ； 若b < a < c ，则a —b > 0, a — c < 0, b— c < 0 ，即B = 2 (a —b)— (a — c)— 2(b— c) = a — 4b + 3c ； :化简的结果可能存在 6 种不同的表达式，③正确，符合题意；故选：B． 2 ．（23-24 七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若a > b > 0 > c > d > e ，对代数式a —b— c —d+ e 任意添加绝对值（不可 添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作” ，例如： a — b— c —d + e, a — b — c — d + e等，下列结论中正确的个数是 ( ) ①至少存在一种“绝对操作” ，使化简后结果与原代数式相等； ②共有 5 种操作，可能得到a —b— c +d + e ； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有 8 种． A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 ) 1 学科网（北京）股份有限公司 ( 【知识点】绝对值的意义、合并同类项、去括号 【分析】根据新定义的含义，分类添加绝对值，再进行计算即可 . 【详解】解：①∵ a > b > 0 > c > d > e ， ∴ a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c 一 d + e ，故①正确； ②∵ a > b > 0 > c > d > e ， ∴ a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ，故②正确； ③∵ a > b > 0 > c > d > e ， ∴ a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c 一 d + e （第 1 种 ）， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b + c 一 d + e （第 2 种 ）， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e （第 3 种 ）， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c + d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c 一 d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b + c + d + e （第 4 种 ）， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c 一 d + e ， a 一 b 一 c 一 d + e = a + b 一 c 一 d + e （第 5 种）或 a 一 b + c + d 一 e （第 6 种 ）， a 一 b 一 c 一 d + e = a 一 b 一 c 一 d + e 或 一 a + b + c + d 一 e （第 7 种 ）， : 列举法得到化简后的结果为：共七种，故 ③错误， 综上，正确的有①② , 共 2 个， 故选： C ． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，去括号，合并同类项，理解新定义及绝对值是的意义是解题关 键． ) 3 ．（23-24 八年级下·重庆秀山·期末）在多项式a 一 b+ c 一 d + e （其中a > b > c > d > e > 0 ）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作” ．例如： a 一 b + c + 一d + e = a 一 b + c + d 一 e, a 一 b + c 一 d + e = a 一 b+ c 一 d + e … ，下列说法正确的个数是 ( ) ①存在“对绝操作” ，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有 8 种“对绝操作” ，使其运算结果与原多项式相等； 2 学科网（北京）股份有限公司 ③所有的“对绝操作”共有 7 种不同运算结果． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】化简绝对值 【分析】本题考查新定义题型及绝对值计算和分类讨论思想的应用，根据题目所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论求解即可得到答案 【详解】解： 由题意可得， ∵ a > b > c > d > e > 0 ， ∴ a 去绝对值操作后还是它本身， ∴不存在 “ 对绝操作 ” ，使其运算结果与原多项式之和为 0 ，故①错误， 存在 a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e ， a 一 b + c 一 d + e 8 种情况使其运算结果与原多项式相等，故②正确， 总共有： a 一 b + c 一 d + e ， a + b 一 c 一 d + e ， a 一 b + c + d 一 e ， a + b 一 c + d 一 e ， a + b 一 c + d + e ， a 一 b + c + d 一 e 6 种结 果，故③错误， B 故选 ：． ) 4 ．（23-24 八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算” ．例如，对于 1 ，2 ，3 进行“绝对运算” ，得到： |1一 2+2 一 3+1一 3 |= 4 ． ①对 1 ，3 ，5 ，10 进行“绝对运算”的结果是 29； ②对 x ， 一2 ，5 进行“绝对运算”的结果为 A ，则 A 的最小值是 7； ③对 a ，b ，b ，c 进行“绝对运算” ，化简的结果可能存在 8 种不同的表达式；以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】绝对值的意义、化简绝对值、合并同类项 【分析】①根据 “ 绝对运算 ” 的运算方法进行运算即可判定； ②根据 “ 绝对运算 ” 的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据 “ 绝对运算 ” 的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定 【详解】解：①对 1 ， 3 ， 5 ， 10 进行 “ 差绝对值运算 ” 得： 1 一 3 + 1 一 5 + 1 一 10 + 3 一 5 + 3 一 10 + 5 一 10 = 2 + 4 + 9 + 2 + 7 + 5 = 29 ， 故①正确； ②对 x ， 一 2 ， 5 ， ∵ x + 2 + x 一 5 + 一 2 一 5 = x + 2 + x 一 5 + 7 ， x + 2 + x 一 5 表示的是数轴上点 x 到 一 2 和 5 的距离之和， ∴ x + 2 + x 一 5 的最小值为 2 + 5 = 7 ， ∴ x ， 一 2 ， 5 的 “ 绝对运算 ” 的最小值是： 7 + 7 = 14 ，故②不正确； 对 a ， b ， b ， c 进行 “ 绝对运算 ” 得： a 一 b + a 一 b + a 一 c + b 一 b + b 一 c + b 一 c = 2 a 一 b + a 一 c + 2 b 一 c ， 当 a 一 b ≥ 0 ， a 一 c ≥ 0 ， b 一 c ≥ 0 ， 2 a 一 b + a 一 c + 2 b 一 c = 3 a 一 3 c ； 当 a 一 b ≥ 0 ， a 一 c ≥ 0 ， b 一 c ≤ 0 ， 2 a 一 b + a 一 c + 2 b 一 c = 3 a 一 4 b + c ； ) 3 学科网（北京）股份有限公司 ( 当 a - b ≥ 0 ， a - c ≤ 0 ， b - c ≤ 0 ， 2 a - b + a - c + 2 b - c = a - 4 b + 3 c ； 当 a - b ≤ 0 ， a - c ≤ 0 ， b - c ≤ 0 ， 2 a - b + a - c + 2 b - c = - 3 a + 3 c ； 当 a - b ≤ 0 ， a - c ≥ 0 ， b - c ≥ 0 ， 2 a - b + a - c + 2 b - c = - a + 4 b - 3 c ； 当 a - b ≤ 0 ， a - c ≤ 0 ， b - c ≥ 0 ， 2 a - b + a - c + 2 b - c = - 3 a + 4 b - c ； a ， b ， b ， c 的 “ 绝对运算 ” 化简结果可能存在的不同表达式一 共有 6 种， 故③不正确， 综上，只有 1 个正确的． 故选： B ． 【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的 关键． 5 ．（ 2024 九年级上 · 重庆 · 专题练习）在多项式 - a - ( b + c ) - d （其中 a > b > c > d ）中，对每个字母及其左边的符号（不 ) 包括括号外的符号）称为一个数，即： -a 为“数 1” ，b 为“数 2” ， +c 为“数 3” ， -d 为“数 4” ，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式-a - (b+ c) -d 的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数 3”和“数 4”进行“绝对换位变换”，得到-a - (b - d ) + c ，将其化简后结果为a + b - c - d ，… . 下 列说法： ①对多项式的“数 1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换” ，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有 5 种不同运算结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按 照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的 “ 数 1” 和 “ 数 2” 进行 “ 绝对换位变换 ” 后的运算， b - ( - a + c ) - d = a + b - c - d ，故①正确； 对多项式的 “ 数 1” 和 “ 数 3” 进行 “ 绝对换位变换 ” 后的运算， c - ( b - a ) - d = a - b + c - d ， 对多项式的 “ 数 1” 和 “ 数 4” 进行 “ 绝对换位变换 ” 后的运算， - d - ( b + c ) - a = a + b + c + d 或 - a - b - c - d 对多项式的 “ 数 2” 和 “ 数 3” 进行 “ 绝对换位变换 ” 后的运算， - a - ( c + b ) - d = a + b + c + d 或 - a - b - c - d 对多项式的 “ 数 2” 和 “ 数 4” 进行 “ 绝对换位变换 ” 后的运算， - a - ( - d + c ) + b = a - b + c - d ，综上共 4 种结果，故③错误； 其中存在 “ 绝对换位变换 ” ，使其运算结果与原多项式相等，故②正确． 故选： C ． ) 6 ．（23-24 八年级下·重庆沙坪坝·期中）将自然数 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 分别标记在 6 个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， a6 ，记 A = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 ，以下 3 种说法中：①A 最小值为 3 ；②A 的值一定是奇数；③A 化简之后一共有 5 种不同的结果．说法正确的个数为 ( ) 4 学科网（北京）股份有限公司 A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】有理数的减法运算、化简绝对值 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据 a 1 - a 2 ≥ 1 ， a 3 - a 4 ≥ 1 ， a 5 - a 6 ≥ 1 ，即可判断① , 再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数 - 奇数 = 偶数，奇数 - 偶数 = 奇数，偶数 - 偶数 = 偶数，第二种：奇数 - 偶数 = 奇数，奇数 - 偶数 = 奇数，奇数 - 偶数 = 奇数，即可判断② , 根据 4 + 5 + 6 - ( 1 + 2 + 3 ) = 9 ， 可得 A 的最大值一定为 9 ，故结合①②可判断③ , 问题 得解． 【详解】根据题意可知， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 指代自然数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， ∴ a 1 - a 2 ≥ 1 ， a 3 - a 4 ≥ 1 ， a 5 - a 6 ≥ 1 ， ∴ A = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + a 5 - a 6 ≥ 3 ，故①正确； ∵ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数 - 奇数 = 偶数，奇数 - 偶数 = 奇数，偶数 - 偶数 = 偶数， 则最终 A 的答案为：偶数 + 奇数 + 偶数 = 奇数； 第二种：奇数 - 偶数 = 奇数，奇数 - 偶数 = 奇数，奇数 - 偶数 = 奇数， 则最终 A 的答案为：奇数 + 奇数 + 奇数 = 奇数； ∴ A 的值一定是奇数，故②正确， ∵ 4 + 5 + 6 - ( 1 + 2 + 3 ) = 9 ， ∴ A 的最大值一定为 9 ， 又∵ A 最小值为 3 ，且为奇数， ∴ A 的值只可能是 3 、 5 、 7 、 9 ， ∴ A 化简之后不可能有 5 种不同的结果， 故③错误， 正确的有 2 个， 故选： B ． ) 7 ．（2024·重庆·三模）对一组数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算” ，例如，对于 0 ，1 ，2 进行“差绝对值运算” ，得到： 0 -1 + 1- 2 + 0 - 2 = 4 ． ①对-2 ， -1 ，3 ，5 进行“差绝对值运算”的结果是 25； ②当a =2 时， a ，2 ，5 ， -6 的“差绝对值运算”的值最小，最小值为 33； ③若m ， n ，7 的“差绝对值运算”的结果 6 ，且m - n 与m - 7 同号， m 、 n 均为正整数，且m ， n ， 7 互不相等，则m 的取值有 6 个； 以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】化简绝对值、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，①根据 “ 绝对值运算 ” 的运算方法进行运算，即可判定；②根据 “ 差绝对值运算 ” 的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据 “ 差绝对值运算 ” 的运算方法进行运 算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①对 - 2 ， - 1 ， 3 ， 5 进行 “ 差绝对值运算 ” 得： ) 5 学科网（北京）股份有限公司 ( - 2 - ( - 1 ) + - 2 - 3 + - 2 - 5 + - 1 - 3 + - 1 - 5 + 3 - 5 = 1 + 5 + 7 + 4 + 6 + 2 = 25 ， 故①正确； ② a ， 2 ， 5 ， - 6 的 “ 差绝对值运算 ” 结果为： a - 2 + a - 5 + a - ( - 6 ) + 2 - 5 + 2 - ( - 6 ) + l 5 - ( - 6 ) l = a - 2 + a - 5 + a + 6 + 3 + 8 + 11 = a - 2 + a - 5 + a + 6 + 22 ， a - 2 + a - 5 + a + 6 表示数轴上的点 a 到 2 ， 5 和 - 6 的和， 所以，当 a = 2 时， a - 2 + a - 5 + a + 6 的最小值为 3 + 8 = 11 ， 所以，当 a = 2 时， a ， 2 ， 5 ， - 6 的 “ 差绝对值运算 ” 最小值为： 11 + 22 = 33 ， 故②正确； ③∵ m ， n ， 7 的 “ 差绝对值运算 ” 的结果 6 ， ∴ m - n + m - 7 + n - 7 = 6 ， ∵ m - n 与 m - 7 同号， m 、 n 均为正整数，且 m ， n ， 7 互不相等， ①当 m - n > 0, m - 7 > 0 时，且 n > 7 时， ∴ m - n + m - 7 + n - 7 = m - n + m - 7 + n - 7 = 2 m - 14 = 6 解得 m = 10 ， ②当 m - n > 0, m - 7 > 0 时，且 n < 7 时， m - n + m - 7 + n - 7 = m - n + m - 7 - n + 7 = 2 m - 2 n = 6 ， : m - n = 3 ， ∴当 n = 5 时， m = 8 ， 当 n = 6 时 ， m = 9 ； ③当 m - n < 0, m - 7 < 0 时，且 n > 7 时， ∴ m - n + m - 7 + n - 7 = - m + n - m + 7 + n - 7 = 2 n - 2 m = 6 : n - m = 3 ， ∴当 n = 8 时， m = 5 ，当 n = 9 时 ， m = 6 ； ④当 m - n < 0, m - 7 < 0 时，且 n < 7 时， ∴ m - n + m - 7 + n - 7 = - m + n - m + 7 - n + 7 = - 2 m + 14 = 6 ， 解得 m = 4 ， 综上， a 的取值有 6 个，故③正确； 故选： D ． ) 8 ．（2024·重庆开州·模拟预测）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1 ，只显示不运算，接着再输入整数x2 ，则显示x1 - x2 的结果，如依次输入 1 ，2 ，则输出的结果是1- 2 = 1 ．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 6 学科网（北京）股份有限公司 下列说法： ①依次输入 1 ，2 ，3 ，4 ，则最后输出的结果是 2； ②若将 2 ，3 ，6 这 3 个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是 5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 a ，2 ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若 k 的最大值为2024 ，则 k 的最小值为2020 ． 其中正确的个数有（ ）个 A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程．理 解题意并分情况求解是解题的关键． 依次输入 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，运算结果依次为 1 - 2 = 1 ， 1 - 3 = 2 ， 2 - 4 = 2 ，即最后输出的结果是 2 ，可判断①的正误； 将 2 ， 3 ， 6 这 3 个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为 2 或 3 ，第三次输入为 6 时，全部输入完毕后 显示的结果最大，最大值为 2 - 3 - 6 = 5 ，可判断②的 正误；令 b 为最大的正整数，当 a = 1 时， k 的最大值为 b - 1 - 2 = 2024 ，可求满足要求的解 b = 2025 ，此时 k 的最小值为 1 - 2025 - 2 = 2022 ；当 b > a > 2020 时， k 的最 ) 大值为b- a - 2 = b- a + 2 = 2024 ，可求满足要求的解为b- a = 2022 ，此时 k 的最小值为a - b- 2 = a -b+ 2 = 2020 ； ( 综上所述， k 的最小值为 2020 ，进而可判断③的正误． 【详解】解：依次输入 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，运算结果依次为 1 - 2 = 1 ， 1 - 3 = 2 ， 2 - 4 = 2 ， ∴最后输出的结果是 2 ，① 正确，故符合要求； 将 2 ， 3 ， 6 这 3 个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为 2 或 3 ，第三次输入为 6 时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为 2 - 3 - 6 = 5 ，②正确，故符合要求； 令 b 为最大的正整数，当 a = 1 时， k 的最大值为 b - 1 - 2 = 2024 ， 解得， b = 2025 或 b = - 2023 （舍去 ）， 此时 k 的最小值为 1 - 2025 - 2 = 2022 ； 当 b > a > 2020 时， k 的最大值为 b - a - 2 = b - a + 2 = 2024 ， 解得， b - a = 2022 或 b - a = - 2026 （舍去 ）， 此时 k 的最小值为 a - b - 2 = a - b + 2 = 2020 ； 综上所述， k 的最小值为 2020 ， ∴③正确，故符合要求； 故选： D ． ) 9．（23-24 七年级上·重庆九龙坡·期末）某多项式除首尾两项外其余各项都可删减，删减项的前面部分和其后面部分分别加上绝对值，并用减号连接，则称此为“删减变形”．每种“删减变形”可以删减的项数分别为一项，两项，三项．“删 减变形”只针对多项式x -y - z + m + n 进行．例如：去掉-y 的“删减变形”为x - -z + m + n ，同时去掉-y 与-z 的“删减变形”为x - m + n ， … , 下列说法： ①存在对两种不同的“删减变形”后的式子作差，结果不含x 的项： ②若每种“删减变形”只删减一项，则对三种不同“删减变形”的结果进行去绝对值，共有 12 种不同的结果； 7 学科网（北京）股份有限公司 ③若可删减的三项-y,-z, +m 满足：( -y + -y - 2)(-z +1 + -z + 4)(m -1 + m + 6) = 42 ，则3y + 2z + 2m 的最小值为 -16 ． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、化简绝对值、整 式的加减运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，化简绝对值，数轴上两点间的距离，整式的加减，熟练掌握绝对值的性质是 解题的关键． ①根据 “ 删减变形 ” 的定义，举出符合条件的式子进行验证即 可； ②先根据 “ 删减变形 ” 的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据 “ 删减变形 ” 的定义和绝对值的几何意义，求出 y ， z ， m 的最小值，即可得出结论． 【详解】解：①去掉 - y 的 “ 删减变形 ” 为 x - - z + m + n ， 去掉 - y 与 - z 的 “ 删减变形 ” 为 x - m + n ， 两式相减，得 x - - z + m + n - ( x - m + n ) = x - - z + m + n - x + m + n = - - z + m + n + m + n ，结果不含 x 的项，故①正确； ②若每种 “ 删减变形 ” 只删减一项，共有三种不同 “ 删减变形 ” ：去掉 - y 的 “ 删减变形 ” 为 x - - z + m + n ， 当 x ≥ 0, - z + m + n ≥ 0 时 ， x - - z + m + n = x + z - m - n ， 当 x ≥ 0, - z + m + n ≤ 0 时 ， x - - z + m + n = x - z + m + n ， 当 x ≤ 0, - z + m + n ≥ 0 时 ， x - - z + m + n = - x + z - m - n ， 当 x ≤ 0, - z + m + n ≤ 0 时 ， x - - z + m + n = - x - z + m + n ， 去掉 - z 的 “ 删减变形 ” 结果为 x - y - m + n ， 当 x - y ≥ 0, m + n ≥ 0 时 ， x - y - m + n = x - y - m - n ， 当 x - y ≥ 0, m + n ≤ 0 时 ， x - y - m + n = x - y + m + n ， 当 x - y ≤ 0, m + n ≥ 0 时 ， x - y - m + n = - x + y - m - n ， 当 x - y ≤ 0, m + n ≤ 0 时 ， x - y - m + n = - x + y + m + n ， 去掉 m 的 “ 删减变形 ” 结果为 x - y - z - + n ， 当 x - y - z ≥ 0, + n ≥ 0 时 ， x - y - z - + n = x - y - z - n ， ) 8 学科网（北京）股份有限公司 ( 当 x - y - z ≥ 0, + n ≤ 0 时 ， x - y - z - + n = x - y - z + n ， 当 x - y - z ≤ 0, + n ≥ 0 时 ， x - y - z - + n = - x + y + z - n ， 当 x - y - z ≤ 0, + n ≤ 0 时 ， x - y - z - + n = - x + y + z + n ， 共有 12 种不同的结果，故②正确； ③∵ - y + - y - 2 = y - 0 + y - ( - 2 ) ，在数轴上表示点 y 与 0 和 - 2 的距离之和， ∴当距离取最小值 0 - ( - 2 ) = 2 时， y 的最小值为 - 2 ， 同理： - z + 1 + - z + 4 = z - 1 + z - 4 ，在数轴上表示点 z 与 1 和 4 的距离之和， ∴当距离取最小值 4 - 1 = 3 时， z 的最小值为 1 ， m - 1 + m + 6 = m - 1 + m - ( - 6 ) ，在数轴 上表示点 m 与 1 和 - 6 的距离之和， ∴当距离取最小值 1 - ( - 6 ) = 7 时， m 的最小值为 - 6 ， ∴当 - y + - y - 2 ， - z + 1 + - z + 4 ， m - 1 + m + 6 都取最小值时， ( - y + - y - 2 )( - z + 1 + - z + 4 )( m - 1 + m + 6 ) = 2 × 3 × 7 = 42 ， 此时， 3 y + 2 z + 2 m 的最小值为 3 × ( - 2 ) + 2 × 1 + 2 × ( - 6 ) = - 16 ，故③正确； 故选 D ． ) 10 ．（2024·重庆·三模）对多项式4 + x2 - 2x +1添加 1 个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如： 4 + x2 - 2x +1 称为对多项式 4 + x2 - 2x +1的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，… …下列说法正确的个数是 ( ) ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为x2 - 2x + 5 ； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有 5 种； ③经过若干次“绝对操作” ，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】绝对值的意义、化简绝对值 【分析】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质 a 即可求解． ( 1 ) 【详解】解：根据题意， x 2 - 2 x + 3 |( x ≥ - 2 , 再进行一次 “ 绝对操作 ” 如下， 第一种情况： x 2 - 2 x + 3 ，且 x ≥ - ，则 2 x + 3 ≥ 2 ， ∴原式 = x 2 - 2 x - 3 ； ) 9 学科网（北京）股份有限公司 第二种情况： x2 - 2x + 3 = x (x - 2) + 3 ，当- ≤ x < 0 时，原式= x2 - 2x + 3 ； 当0 ≤ x ≤ 2 时，原式= -x2 + 2x + 3； 当x > 2 时，原式 = x2 - 2x + 3 ；第三种情况， x2 + 3 - 2x ， ∵ x2 ≥ 0 ， ∴ x2 + 3 ≥ 3 ，则原式= x2 - 2x + 3 ； 第四种情况： x2 - 2x + 3 ， ∵ (x2 - 2x +1)+ 2 ≥ 2 ， ∴原式 = x2 - 2x + 3 ； x2 + 2x + 5(|(x < - ), 再进行一次“绝对操作”如下，第一种情况： x2 + 2x + 5 ， ∵ x < - ，则2x + 5 < 4 ， ∴当0 ≤ 2x + 5 < 4 时，原式= x2 + 2x + 5 ；当2x + 5 < 0 时，原式= x2 - 2x - 5 ； 第二种情况： x2 + 2x + 5 = x (x + 2) + 5 ，当x ≤ -2 时，原式= -x2 - 2x + 5 ； 当-2 < x < - 时，原式= -x2 - 2x + 5； 第三种情况： x2 + 5 + 2x ， ∵ x2 + 5 ≥ 5， ∴原式 = x2 + 2x + 5 ； 第四种情况： x2 + 2x + 5 ∵ (x2 + 2x +1)+ 4 ≥ 4 ， ∴原式 = x2 + 2x + 5 ； 综上所述，经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果不可能为x2 - 2x + 5 ， ∴①错误； 4 + x2 - 2x +1进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况： 4 + x2 - 2x +1 = x2 - 2x + 5 （x 为任意实数）； 第二种情况： 4 + x2 - 2x +1 = x2 - 2x + 5 （x 为任意实数）； 第三种情况x2 - 2x 10 学科网（北京）股份有限公司 ( 第四种情况： 4 + x 2 - 2 x + 1 第五种情况： 4 + x 2 + 1 - 2 x = x 2 - 2 x + 5 （ x 为 任意实数 ）； 第六种情况： 4 + x 2 - 2 x + 1 = x 2 - 2 x + 5 （ x 为任意实数 ）； 综上所述，化简结果有 4 种， ∴②进行一次 “ 绝对操作 ” 后的式子化简结果可能有 5 种，故错误； 4 + x 2 - 2 x + 1 = x 2 - 2 x + 5 经过一次 “ 绝对操作 ” 后 的结果有： x 2 - 2 x + 5 ； x 2 + 2 x + 5 ； x 2 - 2 x + 3 ； - x 2 + 2 x + 5 ； 经过二次 “ 绝对操作 ” 后的结果有： x 2 - 2 x - 3 ； - x 2 + 2 x + 3 ； x 2 - 2 x + 3 ； x 2 + 2 x + 5 ； x 2 - 2 x - 5 ； - x 2 - 2 x + 5 ； x 2 + 2 x + 5 ； 综上所述，③错误； ∴正确的个数是 0 个， 故选： A ． 11 ．（ 2023· 重庆沙坪坝 · 一模）在多项式 a + b - m - n - e 中，除首尾项 a 、 - e 外，其余各项都可闪退，闪退项的前面 ) 部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作” ．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式a +b- m - n - e 进行．例如：+b “闪减操作”为a - -m - n - e ，-m 与-n同时“闪减操作”为a + b - -e ， … , 下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e 相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有 8 种不同的结果； ③若可以闪退的三项 +b ， -m ， -n 满足： (| +b | + | +b + 2 |)(| -m +1 | + | -m + 4 |)(| -n +1 | + | -n - 6 |) = 42 ，则2b + m + n 的最小值为-9 ． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】绝对值的意义、绝对值的其他应用 【分析】①根据 “ 闪减操作 ” 的定义，举出符合条件的式子进行验证即可； ②先根据 “ 闪减操作 ” 的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据 “ 闪减操作 ” 的定义和绝对值的几何意义，求出 b ， m ， n 的最小值，即可得出结论． 【详解】① - n “ 闪减操作 ” 后的式子为 a + b - m - - e ， - m - n “ 闪减操作 ” 后的式子为 a + b - - e ，对这两个式子作 差，得： ( a + b - m - - e ) - ( a + b - - e ) = a + b - m - - e - a + b + - e = a + b - m - a + b ， 结果不含与 e 相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同 “ 闪减 操作 ” ： + b “ 闪减操作 ” 结果为 a - - m - n - e ， 当 a ≥ 0, - m - n - e ≥ 0 时 ， a - - m - n - e = a + m + n + e ， 当 a ≥ 0, - m - n - e ≤ 0 时 ， a - - m - n - e = a - m - n - e ， ) 11 学科网（北京）股份有限公司 ( 当 a ≤ 0, — m — n — e ≥ 0 时 ， a — — m — n — e = — a + m + n + e ， 当 a ≤ 0, — m — n — e ≤ 0 时 ， a — — m — n — e = — a — m — n — e ， — m “ 闪减操作 ” 结果为 a + b — — n — e ， 当 a + b ≥ 0, — n — e ≥ 0 时 ， a + b — — n — e = a + b + n + e ， 当 a + b ≥ 0, — n — e ≤ 0 时 ， a + b — — n — e = a + b — n — e ， 当 a + b ≤ 0, — n — e ≥ 0 时 ， a + b — — n — e = — a — b + n + e ， 当 a + b ≤ 0, — n — e ≤ 0 时 ， a + b — — n — e = — a — b — n — e ， — n “ 闪减操作 ” 结果为 a + b — m — — e ， 当 a + b — m ≥ 0, — e ≥ 0 时 ， a + b — m — — e = a + b — m + e ， 当 a + b — m ≥ 0, — e ≤ 0 时 ， a + b — m — — e = a + b — m — e ， 当 a + b — m ≤ 0, — e ≥ 0 时 ， a + b — m — — e = — a — b + m + e ， 当 a + b — m ≤ 0, — e ≤ 0 时 ， a + b — m — — e = — a — b + m — e ， 共有 12 种不同的结果，故②错误； ③∵ | + b | + | + b + 2 | = b — 0 + b — ( — 2 ) ，在数轴上表示点 b 与 0 和 — 2 的距离之和， ∴当距离取最小值 0 — ( — 2 ) = 2 时， b 的最小值为 — 2 ， 同理： | — m + 1| + | — m + 4 | = 1 — m + 4 — m ，在数轴上表示点 m 与 1 和 4 的距离之和， ∴当距离取最小值 4 — 1 = 3 时， m 的最小值为 1 ， | — n + 1| + | — n — 6 | = 1 — n + — 6 — n ，在数轴上表示点 n 与 1 和 — 6 的距离之和， ∴当距离取最小值 1 — ( — 6 ) = 7 时， n 的最小值为 — 6 ， ∴当 | + b | + | + b + 2 | ， | — m + 1| + | — m + 4 | ， | — n + 1| + | — n — 6 | 都取最小值时 ， (| + b | + | + b + 2 |)(| — m + 1| + | — m + 4 |)(| — n + 1| + | — n — 6 |) = 2 × 3 × 7 = 42 ， 此时， 2 b + m + n 的最小值为 2 × ( — 2 ) + 1 + ( — 6 ) = — 9 ，故③正确； 故选 C ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义， 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． ) 12 ．（2022·重庆大渡口·二模）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1 ，只显示不运算，接着再输入整数x2 后则显示x1 — x2 的结果．比如依次输入 1 ，2 ，则 输出的结果是1— 2 = 1 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论： ①依次输入 1 ，2 ，3 ，4 ，则最后输出的结果是2；②若将 1 ，2 ，3 ，4 这 4 个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将 1 ，2 ，3 ，4 这 4 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 2 ，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设 12 学科网（北京）股份有限公司 为 k，若 k 的最大值为 10 ，那么k 的最小值是 6 ．上述结论中，正确的个数是 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】程序流程图与代数式求值、求一 个数的绝对值 【分析】根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④ . 【详解】解：根据题意，依次输入 1 ， 2 ， 3 ， 4 时， 1 - 2 = - 1 = 1 ， 1 - 3 = - 2 = 2 ， 2 - 4 = - 2 = 2 ，故①正确； 按照 1 ， 3 ， 4 ， 2 的顺序输入时， 1 - 3 = - 2 = 2 ， 2 - 4 = - 2 = 2 ， 2 - 2 = 0 ，为最小值，故③正确； 按照 1 ， 3 ， 2 ， 4 的顺序输入时， 1 - 3 = - 2 = 2 ， 2 - 2 = 0 ， 0 - 4 = - 4 = 4 ，为最大值，故②正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 2 ， a ， b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为 k ， k 的最大值为 10 ， 设 b 为较大数字，当 a = 1 时， a - 2 - b = 1 - b = 10 ， 解得 b = 11 ， 故此时任意输入后得到的最小数是： 11 - 1 - 2 = 8 ， 设 b 为较大数字，当 b > a > 2 时， a - 2 - b = a - 2 - b = 10 ， 则 a - 2 - b = - 10 ，即 b - a = 8 故此时任意输入后得到的最小数是： b - a - 2 = 8 - 2 = 6 ， 综上可知， k 的最小值是 6 ，故④正确； 故选 D ． 【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键 是要有试验观察和分情况讨论的能力． ) 13 ．（23-24 七年级上·重庆渝中·期末）对于多项式- (a + 2) + (2a + 3) +( 3a - 4) +( 4a -5) ，每次选择其中的n 个括号 13 学科网（北京）股份有限公司 改变其前面的符号（1 ≤ n ≤ 4, n 为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为M ．例如： + (a + 2)- (2a + 3)+ (3a - 4 )+ (4a - 5 ) ，当a ≥ 时， M = 6a -10 ；当a ≤ 时，M = 10 - 6a ，所以M = 6a -10 或10 - 6a ．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为M = 2a + k （k 为常数且k ≠ 0 ），则a ≥ -3 ； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有 15 种不同的结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了绝对值的化简和相反数的意义， ①根据题意找出一种 “ 变号绝对 ” 操作使得操作后化简的结 果为常数，即为正确；② M = 2 a + k 凑 “ 变号绝对 ” 操作后得到 2 a + 6 或 - 2 a - 6 去绝对 值符号后变形为 2 a + k 的形式， 求得 a 取值即可；③利用列举法可得每一整式有两种变化，共 4 个整式，共有 16 个结果，其中一个重复，所以有 15 个结果 【详解】解：①使操作后化简的结果为常数，则使 a 的系数为 0 ， ∴有 - ( a + 2 ) + ( 2 a + 3 ) + ( 3 a - 4 ) - ( 4 a - 5 ) = - a - 2 + 2 a + 3 + 3 a - 4 - 4 a + 5 = 2 = 2 ；故①正确； ② ( a + 2 ) + ( 2 a + 3 ) + ( 3 a - 4 ) - ( 4 a - 5 ) = a + 2 + 2 a + 3 + 3 a - 4 - 4 a + 5 = 2 a + 6 = M 1 ； - ( a + 2 ) - ( 2 a + 3 ) - ( 3 a - 4 ) + ( 4 a - 5 ) = - a - 2 - 2 a - 3 - 3 a + 4 + 4 a - 5 = - 2 a - 6 = M 2 当 2 a + 6 ≥ 0 时，即 a ≥ - 3 ， M 1 = 2 a + 6 ； 当 - 2 a - 6 ≤ 0 时，即 a ≥ - 3 ， M 2 = - 2 a - 6 ； ∴故②正确； ③∵ - ( a + 2 ) + ( 2 a + 3 ) + ( 3 a - 4 ) - ( 4 a - 5 ) = - a - 2 + 2 a + 3 + 3 a - 4 - 4 a + 5 = 2 ) 14 学科网（北京）股份有限公司 ( = 2 ； ( a + 2 ) - ( 2 a + 3 ) - ( 3 a - 4 ) + ( 4 a - 5 ) = a + 2 - 2 a - 3 - 3 a + 4 + 4 a - 5 = - 2 = 2 ∴两种情况结果相同； ∴结果共有 2 × 2 × 2 × 2 - 1 = 15 （种） ∴③正确， 综上，正确的结果是①②③ , 共 3 个， 故选： D ) 二、操作类的整式规律探索 14 ．（23-24 七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的 2 个整式：a ， a + 2 ，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2 ，a + 2 ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a , 2 - a ，2 ，a ， a + 2 ； ②第 12 个整式串中，从右往左第二个整式为2 -10a； ③第 2025 次操作后，所有的整式的和为2a + 4052； ④第 n 个整式串比第(n +1) 个整式串少2n-1 个整式．以上结论中正确的有（ ）个 A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】整式的加减运算、用代数式表示 数、图形的规律 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【详解】 ① : 第一次操作后的整式串： a ， 2 ， a + 2 ， : 第二次操作后的整式串： a ， 2 - a ， 2 ， a ， a + 2 故结论① 正确． ② 由题意得：第一个整式串： a ， 2 ， a + 2 ； 第二个整式串： a ， 2 - a ， 2 ， a ， a + 2 ； 第三个整式串： a ， 2 - 2 a ， 2 - a ， a ， 2 ， a - 2 ， a ， 2 ， a + 2 ； 第四个整式串： a ， 2 - 3 a ， 2 - 2 a ， a ， 2 - a ， 2 a - 2 ， a ， 2 - a ， 2 ， a - 4 ， a - 2 ， 2 ， a ， 2 - a ， 2 ， a ， a + 2 ； . . . . . . 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为 2 ；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为 a ； 即第 12 个整式串中，从右往左第二个整式为 a ； 故结论② 错误． ③ 第 1 次操作后，所有的整式的和为 2 a + 4 ，第 2 次操作后，所有的整 式的和为 2 a + 6 ，第 3 次操作后，所有的整式 的和为 2 a + 8 ，第 4 次操作后，所有的整式的和为 2 a + 10 ， . . . . . . 依照规律可得第 n 次操作后，所有的整式的和为 2 a + 2 ( n + 1 ) ； ) 15 学科网（北京）股份有限公司 ( : 第 2025 次操作后，所有的整式的和为 2 a + 2 × ( 202 5 + 1 ) = 2 a + 4052 ； 故结论③ 正确． ④ 观察可得：第 2 个整式串比第 1 个整式串多 2 个 整式，第 3 个整式串比第 2 个整式串多 4 个整式，第 4 个整式串比第 3 个整式串多 8 个整式， . . . . . . 依照规律可得第 ( n + 1 ) 个整式串比第 n 个整式串多 2 n - 1 个整式． 故结论④ 正确； 故选： B ． ) 15 ．（22-23 九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）有依次排列的 3 个整式：a ，a - 2 ，-2 ，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a ， 2a - 2 ， a - 2 ， a - 4 ， -2 ，这称为第 1 次“取和操作” ；将第 1 次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作” ，可以得到第 2 次“取和操作”后的整式串； 以此类推．下列说法： ①当2 < a < 4 时，第 1 次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第 3 次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为 a - 8； ③第 4 次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为120a - 240；其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 B 【难度】 0.65 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题目所给 “ 取和操作 ” 的定义． 根据 2 < a < 4 ，判断第 1 次 “ 取和操作 ” 后 ，各个式子的正负，即可判断①；根据 “ 取和操作 ” 的定义，得出第 3 次 “ 取 和操作 ” 后，整式串中倒数第二个整式，即可判断②；得出第四次 “ 取和操作 ” 所有整式，相加即可判断③ . 【详解】解：①∵ 2 < a < 4 ， ∴ a > 0 ， 2 a - 2 > 0 ， a - 2 > 0 ， a - 4 < 0 ， - 2 < 0 ∴第 1 次 “ 取和操作 ” 后，有 3 个正数， 2 个负数， ∴整式串中所有整式的积为正数，故①不正确； ②第一次 “ 取和操作 ” 后，整式串中倒数二个整式 为 a - 4 ， - 2 ， 第二次 “ 取和操作 ” 后，整式串中倒数二个整式为 a - 6 ， - 2 ， 第三次 “ 取和操作 ” 后，整式串中倒数二个整式为 a - 8 ， - 2 ， ∴第 3 次 “ 取和操作 ” 后，整式串中倒数第二个整 式为 a - 8 ，故②正确； ③第一次 “ 取和操作 ” 所有整式为： a ， 2 a - 2 ， a - 2 ， a - 4 ， - 2 ， 第二次 “ 取和操作 ” 所有整式为： a ， 3 a - 2 ， 2 a - 2 ， 3 a - 4 ， a - 2 ， 2 a - 6 ， a - 4 ， a - 6 ， - 2 ， 第三次 “ 取和操作 ” 所有整式为： a ， 4 a - 2 ， 3 a - 2 ， 5 a - 4 ， 2 a - 2 ， 5 a - 6 ， 3 a - 4 ， 4 a - 6 ， a - 2 ， 3 a - 8 ， 2 a - 6 ， 3 a - 10 ， a - 4 ， 2 a - 10 ， a - 6 ， a - 8 ， - 2 ， 第四次 “ 取和操作 ” 所有整式为： a ， 5 a - 2 ， 4 a - 2 ， 7 a - 4 ， 3 a - 2 ， 8 a - 6 ， 5 a - 4 ， 7 a - 6 ， 2 a - 2 ， 7 a - 8 ， 5 a - 6 ， 8 a - 10 ， 3 a - 4 ， 7 a - 10 ， 4 a - 6 ， 5 a - 8 ， a - 2 ， 4 a - 10 ， 3 a - 8 ， 5 a - 14 ， 2 a - 6 ， 5 a - 16 ， 3 a - 10 ， 4 a - 14 ， a - 4 ， 3 a - 14 ， 2 a - 10 ， 3 a - 16 ， a - 6 ， 2 a - 14 ， a - 8 ， a - 10 ， - 2 ， ∴第 4 次 “ 取和操作 ” 后，整式串中所有整式之和为 122 a - 244 ； 故③不正确， 综上：正确的有 1 个， 故选： B ． ) 16 ．（22-23 七年级上·重庆沙坪坝·期中）有依次排列的两个整式：x ， x - 2 ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2 ，x - 2 ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x ，x - 2 ，2 ，4 -x ，x - 2 ，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当 x < 2 时，所有整式的积为正数；②第三次操作后整式串共有 9 个整式；③第 n 次操作后整式串共有2n +1个整式（n 为正整数）；④第 2023 次操作后，所有 16 学科网（北京）股份有限公司 的整式的和为2x + 4044 ．四个结论正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】①根据第二次操作后，当 x < 2 时，各个整式 的正负，判断所有整式的积的正负：②根据第三次操作后整 式的个数判定；③根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答 【详解】解：①原整式为： x ， x - 2 ， 第 1 次操作后所得整式串为： x ， 2 ， x - 2 ， 第 2 次操作后所得整式串为： x ， x - 2 ， 2 ， 4 - x ， x - 2 ， 此次所有整式之积为， 2 x ( x - 2 ) 2 ( 4 - x ) ， ∵ x < 2 ， ∴当 - 2 < x ≤ 0 时， x ≤ 0 ， ( x - 2 ) 2 > 0 ， 4 - x > 0 ， ∴ 2 x ( x - 2 ) 2 ( 4 - x ) ≤ 0 ，①不正确； ②第 3 次操作后所得整式串为： x ， 2 ， x - 2 ， x - 4 ， 2 ， x - 2 ， 4 - x ， 6 - 2 x ， x - 2 ，共有 9 个整式，②正确； ③第 1 次操作后整式串共有 3 个整式， 3 = 2 + 1 ， 第 2 次操作后整式串共有 5 个整式 5 = 2 2 + 1 ，， 第 3 次操作后整式串共有 9 个整式， 9 = 2 3 + 1 ， 第 4 次操作后整式串共有 17 个整式， 17 = 2 4 + 1 ， …… , 第 n 次操作后整式串共有整式个数为： 2 n + 1 ，③正确； ④第 1 次操作后所得整式串为： x ， 2 ， x - 2 ，所有整式之和为： 2 x ， 第 2 次操作后所得整式串为： x ， x - 2 ， 2 ， 4 - x ， x - 2 ，所有整式之 和为： 2 x +2 ， 第 3 次操作后所得整式串为： x ， 2 ， x - 2 ， x - 4 ， 2 ， x - 2 ， 4 - x ， 6 - 2 x ， x - 2 ，所有整式之和为： 2 x +4 ， 第 4 次操作后所得整式串为： x ， x - 2 ， 2 ， 4 - x ， x - 2 ， 2 ， x - 4 ， x - 6 ， 2 ， 4 - x ， x - 2 ， 2 x - 6 ， 4 - x ， x - 2 ， 6 - 2 x ， 8 - 3 x ， x - 2 ，所有整式之和为： 2 x + 6 ， …… , 第 n 次操作后所得所有整式的和为： 2 x + 2 ( n - 1 ) ， 故操作第 2023 次操作后所有整式之和为： 2 x + 2 × ( 2013 - 1 ) = 2 x + 4044 ．④正确． 故选： C ． 【点睛】此题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律． ) 17 ．（23-24 九年级下·重庆·阶段练习）依次排列的两个整式-2a +b ， 2a - 3b 将第 1 个整式乘 2 再减去第 2 个整式，称为第 1 次操作，得到第 3 个整式-6a + 5b ；将第 2 个整式乘 2 再减去第 3 个整式，称为第 2 次操作，得到第 4 个整式10a -11b ；将第 3 个整式乘 2 再减去第 4 个整式，称为第 3 次操作，得到第 5 个整式-22a + 21b ； … , 以此类推，下列 4 个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第 6 个整式为 -42a + 43b ； ②第n 个整式中a 系数与b 系数的和为 1； ③若a = b = 2024 ，则前n 个整式之和为2024n ． ④第n 次与第n + 1 次操作后得到的两个整式中a 与b 所有系数的绝对值之和为2n+3 ； A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 17 学科网（北京）股份有限公司 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方 法，从而可得答案． 【详解】解：①第 1 个整式： - 2 a + b ， 第 2 个整式： 2 a - 3 b ， 第 3 个整式： 2 ( - 2 a + b ) - ( 2 a - 3 b ) = - 6 a + 5 b ，（ 第一次操作） 第 4 个整式： 2 ( 2 a - 3 b ) - ( - 6 a + 5 b ) = 10 a - 11 b ，（ 第二次操作） 第 5 个整式： 2 ( - 6 a + 5 b ) - ( 10 a - 11 b ) = - 22 a + 21 b ，（ 第三次操作） 第 6 个整式： 2 ( 10 a - 11 b ) - ( - 22 a + 2 1 b ) = 42 a - 43 b ，（ 第四次操作） 第 7 个整式： 2 ( - 22 a + 21 b ) - ( 42 a - 43 b ) = - 86 a + 85 b ，（ 第五次操作） 故①错误； 由前面 7 个等式可得 a , b 的系数之和为 - 1 ， ∴第 n 个整式中 a 系数与 b 系数的和为 - 1 ；故②错误； ∵ a = b = 2024 ，当 n = 3 时 ，前 3 个整式之和为： - 2 a + b + 2 a - 3 b - 6 a + 5 b = - 6 a + 3 b = - 6 × 2024 + 3 × 2024 = - 3 × 2024 ≠ 3 × 2024 ，故③错误； 当 n = 1 时，第一次操作得 - 6 a + 5 b ，第二次操作得 10 a - 11 b ， 此时所有的系数的绝对值之和为 - 6 + 5 + 10 + - 11 = 32 = 2 5 ， 此时 2 n + 3 = 2 1 + 3 = 16 ≠ 2 5 ，故④错误， 故选 A 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含义，掌握 探究的方法是解本题的关键． ) 18 ．（21-22 七年级下·重庆·期末）对于任意一个正整数xi 可以按规则生成无穷数串： x1 ，x2 ，x3 ，… , xn ，xn+1 ，… （其中n 为正整数），规则为： xn 下列说法： ①若x1 = 4 ，则生成的这数串中必有xi = xi+3 （i 为正整数）； ②若x1 = 6 ，生成的前 2022 个数之和为 55； ③若生成的数中有一个xi+1 = 16 ，则它的前一个数xi 应为 32； ④若x4 = 7 ，则x1 的值只能是 9 ．其中正确的个数是（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】数字问题 ( 一元一次方程的应用 ) 、数字类规律探索 ) 18 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据规则分别求出x2, x3, x4 的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分xi 为偶数和xi 为奇数两种情况，分别根据规则建立方程，解方程求出xi 的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出x3, x2, x1 的值即可判断④ . 【详解】解：当x1 = 4 时， x2 = x1 = × 4 = 2 ， x3 = x2 = × 2 = 1 ， x4 = 3x3 +1 = 3 × 1+1 = 4， 由此可知， x1, x2, x3, … 的值是以4, 2, 1 循环往复的， 所以若x1 = 4 ，则生成的这数串中必有xi = xi +3 （i 为正整数），说法①正确；当x1 = 6 时， x2 = x1 = × 6 = 3 ， x3 = 3x2 +1 = 3 × 3 +1 = 10， x4 = x3 = × 10 = 5 ， x5 = 3x4 +1 = 3 × 5 +1 = 16， x6 = x5 = × 16 = 8 ， x7 = x6 = × 8 = 4 ， 则从x7 开始， x7, x8, x9, … 的值是以4, 2, 1 循环往复的，因为2022 = 6 + 3× 672 ， 所以若x1 = 6 ，生成的前 2022 个数之和为x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 672(x7 + x8 + x9 ) = 6 + 3 +10 + 5 +16 + 8 + 672× (4 + 2 +1) = 4752 ，说法②错误； 若xi 为偶数，则 xi = xi +1 = 16 ，解得xi = 32 ，符合题设， 若xi 为奇数，则3xi +1 = xi +1 = 16 ，解得xi = 5 ，符合题设， 所以若生成的数中有一个xi +1 = 16 ，则它的前一个数xi 应为 32 或 5 ，说法③错误；当x4 = 7 时，因为 7 为奇数， 所以 x3 = 7 ，解得x3 = 14 为偶数，所以 x2 = 14 或3x2 +1 = 14 ， 解得x2 = 28 或x2 = （舍去）， 19 学科网（北京）股份有限公司 ( 所以 x 1 = 28 或 3 x 1 + 1 = 28 ， 解得 x 1 = 56 或 x 1 = 9 ，均符合题意， 即若 x 4 = 7 ，则 x 1 的值是 9 或 56 ，说法④错误； 综上，正确的个数是 1 个， 故选： A ． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则， 正确归纳类推出一般规律是解题关键． ) 19 ．（23-24 七年级上·重庆荣昌·期末）从x ，y ，z 三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果x1 ， y1 ， z1 称为一次操作．下列说法： ①若x = 4 ， y = -1 ， z = 2 ，则 x1 ， y1 ， z1 三个数中最大的数是 7； ②若x = m ， y = 1 ， z = 6 ，且 x1 ， y1 ， z1 中最小值为-2 ，则m = 3 或 9； ③给定x ，y ，z 三个数，将第一次操作的三个结果x1 ，y1 ，z1 按上述方法再进行一次操作，得到三个结果x2 ，y2 ， z2 ，以此类推，第n 次操作的结果是xn ， yn ， zn ，则xn + yn + zn 的值为定值．其中正确的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一） —— 合并同类项与移项 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给计算方式发现规律是解题的关键．根据题中所给计算方式，依次进 行计算即可解决问题． 【详解】解： 由题知， 因为 x = 4 ， y = - 1 ， z = 2 ， 所以 4 + ( - 1) - 2 = 1 ， 4 + 2 - ( - 1) = 7 ， - 1 + 2 - 4 = - 3 ， 则 7 > 1 > - 3 ， 所以 x 1 ， y 1 ， z 1 三个数中最大的数 是 7 ； 故①正确． 因为 x = m ， y = 1 ， z = 6 ， 所以 m + 1 - 6 = m - 5 ， m + 6 - 1 = m + 5 ， 1 + 6 - m = - m + 7 ． 又因为 x 1 ， y 1 ， z 1 中最小值为 - 2 ， 若 m - 5 = - 2 ， 解得 m = 3 ， 此时 m + 5 = 8 ， - m + 7 = 4 ，且 - 2 < 4 < 8 ，故符合题意． 若 m + 5 = - 2 ， 解得 m = - 7 ， 此时 m - 5 = - 12 ， - 12 < - 2 ，故不符合题意． 若 - m + 7 = - 2 ， 解得 m = 9 ， 此时 m - 5 = 4 ， m + 5 = 14 ，且 - 2 < 4 < 14 ，故符合题意． 所以 m = 3 或 9 ． 故②正确． 由题知， ) 20 学科网（北京）股份有限公司 ( x 1 + y 1 + z 1 = x + y - z + x + z - y + y + z - x = x + y + z ； x 2 + y 2 + z 2 = x 1 + y 1 - z 1 + x 1 + z 1 - y 1 + y 1 + z 1 - x 1 = x 1 + y 1 + z 1 = x + y + z ； … , 依次类推， x n + y n + z n = x n - 1 + y n - 1 + z n - 1 = … = x 1 + y 1 + z 1 = x + y + z ； 所以 x n + y n + z n 的值为定值． 故③正确． 故选： A ) 20 ．（22-23 七年级下·重庆沙坪坝·期中） 已知两个整式M1 = x +1 ，M2 = x -1 ，用整式M1 与整式M2 求和后得到整式M3 = 2x ，整式M2 与整式M3 作差后得到整式M4 = -x -1，整式M3 与整式M4 求和后得到新的整式M5 ，整式M4 与整式M5 作差后得到新的整式M6 ， … , 依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法：①当x =1 时， M7 = -2 ；②整式M2 与整式M10 结果相同；③M6 = M11 + M19 ；④M1 + M2 + ... + M2027 + M2028 = 0 ．正确的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】根据题意依次计算出 M 1 = x + 1 ， M 2 = x - 1 ， M 3 = 2 x ， M 4 = - x - 1 = - M 1 ， M 5 = x - 1 = M 2 ， M 6 = - 2 x = - M 3 ， M = - x - 1 = - M M = - x + 1 = - M M = - 2 x = - M M = x + 1 = M M = - x + 1 = - M M = 2 x = M M 13 = x + 1 = M 1 ， M 14 = x - 1 = M 2 ， M 15 = 2 x = M 3 ， 根据观察可发现每 12 个一循环，将 x = 1 代入 M 7 中可判断① ；根据上述即可判断②； M 19 = M 7 ，再代入计算即可判 断③；先计算出 M 1 + M 2 + ... + M 12 ，则 M 1 + M 2 + ... + M 202 7 + M 2028 = 169 ( M 1 + M 2 + ... + M 12 ) ，以此可判断④ . 【详解】解： 由题意计算可得： M 1 = x + 1 ， M 2 = x - 1 M = M + M = 2 x M = M - M = - x - 1 = - M 5 3 4 2 ， M 6 = M 4 - M 5 = - 2 x = - M 3 ， M 7 = M 5 + M 6 = - x - 1 = M 4 = - M 1 ， M 8 = M 6 - M 7 = - x + 1 = - M 5 = - M 2 ， M 9 = M 7 + M 8 = - 2 x = M 6 = - M 3 ， M 10 = M 8 - M 9 = x + 1 = - M 7 = - M 4 = M 1 ， 7 1 ， 8 2 ， 9 3 ， 10 1 ， 11 2 ， 12 3 ， M = M + M = x - 1 = M 4 2 3 1 ， 3 1 2 ， ) 21 学科网（北京）股份有限公司 ( M 11 = M 9 + M 10 = - x + 1 = M 8 = - M 5 = - M 2 ， M 12 = M 10 - M 11 = 2 x = - M 9 = - M 6 = M 3 ， M 13 = M 11 + M 12 = x + 1 = M 1 ， M 14 = M 12 - M 13 = x - 1 = M 2 ， M 15 = M 13 + M 14 = 2 x = M 3 ， 以此类推，每 12 个一循环， : 当 x = 1 时， M 7 = - x - 1 = - 2 ，故①说法正确； 由上述可知，整式 M 2 与整式 M 10 结果不相等，故② 说法错误； : M 19 = M 7 ， M 6 = - 2 x ， : M 11 + M 19 = M 11 + M 7 = - x + 1 + ( - x - 1 ) = - 2 x : M 6 = M 11 + M 19 ，故③说法正确； : M 1 + M 2 + . .. + M 12 = M 1 + M 2 + M 3 - M 1 + M 2 - M 3 - M 1 - M 2 - M 3 + M 1 - M 2 + M 3 = 0 ， : M 1 + M 2 + ... + M 2027 + M 2028 = 169 ( M 1 + M 2 + ... + M 12 ) = 0 ，故④说法正确． : 正确的结论有①③④ , 共 3 个． 故选： C ． 【点睛】本题考查了整式的加减、规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意进行正确的计算，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出规 律． ) 21 ．（22-23 九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在整式x 、 3x + 2 之间插入它们的平均数： x +1 记作第一次操作，在x 与2x +1之间和2x +1与3x + 2 之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作， 以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为： x + ； ②若x = 2 ，经过 3 次操作后，所有数之和为 45； ③经过 8 次操作后，将得到 256 个整式； ④第 10 次操作后，从左往右第 2 个整式为： 以上四个结论正确的有 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 C 【难度】 0.65 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作 后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②代入 x = 2 ，求出 经过 4 次操作后所得数据， 求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过 8 次操作后所得整式个数即可判断； ④根据操作方式得出每次操作后从左往右第 2 个整式的规律，然后求出第 10 次操作后，从左往右的第 2 个整式即 ) 22 学科网（北京）股份有限公司 可判断． 【详解】解：①∵第一次操作后，所得整式从左往右分别为 x ， 2x +1 ， 3x + 2 ， ∴第二次操作后，从左往右第四个整式为： = x + ，结论①正确； ②当x = 2 时， 3x + 2 = 8 ， 第 1 次操作后分别为 2 ， 5 ， 8 ， 第 2 次操作后分别为 2 ， ， 5 ， ， 8 ， 第 3 次操作后分别是 2 ， ， ， ， 5 ， ， ， ， 8 ， ∴经过 3 次操作后，所有数之和为2 + + + + 5 + + + + 8 = 45 ，结论②正确； ③∵第 1 次操作后得到2 +1 = 3 个整式， 第 2 次操作后得到3 + 2 = 2 +1+ 2 = 5 个整式， 第 3 次操作后得到5 + 4 = 2 +1+ 2 + 22 = 9个整式， … ∴经过 8 次操作后，将得到2 +1+ 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = 257个整式，结论③不正确； ④∵第 1 次操作后，从左往右第 2 个整式为： ， 2x + x + 3x + 2 3x + 3x + 2 第 2 次操作后，从左往右第 2 个整式为： 4 = 4 ， 第 3 次操作后，从左往右第 2 个整式为： … ( 结论④正确； )∴第 10 次操作后，从左往右第 2 个整式为： 即结论正确的个数为 3， 故选：C． 22 ．（22-23 八年级下·重庆沙坪坝·期中）有一列数{-1, -2, -3, -4} ，将这列数中的每个数求其相反数得到{1, 2, 3, 4} ，再分别求与 1 的和的倒数，得到 ，设为{a1, a2, a3, a4 } ，称这为一次操作，第二次操作是将{a1, a2, a3, a4 } 再进行上述操作，得到{a5, a6, a7, a8 } ；第三次将{a5, a6, a7, a8 } 重复上述操作，得到{a9, a10, a11, a12 } … … 以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个 ① a5 = 2 ， a6 = ， a7 = ， a8 = ② a2015 = 3 ③ a1 + a2 + a3 + . . . . . . +a49 + a50 = - ． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解： 由题意得： a ) 23 学科网（北京）股份有限公司 ( ∵ 2015 ÷ 4 = 503 …… 3 ， ∴ a 2015 是由 a 3 经过 503 次操作所得， ∴ a 3 、 a 7 、 a 11 、 … … ，三个为一组成一个循环， ∵ 503 ÷ 3 = 167 …… 2 ， ∴ a 2015 = a 11 = - 3 ，故②错误； 依次计算： a 9 = = - 1 ， a 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 + 1 2 ， 14 2 + 1 3 ， 15 3 + 1 4 ， 16 4 + 1 5 ， … , 则每 3 次操作，相应的数会重复出现， : a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a 10 + a 11 + a 12 = + + + + 2 + + + - 1 - 2 - 3 - 4 79 = - , 30 : 50 ÷ 12 = 4......2 ， : a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a 48 + a 49 + a 50 = - × 4 + + = - ．故③错误； 综上分析可知，正确的有 1 个， 故选： B ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出 前面的几个数，发现其存在的规律． a = = a = = a = = a = = ) 23 ．（2024·重庆·二模） 已知两个整式： m ， m + n ，将这两个整式进行如下操作： 第 1 次操作：用这两个整式的和除以 2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串 1：m ， 第 2 次操作：在整式串 1 中，用相邻两个整式的和除以 2 ，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串 2 ： m ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ，以此类推，可以得到整式串 3 ，整式串 4 ， … … 明明同学对此展开研究，得到以下 3 个结论： ①整式串4 共有 17 个整式； ②整式串 9 从左往右第 2 个整式减去整式串 10 从左往右第 2 个整式的差为- n ； ③经过 2024 次操作后，整式串的和为n ；以上 3 个结论正确的有 ( ) 24 学科网（北京）股份有限公司 A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，整式串 1 ： m ， m + n ， m + n ；有 2 1 + 2 - 1 = 3 个， 整式串 2 ： m ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n ；有 2 2 + 2 - 1 = 5 个， 整式串 3 ： m ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ；有 2 3 + 2 - 1 = 9 个， 由此，得到整式串 4 ，有 2 4 + 2 - 1 = 17 个整式，可判断①；根据规律，得到整式串 9 从左往右第 2 个整式是 m + n ， 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 整式串 2 ： m ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n 的和为； n ， 整式串 3 ： m ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n 的和为； ( 2 3 + 1 ) m + n ， 由此得到，经过 2024 次操作后，整式串的和为 n ， 可以判定③ . 本题考查了整式中的规律，会构造以 2为底数，序号整数为指数的幂是解题的关键． 【详解】根据题意，整式串 1 ： m ， m + n ， m + n ；有 2 1 + 2 - 1 = 3 个， 整式串 2 ： m ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n ；有 2 2 + 2 - 1 = 5 个， 整式串 3 ： m ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ；有 2 3 + 2 - 1 = 9 个， 由此，得到整式串 4 ，有 2 4 + 2 - 1 = 17 个整式，可判断①正 确； 根据规律，得到整式串 9 从左往右第 2 个整式是 m + n ，整式串 10 从左往 右第 2 个整式 m + n ，其差为 可判断②错误； 根据题意，整式串 1 ： m ， m + n ， m + n 的和为； n ， 整式串 2 ： m ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n = m + n ， m + n 的和为； n ， 整式串 3 ： m ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n ， m + n 的和为； ( 2 3 + 1 ) m + n ， 由此得到，经过 2024 次操作后，整式串的和为 n ， 可以判定③正确． 故选 B ． 整式串 10 从左往右第 2 个整式 m + 2 10 n ，其差为 |( m + 2 9 n , - |( m + 2 10 n , = 2 9 n - 2 10 n = 2 10 n ，可判断②; 根据题意 ， 整式串 1 ： m ， m + n ， m + n 的和为； ( 2 1 + 1 ) m + n ， ) 24 ．（23-24 九年级下·重庆·期中）对于四个整式： x、2x +1、3x + 2、4x + 3 ，任选其中两个整式改变其每一项的符号， 再求和，称这种操作为“半负操作” ．例如： x + (-2x -1) + (3x + 2) + (-4x - 3) = -2x - 2 ，下列相关说法中正确的个数 25 学科网（北京）股份有限公司 是 ： ( ) ①不存在任何一种“半负操作”使得结果为单项式； ②所有的“半负操作”共有 6 种不同的结果； ③用某种“半负操作”的结果替换原四个整式中的某个整式，然后从新的四个整式中任选两个整式改变其每一项的符号，再求和，得到的结果各项系数可能均为 0． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】合并同类项、去括号、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，根据 整式加减运算法则，结合新定义，求出所有 “ 半负操作 ” 的结果，然后再逐项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：① - x + ( 2 x + 1 ) + ( 3 x + 2 ) + ( - 4 x - 3 ) = - x + 2 x + 1 + 3 x + 2 - 4 x - 3 = 0 ， ∴存在任何一种 “ 半负操作 ” 使得结果为单项式，故①错误； ② - x + ( - 2 x - 1 ) + ( 3 x + 2 ) + ( 4 x + 3 ) = 4 x + 4 ， - x + ( 2 x + 1 ) + ( - 3 x - 2 ) + ( 4 x + 3 ) = 2 x + 2 ， - x + ( 2 x + 1 ) + ( 3 x + 2 ) + ( - 4 x - 3 ) = 0 ， x + ( - 2 x - 1 ) + ( - 3 x - 2 ) + ( 4 x + 3 ) = 0 ， x + ( - 2 x - 1 ) + ( 3 x + 2 ) + ( - 4 x - 3 ) = - 2 x - 2 ， x + ( 2 x + 1 ) + ( - 3 x - 2 ) + ( - 4 x - 3 ) = - 4 x - 4 ， ∴共有 5 种结果，故②错误； ③所有的 “ 半负操作 ” 共有 0 ， 2 x + 2 ， 4 x + 4 ， - 2 x - 2 ， - 4 x - 4 ，用这 5 种结果替换四个整式： x 、 2 x + 1 、 3 x + 2 、 4 x + 3 中的任何一个，然后从新的四个整式中任选两个整式改变其每一项的符号，再求和，都不能得到的结果各项系数均 为 0 ，故③错误； 综上分析可知，正确的个数为 0 个， 故选： A ． ) 25 ．（23-24 八年级下·重庆垫江·期末）对于多项式： x +1 ， 2x - 2 ， 3x + 4 ，4x - 5 我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差相加求和，并算出结果，称之为“差之和操作” 例如： (x +1) - (2x - 2) = -x + 3 ， (3x + 4)- (4x - 5) = -x + 9 ； (-x + 3) + (-x + 9) = -2x +12 给出下列说法： ①只存在一种“差之和操作” ，使其结果为单项式； ②至少存在一种“差之和操作” ，使其结果为 -2x +12； ③所有的“差之和操作”只共有 4 种不同的结果．以上说法中正确的是 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 ( 【答案】 B 【难度】 0.85 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减法运算，根据题目的要求，罗列所有情况，进行求解即可解答，是中考常考的题 型． 根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． ) 26 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】解：令 A = x + 1, B = 2 x - 2 , C = 3 x + 4, D = 4 x - 5 ，则有以下情况： 第 1 种： A - B + C - D = ( x + 1) - (2 x - 2) + (3 x + 4) - (4 x - 5) = - 2 x + 12 ； 第 2 种： B - A + C - D = (2 x - 2) - ( x + 1) + (3 x + 4) - (4 x - 5) = 6 第 3 种： A - B + D - C = ( x + 1) - (2 x - 2) + (4 x - 5) - (3 x + 4) = - 6 第 4 种： B - A + D - C = (2 x - 2) - ( x + 1 ) + (4 x - 5) - (3 x + 4) = 2 x - 12 第 5 种： A - C + B - D = ( x + 1) - (3 x + 4) + (2 x - 2) - (4 x - 5) = - 4 x 第 6 种： A - C + D - B = ( x + 1) - (3 x + 4) + (4 x - 5) - (2 x - 2) = - 6 第 7 种： C - A + B - D = (3 x + 4) - ( x + 1) + (2 x - 2) - (4 x - 5) = 6 第 8 种： C - A + D - B = (3 x + 4) - ( x + 1) + (4 x - 5) - (2 x - 2) = 4 x 第 9 种： A - D + B - C = ( x + 1) - (4 x - 5) + (2 x - 2) - (3 x + 4) = - 4 x 第 10 种： A - D + C - B = ( x + 1) - (4 x - 5) + (3 x + 4) - (2 x - 2) = - 2 x + 12 第 11 种： D - A + B - C = (4 x - 5) - ( x + 1) + (2 x - 2) - (3 x + 4) = 2 x - 12 第 12 种： D - A + C - B = (4 x - 5) - ( x + 1) + (3 x + 4) - (2 x - 2) = 4 x 由上可知，①存在 8 种 “ 差之和操作 ” ，使其结果为单项式；故错误； ②存在 2 种 “ 差之和操作 ” ，使其结果为 - 2 x + 12 ； 故正确； ③所有的 “ 差之和操作 ” 只共有 6 种不同的结果，故错误． 故选： B ． ) 26．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对-2x2 - x +1进行“加系数操作”后可以是-2x2 - x +1+ (-2x2 ) = -4x2 - x +1 ． 下列说法： ①对x2 + x + 1进行所有“加系数操作”后的多项式的和是4x2 + 4x + 4 ； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于 x 的二次三项式 ax2 + bx + c （a ，b ，c 为常数）的值不可能为零，则对ax2 + bx + c进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 D 【难度】 0.65 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算 【分析】本题考查了多项式的项、系数、次数，整式的加法运算．理解题意并正确的计算整式的加法是解题的关键． 对 x 2 + x + 1 进行所有 “ 加系数操作 ” 后的多项式的和为 ( x 2 + x + 1 + x 2 ) + ( x 2 + x + 1 + x ) + ( x 2 + x + 1 + 1 ) = 4 x 2 + 4 x + 4 ，可 判断①的正误； 由题意知， - 2 x 2 - x + 1 进行 “ 加系数操作 ” 后可以是 - 2 x 2 - x + 1 + ( - 2 x 2 ) = - 4 x 2 - x + 1 ； - 4 x 2 - x + 进行 “ 加系数操作 ” 后可以是 - 4 x - 4 x 2 - x + 1 ；即存在不同的二次三项式，对它们进行 “ 加系数操作 ” 后， 其结果相同，可判断②的正误； 由题意知，对 ax 2 + bx + c 进行 “ 加系数操作 ” 后的多项式的值为 2 ax 2 + bx + c 或 ax 2 + 2 bx + c 或 ax 2 + bx + 2 c ，由关于 x 的二次三项式 ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数）的值不可能为零，可知 2 ax 2 + bx + c 或 ax 2 + 2 bx + c 或 ax 2 + bx + 2 c 也不可能为零，可判断③的正误． 【详解】解：对 x 2 + x + 1 进行所有 “ 加 系数操作 ” 后的多项式的和为 ( x 2 + x + 1 + x 2 ) + ( x 2 + x + 1 + x ) + ( x 2 + x + 1 + 1 ) = 4 x 2 + 4 x + 4 ，正确，故①符合要求； 由题意知， - 2 x 2 - x + 1 进行 “ 加系数操作 ” 后可以是 - 2 x 2 - x + 1 + ( - 2 x 2 ) = - 4 x 2 - x + 1 ； - 4 x 2 - x + 进行 “ 加系数操作 ” 后可以是 - 4 x 2 - x + + = - 4 x 2 - x + 1 ； ∴存在不同的二次三项式，对它们进行 “ 加系数 操作 ” 后，其结果相同，②正确，故符合要求； 由题意知，对 ax 2 + bx + c 进行 “ 加系数操作 ” 后的多项式的值为 2 ax 2 + bx + c 或 ax 2 + 2 bx + c 或 ax 2 + bx + 2 c ， ) 27 学科网（北京）股份有限公司 ( ∵关于 x 的二次三项式 ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数）的值不可能为零， ∴ 2 ax 2 + bx + c 或 ax 2 + 2 bx + c 或 ax 2 + bx + 2 c 也不可能为零，③正确，故符合要求； 故选： D ． ) 27 ．（23-24 九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在多项式x -y + z - m + n 中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作” ．例如： x - y + z - (m + n ) = x - y + z - m - n ， x - (-y + z + m) + n = x + y - z - m + n ， …给出下列说法： ①存在某种“加换操作” ，使其结果为x -y - z + m - n ； ②不存在某种“加换操作” ，使其结果与原多项式的和为0； ③所有的“加换操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】添括号、去括号 【分析】本题考查了新定义运算，直接罗列出所有的可能，作答即可． 【详解】 ∵ x - ( y + z - m + n ) = x - y - z + m - n ∴①说法正确； 若要使结果与原多项式的和为 0 ， 则末项的 n 必须变号，则括号之前的符号必须是负号， 如果括号前是负号，则添加的括号必定不含首项 x ， 则此时如何添加括号，无法使得 x 的符号为负号， 所以不可能使得结果与原多项式的和为 0 ， ∴②说法正确 第 1 种： ( - x + y ) + z - m + n = - x + y + z - m + n ； 第 2 种： ( x - y + z ) - m + n = x - y + z - m + n ； 第 3 种： ( - x - y + z + m ) + n = - x - y + z + m + n ； 第 4 种： ( x - y + z - m + n ) = x - y + z - m + n ，与第 2 种重复； 第 5 种： x - ( y + z ) - m + n = x - y - z - m + n ； 第 6 种： x - ( - y + z + m ) + n = x + y - z - m + n ； 第 7 种： x - ( y + z - m + n ) = x - y - z + m - n ； 第 8 种： x - y + ( - z + m ) + n = x - y - z + m + n ； 第 9 种： x - y + ( z - m + n ) = x - y + z - m + n ，与第 2 种重复； 第 10 种： x - y + z - ( m + n ) = x - y + z - m - n ； 减去重复的结果，总计有 8 种结果， ∴③说法正确 ∴正确的个数为 3 ) 28 学科网（北京）股份有限公司 ( 故选： D ． ) 28 ．（23-24 七年级下·重庆秀山·期末）在 5 个字母a, b, c, d , e （均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“ + ”或者一个“ - ”组成一个多项式，且从字母a, b 之间开始从左至右所添加的“ + ”或“ - ”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如： (a + b ) - (c + d ) - e = a + b- c -d - e, (a + b ) - (c + d - e) = a + b- c -d + e ． 下列说法： ①存在“对括操作” ，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作” ，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有 6 种不同运算结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了去括号，整式的加减计算，由于(a -b) + (c -d ) + e = a -b+ c -d + e ，据此可判断①；任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母a 的系数始终是 2，据此可判断②；分当添加符号为a -b+ c -d + e时，当添加符号为a +b - c +d - e 时，两种情况分别求出添加括号并去括号后的结果即可得到答案． 【详解】解：当添加符号为a -b+ c -d+ e 时，则添加括号后可以为 (a -b) + (c -d ) + e ， ∵(a - b) + (c - d ) + e = a - b + c - d + e ， ∴存在“对括操作” ，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等，故①正确； ∵不管怎么添加符号和添加括号，字母a 的系数始终是 1， ∴任意两种“对括操作” ，使它们的运算结果求和后字母a 的系数始终是 2， ∴不存在两种“对括操作” ，使它们的运算结果求和后为 0 ，故②正确； 当添加符号为a -b+ c -d+ e 时， (a - b) + (c - d ) + e = a - b + c - d + e ， (a - b) + c - (d + e) = a - b + c - d - e ， (a - b) + (c - d + e) = a - b + c - d - e ， a - (b + c ) - (d + e) = a - b - c - d - e ，当添加符号为a +b - c +d - e 时， (a + b) - (c + d ) - e = a + b - c - d - e ， (a + b) - c + (d - e) = a + b - c + d - e ， (a + b) - (c + d - e) = a + b - c - d + e ， a + (b - c ) + (d - e) = a + b - c + d - e ， 综上所述，所有的“对括操作”共有 6 种不同运算结果，故③正确，故选：D． 29 ．（22-23七年级上·重庆渝中·阶段练习）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为 29 学科网（北京）股份有限公司 一个数，如： a - (b+ c )- (-d - e ) ，其中称a 为“数 1” ，b 为“数 2” ， +c 为“数 3” ， -d 为“数 4” ， -e 为“数 5” ，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考” ，例如：对上述代数式的“数 1”和“数 5”进行“换位思考” ，得到： -e - (b+ c )- (-d+ a ) ，则下列说法中正确的个数是 ( ) ①代数式(a -b )+ (c -d )- e 进行一次“换位思考” ，化简后只能得到 1 种结果 ②代数式a - (b+ c -d - e) 进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 5 种结果 ③代数式a + b- (c - d - e)进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 7 种结果 ④代数式a - b + c - (d - e)进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 8 种结果 A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】去括号 【分析】根据括号外面是 “ + ” ，去括号不改变 括号里面式子的符号；括号外面是 “ - ” ，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式 ( a - b ) + ( c - d ) - e 中，将任意两个数 交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得 到一种结果，均为 a - b + c - d - e ，故①正确； 代数式 a - ( b + c - d - e ) 中，有两种情况： （ 1 ）括号内四个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一 种结果，为 a - b - c + d + e ； （ 2 ）当 a 分别与括号内的四个数换位思考，化简后得到 4 种结果分 别为： - a + b - c + d + e ； - a - b + c + d + e ； - a - b - c - d + e ； - a - b - c + d - e ． 故该代数式共得到 5 种结果，故②正确； 代数式 a + b - ( c - d - e ) 中，有三种情况： （ 1 ） a 与 b 进行换位思考以及 c ， - d ， - e 三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有 1 种结 果，均为： a + b - c + d + e ； （ 2 ） a 与 c ， - d ， - e 分别进行换位思考，化简后得到 3 种结果，分别为： - a + b + c + d + e ， - a + b - c - d + e ， - a + b - c + d - e ； （ 3 ） b 与 c ， - d ， - e 分别进行换位思考，化简后得到 3 种结果，分别为： a - b + c + d + e ， a - b - c - d + e ， a - b - c + d - e ， 故该函代数式共得到 7 种结果，故③正确； 代数式 a - b + c - ( d - e ) 中，有三种情况： （ 1 ） b 与 c 换位思考及 d 与 - e 换位思考 ，化简后只有 1 种结果： a - b - c + d - e ； （ 2 ） a 分别与 b 和 c 换位思考，得到 2 种结果；分别为： - a + b - c + d - e ， - a - b + c + d - e ； （ 3 ） a 分别与 d ， - e 换位思考，得到 1 种结果为 a - b - c + d - e ，此结果重 复； （ 4 ） b 分别与 d ， - e 换位思考，得到 2 种结果，分别为： a + b - c - d - e ， a + b - c + d + e ； （ 5 ） c 分别与 d ， - e 换位思考，得到 2 种结果；分别为： a - b + c - d - e ， a - b + c + d + e ； 故该代数式共有 7 种结果，故④错误； 故选： C ． 【点睛】本题考查了去括号，属于新定义题型 ，关键是熟练掌握新定义的运算法则． ) 30 ．（23-24 九年级上·重庆·期中）在多项式a -b+ c -d - e 中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作” ．例如，选择b ，d 进行“加括号操作” ，得到a -(b+ c -d) -e = a -b-c +d-e ．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作” ，按此方法，进行第n(n ≥ 1) 轮“加括号操作” ．以下说法： ① 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 30 学科网（北京）股份有限公司 ② 总存在第k(k≥1) 轮“加括号操作” ，使得结果与原多项式的和为0； ③ 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有4 种不同结果．其中正确的个数为 ( ) A ． 0 个 B ． 1个 C ． 2 个 D ． 3 个 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】去括号、添括号、整式的加减运算、举例说明 假（真）命题 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的 关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例． 【详解】解： ① 题目中说存在着一个式子第一轮 “ 加 括号操作 ” 的结果与原多项式相等， 举出正例：选择 c 、 e 进行 “ 加括号操作 ” 得到 a - b + ( c - d - e ) = a - b + c - d - e ， 与原多项式相等，故说法正确； ② 总存在第 k ( k ≥ 1 ) 轮 “ 加括号操作 ” ，使得结果与原多项式的和为 0 ， ∵无论选择哪两个字母， a 的正负是不发生改变的， ∴任何一轮 “ 加括号操作 ” 与原多项式相加是无法消去 a 的， ∴存在第 k ( k ≥ 1 ) 轮 “ 加括号操作 ” ，使得结果与原多项式的和为 0 是错误的； ③ 对原多项式进行第一轮 “ 加括号操作 ” 后，共有 4 种 不同结果， 举出反例：选择 b 、 e 进行 “ 加括号操作 ” ，得到 a - ( b + c - d - e ) = a - b - c + d + e ， 选择 b 、 d 进行 “ 加括号操作 ” ，得到 a - ( b + c - d ) - e = a - b - c + d - e ， 选择 b 、 c 进行 “ 加括号操作 ” ，得到 a - ( b + c ) - d - e = a - b - c - d - e ， 选择 c 、 e 进行 “ 加括号操作 ” ，得到 a - b + ( c - d - e ) = a - b + c - d - e ， 选择 d 、 e 进行 “ 加括号操作 ” ，得到 a - b + c - ( d - e ) = a - b + c - d + e ， 结果大于四种，故说法错误； 故选： B ． ) 31 ．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）数学课上李老师把 54 张扑克牌按照 1 、2 、3 、 … 、54 的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有 54 名学生，同样把这 54 名学生按照 1、 2 、3 、 … 、54 的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第 1 次：1 号学生把扑克牌中编号为 1 的倍数的所有牌翻一次；第 2 次：2 号学生把扑克牌中编号为 2 的倍数的所有牌再翻一次；第 3 次：3 号学生把扑克牌中编号为 3 的倍数的所有牌也翻一次… 第 54 次：54 号学生把 54 号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2 号学生操作结束后，共有 27 张牌正面朝上； ②4 号学生操作结束后，共有 32 张牌正面朝上； ③54 号学生操作结束后，共有 6 张牌正面朝上，且这 6 张牌对应编号之和为 91．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ( 【答案】 C 【难度】 0.4 【知识点】数字类规律探索 ) 31 学科网（北京）股份有限公司 ( 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据题意，易得： 2 号学生操作结束后，共有 27 张牌正面朝上； 4 号学生操 作结束后，共有 32 张牌正面朝上； 54 号学生操作结束后，编号为 1 、 4 、 9 、 16 、 25 、 36 、 49 的扑克牌正面朝上， 共有 7 张牌正面朝上；因此①②是正确的，③不正确． 【详解】解： 1 号学生操作结束后，共有 54 张牌正面朝 上； 2 号学生操作结束后，牌面依次为：正背正背正背L 正背正背正背，共有 27 张牌正面朝 上，因此结论①正确； 3 号学生操作结束后，牌面依次为：正背背背正正L 正背背背正正，每 6 张牌中有 3 个正面，共 9 组，因此共有 27 张牌正面朝上； 4 号学生操作结束后，牌面依次为：正背背正正正正正背背正背L 正背背正正正，每 12 张牌中有 7 个正 面，共 4 组余 6 张牌，正面朝上的牌数为 7 × 4 + 4 = 32 （张 ）， 因此结论② 正确； 5 号学生翻了 10 张牌，这 10 张牌原本依次是：正背背正正正正正背 背， 5 号学生操作结束后，变为 4 正 6 背，因 此正面朝上的牌数为 30 张； 6 号学生翻了 9 张牌，这 9 张牌原本依次是：正背正背背背正背正， 6 号学生操作结束后，变为 5 正 4 背，因此正 面朝上的牌数为 31 张； 7 号学生翻了 7 张牌，这 7 张牌原本依次是：正背背正背背正， 7 号学生操作结束后，变为 4 正 3 背，因此正面朝 上的牌数为 32 张； 8 号学生翻了 6 张牌，这 6 张牌原本依次是：正正正正背正， 8 号学 生操作结束后，变为 1 正 5 背，因此正面朝上 的牌数为 28 张； 9 号学生翻了 6 张牌，这 6 张牌原本依次是：背背背正正背， 9 号学生操作结束后，变为 4 正 2 背，因此正面朝上 的牌数为 30 张； 此时发现前 9 张牌中，第 1 、 4 、 9 张是正面朝上，其他 6 张都是背面朝上； 经分析验证， 54 号学生操作结束后，第 16 、 25 、 36 、 49 张牌也是正面朝上 的， 因此，最终共有 7 张牌正面朝上，因此结论③不正确； 因此，正确的个数是 2 个． 故选： C ． ) 三、新定义运算 32 ．（21-22 七年级下·重庆忠县·期末）对于实数 a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过 a 的最大整数．例如：[1.3] ＝1 ，[ -1.3] ＝ -2 ，对于后面结论：①[ -2.3]+[2] ＝ -1 ；②因为[1.3]+[ -1.3] ＝ -1 ，所以[a]+[ -a] = -1 ；③若方程 x -[x] ＝0. 1 有解，则其解有无数多个；④若[a+2] ＝2 ，则 a 的取值范围是 0≤a＜1；⑤当 -1≤a＜1时，则[1+a] -[1 -a]的值为 1 或 2 ．正确的是( ) A ．②③④ B ．①②④ C ．①③④⑤ D ．①③④ ( 【答案】 D 【难度】 0.4 【知识点】新定义下的实数运算、一元一次 不等式组应用【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值； ②取特殊值验证，证实或证伪； ③在 0 到 1 的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解； ④把方程问题转化为不等式问题； ⑤分情况讨论，验证 [1+ a ]-[1- a 的所有取 值． 【详解】对于① , [-2.3]+[2]=-3+2=-1 ，故正确；对于② , 当 a =1 时， [ a ]+[- a ]=0 ，故不正确； 对于③ , 当 x =1. 1 ， 2. 1 ， 3. 1 ， ... 时，方程均成立，故正确； 对于④ , 由 [ a +2]=2 ，得 2≤ a +2 ＜ 3 ，即 0≤ a ＜ 1 ，故正确； 对于⑤ , 当 a =-1 时， [1+ a ]-[1- a ]=0-2=-2 ； 当 -1 ＜ a ＜ 0 时， [1+ a ]-[1- a ]=0-1=-1 ； a=0 时， [1+a]+[1-a]=0 ； 当 0 ＜ a ＜ 1 时， [1+ a ]-[1- a ]=1-0= 1 ． ) 32 学科网（北京）股份有限公司 ( 故 [1+ a ]-[1- a ] 的值为 -1 或 0 或 1 或 -2 ，故⑤不正确． 综上所述，正确的是①③④ 故选： D ． 【点睛】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问 题去解决． ) 33．（23-24 七年级上·重庆渝中·期中）我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作x ，又把x - [x]称为x 的小数部分，记作{x} ，则有x = [x]+ {x} ．如： [1.3] = 1 ， {1.3} = 0.3 ， 1.3 = [1.3]+ {1.3} ．下列说法中正确的有 ( ) 个 ① [2.8] = 2 ； ② [-5.3] = -5 ； ③若1< x < 2 ，且{x} = 0.4 ，则x = 1.4 或x = -1.4 ； ④方程4[x]+1 = {x}+ 3x 的解为x = 0.25 或x = 2.75 ． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】有理数的减法运算、解一元一次方程 —— 拓展 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和② , 求出 x = 1.4 或 x = - 1.4 时的 { x } 判断③ , 根据新定义得到 4 { x } = [ x ] + 1 ，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解： 由题意，得： [ 2.8 ] = 2 ，故①正确； [ - 5 .3 ] = - 6 ，故②错误； 当 x = 1.4 时， [ 1.4 ] = 1 ， { 1.4 } = 1. 4 - [ 1.4 ] = 0.4 ， 当 x = - 1.4 时： [ - 1 .4 ] = - 2 ， { - 1 .4 } = - 1. 4 - ( - 2 ) = 0.6 ≠ 0.4 ；故③错误； ∵ x = [ x ] + { x } ， 4 [ x ] + 1 = { x } + 3 x ∴ 4 [ x ] + 1 = { x } + 3 ( [ x ] + { x } ) ， ∴ 4 { x } = [ x ] + 1 ∵ 0 ≤ { x } < 1 ， ∴ 0 ≤ 4 { x } < 4 ， ∴当 [ x ] = - 1 时， 4 { x } = 0 ， { x } = 0 ，此时 x = - 1 ； [ x ] = 0 时， 4 { x } = 1 ， { x } = 0. 25 ，此时 x = 0.25 ； ) 33 学科网（北京）股份有限公司 ( 当 [ x ] = 1 时， 4 { x } = 2 ， { x } = 0.5 ，此时 x = 1.5 ， 当 [ x ] = 2 时， 4 { x } = 3 ， { x } = 0.75 ，此时 x = 2.75 ； 综上： 4 [ x ] + 1 = { x } + 3 x 的解为 x = 0.25 或 x = 2.75 或 x = - 1 或 x = 1.5 ；故④错误． 故选 A. ) 34 ．（23-24 七年级下·重庆渝中·期末）对于任意实数 x ，其整数部分记为x ，小数部分记为{x} ，即：x = [x]+ {x}，其中x表示不超过 x 的最大整数．如[1.2] = 1 ，{1.2} = 0.2 ；[-1.2] = -2 ，{-1.2} = 0.8 ．下列结论正确的个数是 ( ) ① {-0.5} = -0.5 ； ②若x + y = n （n 是整数），则[x]+ [y] = n ； ③若[x] = 1 ， [y] = 2 ， [z] = 3 ，则[x + y + z]所有可能的值为6 ， 7 ， 8 ； ④方程3[x]-1 = {x}+ 2x 的解为x = 1 或x = ． A ． 1个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判 断即可； 【详解】① : - 0.5 = [ - 0 .5 ] + { - 0 .5 } ， [ - 0 .5 ] = - 1 ， : { - 0 .5 } = 0.5 ，故①错误； ② : x - 1 < [ x ] ≤ x ， y - 1 < [ y ] ≤ y : x + y - 2 < [ x ] + [ y ] ≤ x + y ， 则 [ x ] + [ y ] = n 或 n - 1 ，故②错误； ③ [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 ， [ y ] ≤ y < [ y ] + 1 ， [ z ] ≤ z < [ z ] + 1 [ x ] + [ y ] + [ z ] ≤ x + y + z < [ x ] + [ y ] + [ z ] + 3 6 ≤ x + y + z < 9 则 [ x + y + z ] 所有可能的值为 6 ， 7 ， 8 ，故③正确； ④ : x = [ x ] + { x } ， : { x } = x - [ x ] ， 3 [ x ] - 1 = { x } + 2 x ) 34 学科网（北京）股份有限公司 ( 即 3 x = 4 [ x ] - 1 ， 4 ( x - 1 ) < 4 [ x ] ≤ 4 x ， 4 x - 2 < 3 x ≤ 4 x - 1 ， 1 ≤ x < 2 ，故④错误； 综上所述；只有一个正确， 故选： A ) 35 ．（22-23 七年级上·广东深圳·期中）对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为< x > ，即当 n 为非负整数时，若n - ≤ x < n + ，则< x >= n ，如< 0.37 >= 0 ， < 3.51 >= 4 ，给出下列关于< x > 的结论正确的是 ( ) ① < 1.499 >= 1 ； ② < 3x >= 3 < x > ； ③ < x + y >=< x > + < y > ； ④当x ≥ 0 ，m 为非负整数时，有< m + 2022x >= m+ < 2022x > ； ⑤满足< x >= x 的非负数 x 只有两个． A ．①④ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．①③④ ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】先理解题意，表示对 x 四舍五入．①可直接判断；②③可取特殊值检验正误；④整数不影响四舍五入； ⑤ < x >= x ，则 x 为整数，那么 x 是 的倍数，可代入特殊值验证． 【详解】① < 1 ． 499 >= 1 ，说法正确； ②比如 x = 0.5 时， < 3 x >=< 1 ． 5 >= 2 ，而 3 < x >= 3 < 0 ． 5 >= 3 ， 2 ≠ 3 ，说法错误； ③比如 x = 1 ． 5, y = 2 ． 5 时 ， < x + y >=< 4 >= 4 ， 而 < x > + < y >=< 1 ． 5 > + < 2 ． 5 >= 2 + 3 = 5 ， 4 ≠ 5 ，说法错误； ④ m 为非负整数，则 < m >= m ，所以当 x ≥ 0 时， < m + 2022 x >= m + < 2022 x > ，说法正确； ⑤若满足 < x >= x ，则 x 为整数， x 必然是 的倍数．经验证： x = 0 时 < 0 >= × 0 ； x = 时 < >= 1 = × , 符合条件的 x 有两个，说法正确． 故选： B 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算 ，理解题意用特殊值法是解题的关键． ) 36．（22-23 七年级上·河北·阶段练习）题目：“对于不相等的a ，b ，规定新运算a★b = {l〔aab (+)b-5(a(a<>bb))，，例如：2★(-1)， 因为2 > -1 ，所以2★(-1) = 2 +(-1)- 5 = -4 ．若x★2 = ，求x 的值．”对于其答案，甲答：x = 7 ；乙答：x = ；丙答： x = 4 ，则正确的是 ( ) A ．只有甲答的对 B ． 甲、乙答案合在一起才完整 C ．乙、丙答案合在一起才完整 D ．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】分两种情况：当x > 2 时，得x ，当x < 2 时，得2x 【详解】解：当x > 2 时，根据题意得x + 2 - 5 = ， 分别求解，即可得出答案． 35 学科网（北京）股份有限公司 ( 解得： x = 7 ； 当 x < 2 时， 得 2 x 解得： x = ； ∴ 甲、乙答案合在一起才完整， 故选： B ． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． ) 〔 m - n (m ≤ n ) 37 ．（23-24 七年级上·重庆巴南·期末）若定义一种新运算mvn = {lm + n - 2(m > n ) ，例如： 1v2 = 1- 2 = -1, 4v3 = 4 + 3 - 2 = 5 ，下列说法： ① -7v9 = -16 ； ②若1v(2x - 3) = 2 ，则x = 1 或 3.5； ③若-2v(1+ x ) = -2 ，则x = ±1 或x = ±3 ； ④若关于 x 的方程-x = (-m + 2x )v(3m + x ) 与 - = + （m 为常数）有相同的解，则m = -3 或 1．其中正确的个数是 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1 ( 【答案】 B 【难度】 0.85 【知识点】解一元一次方程 —— 拓展 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义的运算法则进行计算，逐项判断即可，准确理解新定义法则是解 题的关键． 【详解】 ∵ - 7 < 9 ， ∴ - 7 v 9 = - 7 - 9 = - 16 ，故①正确； 若 1 v ( 2 x - 3 ) = 2 ， 当 1 ≤ 2 x - 3 ，即 x ≥ 2 时， 1 - ( 2 x - 3 ) = 2 ， 解得 x = 1 （不合题意，舍去 ）， 当 1 > 2 x - 3 ，即 x < 2 时， 1 + ( 2 x - 3 ) - 2 = 2 ， 解得 x = 3 （不合题意，舍去 ）， 故②错误； 若 - 2 v ( 1 + x ) = - 2 ， ∵ - 2 < 1 + x ， ∴ - 2 - ( 1 + x ) = - 2 ， 解得 x = ± 1 ，故③错误； 解 - = + 得 x = 2 ， ) 36 学科网（北京）股份有限公司 ( ∴ ( - m + 4 ) v ( 3 m + 2 ) = - 2 ， 当 - m + 4 ≤ 3 m + 2 ，即 m ≥ 时， - m + 4 - ( 3 m + 2 ) = - 2 ， 解得 m = 1 ， 当 - m + 4 > 3 m + 2 ，即 m < 时， - m + 4 + ( 3 m + 2 ) - 2 = - 2 ， 解得 m = - 3 ，故④正确； 综上，正确的是①④ , 故选： B ． ) 38 ．（23-24 七年级下·重庆丰都·期末）对实数x、y 定义一种新运算 △ , 规定： △(x, y) = ax + bxy- 2 （其中a、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： △(5，7) = a ×5 +b×5 × 7 - 2 ．若 △(2, 3) = -5 ， △(-4, 4) = 2 ，则下列结论正确的个数为 ( ) （1） a = -3，b = ； （2 ）若 △(d, d ) = -3d ，则 △(d, d ) = ±6 ； （3 ）若 △(p, q) = -6 ，则 p、q 有且仅有3 组正整数解； （4 ）如果 △(nx, y) =△(ny, x) ，那么n = 0 或x = y ； A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1个 ( 【答案】 A 【难度】 0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则逐项判断即可求解，理解新定义 运算是解题的关键． 【详解】解： ∵ △ ( 2, 3 ) = - 5 ， △ ( - 4 , 4 ) = 2 ， 〔 2 a + 6 b - 2 = - 5 解得 正确； ∴ △ ( x , y ) = - 3 x + xy - 2 ， 若 △ ( d , d ) = - 3 d ， 则 △ ( d , d ) = - 3 d d 2 - 2 = - 3 d ， ∴ d 2 = 4 ， ∴ d = ± 2 ， ∴ {l - 4 a - 16 b - 2 = 2 ， ) 37 学科网（北京）股份有限公司 ( ∴ △ ( d , d ) = - 3 d = ± 6 ，故（ 2 ）正 确； 若 △ ( p , q ) = - 6 ， 则 △ ( p , q ) = - 3 p + pq - 2 = - 6 ， ∴ 6 p - pq = 8 ， ∵ p 、 q 为正整数， ∴ 6 - q = 1 或 2 或 4 ，即 q = 5 或 4 或 2 ， 此时 P = 8 或 4 或 2 ， ∴ p 、 q 有且仅有 3 组正整数解，故（ 3 ）正确； 如果 △ ( nx , y ) = △ ( ny , x ) ， 则 - 3 nx nxy - 2 = - 3 ny nxy - 2 ， ∴ 3 nx - 3 ny = 0 ， ∴ n ( x - y ) = 0 ， ∴ n = 0 或 x - y = 0 ， 即 n = 0 或 x = y ，故（ 4 ）正确； 综上，结论正确的个数有 4 个， 故选： A ． ) 39 ．（22-23 七年级下·重庆九龙坡·开学考试）对于整数 a ，b ，定义一种新运算“② ” ：当 a +b 为偶数时，规定 f (a)② f (b) = 3 a + b + a -b ；当a +b 为奇数时，规定f (a)② f (b) = 3 a + b - a -b ．则下列结论正确的有 ( ) ①当a = -1, b = 6 时，则f (a)② f (b) = 8 ； ②已知 A = axx +1 ， B = 4xbx + 4 ，且2A + B 的值与 x 的取值无关，则f (a)② f (b) = 4 ； ③已知 x，y ，z 是非零的有理数，且 时，则 + + 的值为 m ，则f (m) ② f (4) = 20 或 14； ④已知关于 x 的方程2x +1 = - 3 的解是正整数，满足条件的最小的整数 m 记为m1 ，最大的整数 m 记为m2 ，则f (m1 ) ② f (m2 ) = 40 ． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 C 【难度】 0.65 【知识点】解一元一次方程 —— 拓展、整式加减中的无关型问 题、化简绝对值 【分析】①直接根据新定义运算即可；②先根据 2 A + B 的值与 x 的取值无关求出 a 和 b 的值，然后根据新定义计算 即可；③分两种情况求出 m 的值，然后根据新定义计算即可；④先求出 m 1 ， m 2 ，然后根据新定义计算即 可． 【详解】①∵ a = - 1 ， b = 6 ， ∴ - 1 + 6 = 5 ， ∴ f ( - 1 ) ② f ( 6 ) = 3 - 1 + 6 - - 1 - 6 = 15 - 7 = 8 ，故①正确； ) 38 学科网（北京）股份有限公司 ②∵ A = ax2 - x +1 ，B = 4x2 + bx + 4 ， ∴ 2A + B = 2(|( ax2 - x +1), + |(( 4x2 + bx + 4), 2A + B = 2ax2 - x + 2 + 4x2 + bx + 4 ∵ 2A + B 的值与 x 的取值无关， ∴ a = -2, b = 2 ， ∵ -1+ 2 = 0 ， ∴ f (-2) f (2) = 3 -2 + 2 + -2 - 2 = 4 ，故②正确； ③∵x，y ，z 是非零的有理数，且 ∴x，y ，z 三个数都是正数或一个正数两个负数．当三个数都是正数时， ( m = + + = + + = 1 + 1 + 1 = 3 ， ) x y z x y z x y z x y z ∵ 3 + 4 = 7 ， ∴ f (3) f (4) = 3 3 + 4 - 3 - 4 = 20 ； 当一个正数两个负数时，不妨设a > 0, b < 0, c < 0 ， ∵ -1+ 4 = 3， ∴ f (-1) f (4) = 3 -1+ 4 - -1- 4 = 4 ．故③错误； ∵关于 x 的方程2x +1 = - 3 的解是正整数， ∴ m - 4 = 1, 2, 3, 6 ， ∴ m = 5, 6, 7, 10 ， ∵最小的整数 m 记为m1 ，最大的整数 m 记为m2 ， ∴ m1 = 5 ， m2 = 10 ， ∵ 5 +10 = 15 ， ∴ f (5) f (10) = 3 5 +10 - 5 -10 = 40 ，故④正确．故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的加减无关型问题，化简绝对值等知识，正确理解新定义规定的运算是解答本题的关键． 39 学科网（北京）股份有限公司 四、杨辉三角 40 ．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式(a +b )n展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600 年，此三角形被后人称为“杨辉三角” ．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1 ，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2 = 1+1 ， 10 = 4 + 6 ，．．．，若从第三行的“2 ”开始，按箭头所指依次构成一列数： 2 ， 3 ， 3 ， 4 ， 6 ， 4 ， 5 ，10 ，10 ， 5 ， … , 则这列数中第24 个数是 ( ) A ．56 B ．42 C ．28 D ．8 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第 24 个数在从 2 开始的第 7 行的第 3 个数，观察可得由 从 2 开始 的第 7 行的数依次为 8 ， 28 ， 56 ， 70 ， 56 ， 28 ， 8 ，由此 即可得出答案． 【详解】解： : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 < 24 ， 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 > 24 ， : 第 24 个数在从 2 开始的第 7 行的第 3 个数， 观察可得： 由从 2 开始的第 5 行的数依次为： 6 ， 15 ， 20 ， 15 ， 6 ， 由从 2 开始的第 6 行的数依次为： 7 ， 21 ， 35 ， 35 ， 21 ， 7 ， 由从 2 开始的第 7 行的数依次为 8 ， 28 ， 56 ， 70 ， 56 ， 28 ， 8 ， : 第 24 个数为 56 ， 故选： A ． ) 41 ．（2024·湖北武汉·校联考一模）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a +b)n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： (a +b)0 = 1 ，系数为 1； (a +b)1 = a + b ，系数分别为 1 ，1； (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 ，系数分别为 1 ，2 ，1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ，系数分别为 1 ，3 ，3 ，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过85 天后是 ( ) A ．星期四 B ．星期五 C ．星期六 D ．星期天 40 学科网（北京）股份有限公司 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字类规律探索，解题关键是理解题意，求得 8 5 ÷ 7 的 余数．结合一个星期 7 天，利用所给 规律求得 8 5 天的尾数，即可获得答案． 【详解】解： ∵ 8 5 = (7 + 1) 5 ∴可有 (7 + 1) 5 = 7 5 + 5 × 7 4 × 1 + ... + 5 × 7 × 1 4 + 1 5 ， ∴ (7 + 1) 5 ÷ 7 的余数为 1 ， 即 8 5 ÷ 7 的余数为 1 ， ∴若今天是星期三，则经过 8 5 天后是星期四． 故选： A ． ) 42 ．（2024 下·广东深圳·七年级统考期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a +b)n (n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” (a + b )0 = 1 (a + b )1 = a + b (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b )5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 … 则(a +b)10 中，第三项系数为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中 的规律性问题 【分析】此题考查了数字的变化规律，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得 出系数的变化规律是解题的关键． 【详解】解： 由题意可得， ( a + b ) 2 的第三项系数为 1 ， ( a + b ) 3 的第三项系数为 3 = 1 + 2 ， ) 41 学科网（北京）股份有限公司 ( ( a + b ) 4 的第三项系数为 6 = 1 + 2 + 3 ， ( a + b ) 5 的第三项系数为 10 = 1 + 2 + 3 + 4 ， L , ( a + b ) 10 的第三项系数为 故选： A ． ) 43 ．（2023 下·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a +b)n (n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角” (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a +b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 …… 则(a +b)8 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ． 128 B ． 256 C ． 512 D ． 1024 ( 【答案】 B 【难度】 0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数 字类规律探索 【分析】 由 “ 杨辉三角 ” 得到：应该是 ( a + b ) n ( n 为非负整数 ) 展开式的项系数和为 2 n ． 【详解】解：当 n = 0 时，展开式中所有项的系数和为 1 = 2 0 ， 当 n = 1 时，展开式中所有项的系数和为 2 = 2 1 ， 当 n = 2 时，展开式中所有项的系数和为 4 = 2 2 ， . . . 当 n = 8 时，展开式的项系数和为 2 8 = 256 ， 故选： B ． 【点睛】本题考查了 “ 杨辉三角 ” 展开式中所有项的系数和 的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即 可求解． ) 44 ．（21-22 六年级下·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0 ＝1 （a＋b）1 ＝a＋b （a＋b）2 ＝a2＋2ab＋b2 42 学科网（北京）股份有限公司 （a＋b）3 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4 ＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5 ＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ．2048 B ．1024 C ．512 D ．256 ( 【答案】 B 【难度】 0.4 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、 数字类规律探索 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出（ a + b ） n 展开式的项系数和为 2 n ，求出系数之和 即可 【详解】解：当 n ＝ 0 时，展开式中所有项的系数和 为 1 ＝ 2 0 ， 当 n ＝ 1 时，展开式中所有项的系数和为 2 ＝ 2 1 ， 当 n ＝ 2 时，展开式中所有项的系数和为 4 ＝ 2 2 ， 当 n ＝ 3 时，展开式中所有项的系数和为 8 ＝ 2 3 …… 由此可知（ a ＋ b ） n 展开式的各项系数之和为 2 n ， 则（ a ＋ b ） 10 展开式中所有项的系数和是 2 10 ＝ 1024 ，故选： B ． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关 键． ) 45．（2022 上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》给出了在(a +b )n （n 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 a 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角” ．据此规律，则(x +1)2019 展开式中含x2018 项的系数是 ( ) (a + b )0 = 1 ， (a +b)1 = a + b (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 …… A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 ( 【答案】 D 【难度】 0.85 【知识点】多项式乘法中的规律性问题【分析】根据题中的规律即可求解． ) 43 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】 由题意， ( x + 1 ) 2019 = x 2019 + 2019 x 2018 + ... + 1 2019 ，可知，展开式中第二项为 2019 x 2018 ， ∴ ( x + 1 ) 2019 展开式中含 x 2018 项的系 数是 2019 ， 故选 D ． 【点睛】本题考查了完全展开式，正确的理解是解决本题的关键． ) 46 ．（2020·山东德州·统考一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 1 1 1 (a+b)1 ＝a+b 1 2 1 (a+b)2 ＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1 (a+b)4 ＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 根据“杨辉三角”请计算（a+b）n 的展开式中各项系数的和为 ( ) A ．2n B ．2n-1 C ．2n+1 D ．2n+2 ( 【答案】 A 【难度】 0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】令 a=1.b= 1 ，代入（ a+b ） n 计算，即可得到（ a+b ） n 的展开式中各项系数的和 . 【详解】解：当 a=1.b= 1 ，（ a+b ） n = （ 1+1 ） n = 2 n . 【点睛】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规 律解决问题的能力． ) 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择压轴 ：数与式的操作问题 一、与绝对值有关 1 ．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算” ．例如，对于 1 ，2 ，3 进行“绝对运算” ，得到： |1- 2+2 - 3+1- 3 |= 4 ． ①对 1 ，3 ，5 ，7 进行“绝对运算”的结果是 20； ②对x ， -2 ，5 进行“绝对运算”的结果为A ，则A 的最小值是 7； ③对a，b，b，c 进行“绝对运算” ，化简的结果可能存在 6 种不同的表达式；以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 2 ．若a > b > 0 > c > d > e ，对代数式a -b- c -d+ e 任意添加绝对值（不可添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作” ，例如： a - b- c -d + e, a - b - c - d + e等，下列结论中正确的个数是 ( ) ①至少存在一种“绝对操作” ，使化简后结果与原代数式相等； ②共有 5 种操作，可能得到a -b- c +d + e ； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有 8 种． A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 1 学科网（北京）股份有限公司 3 ．在多项式a -b+ c -d + e （其中a > b > c > d > e > 0 ）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：a -b + c + -d + e = a -b + c + d - e, a -b + c -d + e = a -b+ c -d + e …，下列说法正确的个数是 ( ) ①存在“对绝操作” ，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有 8 种“对绝操作” ，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有 7 种不同运算结果． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 4 ．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算” ．例如，对于 1 ，2 ，3 进行“绝对运算” ，得到： |1- 2+2 - 3+1- 3 |= 4 ． ①对 1 ，3 ，5 ，10 进行“绝对运算”的结果是 29； ②对 x ， -2 ，5 进行“绝对运算”的结果为 A ，则 A 的最小值是 7； ③对 a ，b ，b ，c 进行“绝对运算” ，化简的结果可能存在 8 种不同的表达式；以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 2 学科网（北京）股份有限公司 5 ．在多项式-a - (b+ c) -d （其中a > b > c > d ）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：-a 为“数 1” ，b 为“数 2” ，+c 为“数 3” ，-d 为“数 4” ，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式-a - (b+ c) -d 的“绝对换位变换” ，例如：对上述多项式的“数 3”和“数 4”进行“绝对换位变换” ，得到-a - (b - d ) + c ，将其化简后结果为a + b - c - d ， … . 下列说法： ①对多项式的“数 1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换” ，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有 5 种不同运算结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 6 ．将自然数 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 分别标记在 6 个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 ，记 A = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 ，以下 3种说法中： ①A 最小值为 3； ②A 的值一定是奇数； ③A 化简之后一共有 5 种不同的结果．说法正确的个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 3 学科网（北京）股份有限公司 7 ．对一组数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算” ，例如，对于 0 ，1 ，2 进行“差绝对值运算” ，得到： 0 -1 + 1- 2 + 0 - 2 = 4 ． ①对-2 ， -1 ，3 ，5 进行“差绝对值运算”的结果是 25； ②当a =2 时， a ，2 ，5 ， -6 的“差绝对值运算”的值最小，最小值为 33； ③若m ， n ， 7 的“差绝对值运算”的结果 6 ，且m - n 与m - 7 同号， m 、 n 均为正整数，且m ， n ， 7 互不相等，则m 的取值有 6 个； 以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 8 ．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1 ，只显示不运算，接着再输入整数x2 ，则显示x1 - x2 的结果，如依次输入 1 ，2 ，则输出的结果是 1- 2 = 1 ．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入 1 ，2 ，3 ，4 ，则最后输出的结果是 2； ②若将 2 ，3 ，6 这 3 个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是 5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 a ，2 ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若 k 的最大值为2024 ，则 k 的最小值为2020 ． 其中正确的个数有（ ）个 A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 4 学科网（北京）股份有限公司 9 ．某多项式除首尾两项外其余各项都可删减，删减项的前面部分和其后面部分分别加上绝对值，并用减号连接，则称此为“删减变形” ．每种“删减变形”可以删减的项数分别为一项，两项，三项．“删减变形”只针对多项式x -y - z + m + n 进行．例如：去掉-y 的“删减变形”为x - -z + m + n ，同时去掉-y 与-z 的“删减变形”为 x - m + n ， … , 下列说法： ①存在对两种不同的“删减变形”后的式子作差，结果不含x 的项： ②若每种“删减变形”只删减一项，则对三种不同“删减变形”的结果进行去绝对值，共有 12 种不同的结果； ③若可删减的三项-y,-z, +m 满足： ( -y + -y - 2)(-z +1 + -z + 4)(m -1 + m + 6) = 42 ，则3y + 2z + 2m 的最小值为-16 ． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 5 学科网（北京）股份有限公司 10 ．对多项式4 + x2 - 2x +1添加 1 个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如： 4 + x2 - 2x 称为对多项式 4 + x2 - 2x +1的一次“绝对操作” ；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作” ， … … 下列说法正确的个数是 ( ) ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为x2 - 2x + 5 ； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有 5 种； ③经过若干次“绝对操作” ，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 6 学科网（北京）股份有限公司 11．在多项式a +b- m - n - e 中，除首尾项 a 、-e 外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作” ．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式a +b- m - n - e 进行．例如： +b “闪减操作”为a - -m - n - e ， -m 与-n 同时“闪减操作”为a + b - -e ， … , 下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e 相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有 8 种不同的结果； ③若可以闪退的三项 +b ， -m ， -n 满足： (| +b | + | +b + 2 |)(| -m +1 | + | -m + 4 |)(| -n +1 | + | -n - 6 |) = 42 ，则2b + m + n 的最小值为-9 ． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 7 学科网（北京）股份有限公司 12 ．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1 ，只显示不运算，接着再输入整数x2 后则显示x1 - x2 的结果．比如依次输入 1 ，2 ，则输出的结果是1- 2 = 1 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论： ①依次输入 1 ，2 ，3 ，4 ，则最后输出的结果是 2； ②若将 1 ，2 ，3 ，4 这 4 个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若将 1 ，2 ，3 ，4 这 4 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 2 ，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若 k的最大值为 10 ，那么k 的最小值是 6． 上述结论中，正确的个数是 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 8 学科网（北京）股份有限公司 13 ．对于多项式- (a + 2) + (2a +3) +( 3a - 4) +( 4a -5) ，每次选择其中的n 个括号改变其前面的符号 （1 ≤ n ≤ 4, n 为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为M ．例如： + (a + 2)- (2a + 3)+ (3a - 4 )+ (4a - 5 ) ，当a 时， M = 6a -10 ；当a 时，M = 10 - 6a ，所以M = 6a -10 或10 - 6a ．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为M = 2a +k （k 为常数且k ≠ 0 ），则a ≥ -3 ； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有 15 种不同的结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 9 学科网（北京）股份有限公司 二、操作类的整式规律探索 14 ．有依次排列的 2 个整式：a ，a + 2 ，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a ，2 ， a + 2 ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串； 以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a , 2 - a ，2 ，a ， a + 2 ； ②第 12 个整式串中，从右往左第二个整式为2 -10a； ③第 2025 次操作后，所有的整式的和为2a + 4052； ④第 n 个整式串比第(n +1) 个整式串少2n-1 个整式．以上结论中正确的有（ ）个 A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 10 学科网（北京）股份有限公司 15 ．有依次排列的 3 个整式：a ，a - 2 ，-2 ，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a ，2a - 2 ，a - 2 ，a - 4 ，-2 ，这称为第 1 次“取和操作” ；将第 1 次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作” ，可以得到第 2 次“取和操作”后的整式串； 以此类推．下列说法： ①当2 < a < 4 时，第 1 次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第 3 次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为 a - 8； ③第 4 次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为120a - 240；其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 16 ．有依次排列的两个整式：x ，x - 2 ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x ，2 ， x - 2 ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x ，x - 2 ，2 ，4 - x ，x - 2 ，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论： ①第二次操作后，当 x < 2 时，所有整式的积为正数； ②第三次操作后整式串共有 9 个整式； ③第 n 次操作后整式串共有2n +1个整式（n 为正整数）； ④第 2023 次操作后，所有的整式的和为2x + 4044 ．四个结论正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 11 学科网（北京）股份有限公司 17 ．依次排列的两个整式-2a +b ， 2a - 3b 将第 1 个整式乘 2 再减去第 2 个整式，称为第 1 次操作，得到第3 个整式-6a + 5b ；将第 2 个整式乘 2 再减去第 3 个整式，称为第 2 次操作，得到第 4 个整式10a -11b ；将第 3 个整式乘 2 再减去第 4 个整式，称为第 3 次操作，得到第 5 个整式-22a + 21b ； … , 以此类推，下列 4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第 6 个整式为 -42a + 43b ； ②第n 个整式中a 系数与b 系数的和为 1； ③若a = b = 2024 ，则前n 个整式之和为2024n ． ④第n 次与第n + 1 次操作后得到的两个整式中a 与b 所有系数的绝对值之和为2n+3 ； A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 18 ．对于任意一个正整数xi 可以按规则生成无穷数串： x1 ，x2 ，x3 ，… , xn ，xn+1 ，…（其中n 为正整数），规则为： xn 下列说法： ①若x1 = 4 ，则生成的这数串中必有xi = xi+3 （i 为正整数）； ②若x1 = 6 ，生成的前 2022 个数之和为 55； ③若生成的数中有一个xi+1 = 16 ，则它的前一个数xi 应为 32； ④若x4 = 7 ，则x1 的值只能是 9 ．其中正确的个数是（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 12 学科网（北京）股份有限公司 19 ．从x ，y ，z 三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果x1 ，y1 ，z1 称为一次操作．下列说法： ①若x = 4 ， y = -1 ， z = 2 ，则 x1 ， y1 ， z1 三个数中最大的数是 7； ②若x = m ， y = 1 ， z = 6 ，且 x1 ， y1 ， z1 中最小值为-2 ，则m = 3 或 9； ③给定x ，y ，z 三个数，将第一次操作的三个结果x1 ，y1 ，z1 按上述方法再进行一次操作，得到三个结果 x2 ， y2 ， z2 ，以此类推，第n 次操作的结果是xn ， yn ， zn ，则xn + yn + zn 的值为定值．其中正确的个数是( ) A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 13 学科网（北京）股份有限公司 20．已知两个整式M1 = x +1，M2 = x -1，用整式M1 与整式M2 求和后得到整式M3 = 2x ，整式M2 与整式M3作差后得到整式M4 = -x -1，整式M3 与整式M4 求和后得到新的整式M5 ，整式M4 与整式M5 作差后得到新的整式M6 ， … , 依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法： ①当x = 1 时，M7 = -2 ； ②整式M2 与整式M10 结果相同； ③M6 = M11 + M19 ； ④M1 + M2 + ... + M2027 + M2028 = 0 ．正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 14 学科网（北京）股份有限公司 21．在整式x 、3x + 2 之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在x 与2x +1之间和2x +1与3x + 2 之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作， 以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为： ②若x = 2 ，经过 3 次操作后，所有数之和为 45； ③经过 8 次操作后，将得到 256 个整式； ④第 10 次操作后，从左往右第 2 个整式为： 以上四个结论正确的有 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 15 学科网（北京）股份有限公司 22 ．有一列数{-1, -2, -3, -4} ，将这列数中的每个数求其相反数得到{1, 2, 3, 4} ，再分别求与 1 的和的倒数，得到 ，设为{a1, a2, a3, a4 } ，称这为一次操作，第二次操作是将{a1, a2, a3, a4 } 再进行上述操作，得到 {a5, a6, a7, a8 } ；第三次将{a5, a6, a7, a8 } 重复上述操作，得到{a9, a10, a11, a12 } … … 以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个 ① a5 = 2 ， a ， a ， a ② a2015 = 3 A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 16 学科网（北京）股份有限公司 23 ．已知两个整式： m ， m + n ，将这两个整式进行如下操作： 第 1 次操作：用这两个整式的和除以 2 ，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式 串 1 ： m ， m + n ， m + n ； 第 2 次操作：在整式串 1 中，用相邻两个整式的和除以 2 ，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串 2 ：m ，m n ，m n ，m n ，m + n ，以此类推，可以得到整式串 3，整式串 4，… …明明同学对此展开研究，得到以下 3 个结论： ①整式串4 共有 17 个整式； ②整式串 9 从左往右第 2 个整式减去整式串 10 从左往右第 2 个整式的差为 n ； ③经过 2024 次操作后，整式串的和为n ；以上 3 个结论正确的有 ( ) A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 17 学科网（北京）股份有限公司 24 ．对于四个整式：x、2x +1、3x + 2、4x + 3 ，任选其中两个整式改变其每一项的符号，再求和，称这种操作为“半负操作” ．例如： x + (-2x -1) + (3x + 2) + (-4x - 3) = -2x - 2 ，下列相关说法中正确的个数是：( ) ①不存在任何一种“半负操作”使得结果为单项式； ②所有的“半负操作”共有 6 种不同的结果； ③用某种“半负操作”的结果替换原四个整式中的某个整式，然后从新的四个整式中任选两个整式改变其每一项的符号，再求和，得到的结果各项系数可能均为 0． A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 25 ．对于多项式： x +1 ， 2x - 2 ， 3x + 4 ， 4x - 5 我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差相加求和，并算出结果，称之为“差之和操作” 例如： (x +1) - (2x - 2) = -x + 3 ， (3x + 4)- (4x - 5) = -x + 9 ； (-x + 3) + (-x + 9) = -2x +12 给出下列说法： ①只存在一种“差之和操作” ，使其结果为单项式； ②至少存在一种“差之和操作” ，使其结果为 -2x +12； ③所有的“差之和操作”只共有 4 种不同的结果．以上说法中正确的是 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 18 学科网（北京）股份有限公司 26 ．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作” ．例如：对-2x2 - x +1进行“加系数操作”后可以是-2x2 - x +1+ (-2x2 ) = -4x2 - x +1 ．下列说法： ①对x2 + x + 1进行所有“加系数操作”后的多项式的和是4x2 + 4x + 4 ； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于 x 的二次三项式 ax2 + bx + c （a ，b ，c 为常数）的值不可能为零，则对ax2 + bx + c 进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 27 ．在多项式x -y + z - m + n 中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作”．例如：x - y + z - (m + n ) = x - y + z - m - n ，x - (-y + z + m) + n = x + y - z - m + n ，…给出下列说法： ①存在某种“加换操作” ，使其结果为x -y - z + m - n ； ②不存在某种“加换操作” ，使其结果与原多项式的和为0； ③所有的“加换操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 19 学科网（北京）股份有限公司 28 ．在 5 个字母a, b, c, d , e （均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“ + ”或者一个“ - ”组成一个多项式，且从字母a, b 之间开始从左至右所添加的“ + ”或“ - ”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如： (a +b ) - (c + d ) - e = a +b- c -d - e, (a +b ) - (c + d - e) = a + b- c -d + e ．下列说法： ①存在“对括操作” ，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作” ，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有 6 种不同运算结果．其中正确的个数是 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 29．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：a - (b+ c )- (-d - e )，其中称a 为“数 1” ，b 为“数 2” ， +c 为“数 3” ， -d 为“数 4” ， -e 为“数 5” ，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数 1”和“数 5”进行“换位思考”，得到：-e - (b+ c )- (-d+ a ) ，则下列说法中正确的个数是 ( ) ①代数式(a -b )+ (c -d )- e 进行一次“换位思考” ，化简后只能得到 1 种结果 ②代数式a - (b+ c -d - e) 进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 5 种结果 ③代数式a + b- (c - d - e)进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 7 种结果 ④代数式a - b + c - ( d - e)进行一次“换位思考” ，化简后可能得到 8 种结果 A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 20 学科网（北京）股份有限公司 30 ．在多项式a -b+ c -d- e 中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作” ．例如，选择b ， d 进行“加括号操作”，得到a - (b+ c -d) - e = a -b- c +d- e ．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作” ，按此方法，进行第n(n ≥ 1) 轮“加括号操作” ．以下说法： ① 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ② 总存在第k(k≥1) 轮“加括号操作” ，使得结果与原多项式的和为0 ； ③ 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有4 种不同结果．其中正确的个数为 ( ) A ． 0 个 B ． 1个 C ． 2 个 D ． 3 个 31 ．数学课上李老师把 54 张扑克牌按照 1 、2 、3 、 … 、54 的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有 54 名学生，同样把这 54 名学生按照 1 、2 、3 、 … 、54 的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第 1 次：1 号学生把扑克牌中编号为 1 的倍数的所有牌翻一次；第 2 次：2 号学生把扑克牌中编号为 2 的倍数的所有牌再翻一次；第 3 次：3 号学生把扑克牌中编号为 3 的倍数的所有牌也翻一次… 第 54 次：54 号学生把 54 号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2 号学生操作结束后，共有 27 张牌正面朝上； ②4 号学生操作结束后，共有 32 张牌正面朝上； ③54 号学生操作结束后，共有 6 张牌正面朝上，且这 6 张牌对应编号之和为 91．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 21 学科网（北京）股份有限公司 三、新定义运算 32 ．对于实数 a ，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过 a 的最大整数．例如：[1.3] ＝1 ，[ - 1.3] ＝ -2 ，对于后面结论： ①[ -2.3]+[2] ＝ -1； ②因为[1.3]+[ -1.3] ＝ -1 ，所以[a]+[ -a] ＝ -1； ③若方程 x -[x] ＝0. 1 有解，则其解有无数多个； ④若[a+2] ＝2 ，则 a 的取值范围是 0≤a＜1； ⑤当 -1≤a＜1 时，则[1+a] -[1 -a]的值为 1 或 2 ．正确的是( ) A ．②③④ B ．①②④ C ．①③④⑤ D ．①③④ 33．我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作x ，又把x - [x]称为x 的小数部分，记作{x}，则有x = [x]+ {x} ．如： [1.3] = 1 ， {1.3} = 0.3 ， 1.3 = [1.3]+ {1.3} ．下列说法中正确的有（ ）个 ① [2.8] = 2 ； ② [-5.3] = -5 ； ③若1< x < 2 ，且{x} = 0.4 ，则x = 1.4 或x = -1.4 ； ④方程4[x]+1 = {x}+ 3x 的解为x = 0.25 或x = 2.75 ． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 22 学科网（北京）股份有限公司 34 ．对于任意实数 x ，其整数部分记为x ，小数部分记为{x} ，即：x = [x]+ {x} ，其中x表示不超过 x 的最大整数．如[1.2] = 1 ， {1.2} = 0.2 ； [-1.2] = -2 ， {-1.2} = 0.8 ．下列结论正确的个数是 ( ) ① {-0.5} = -0.5 ； ②若x + y = n （n 是整数），则[x]+ [y] = n ； ③若[x] = 1 ， [y] = 2 ， [z] = 3 ，则[x + y + z]所有可能的值为6 ， 7 ， 8 ； ④方程3[x]-1 = {x}+ 2x 的解为x = 1 或x ． A ． 1个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 ( 则 < x >= n ， )35．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为< x > ，即当 n 为非负整数时，若n x < n 如< 0.37 >= 0 ， < 3.51 >= 4 ，给出下列关于< x > 的结论正确的是 ( ) ① < 1.499 >= 1 ； ② < 3x >= 3 < x > ； ③ < x + y >=< x > + < y > ； ④当x ≥ 0 ，m 为非负整数时，有< m + 2022x >= m+ < 2022x > ； ⑤满足< x x 的非负数 x 只有两个． A ．①④ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．①③④ 23 学科网（北京）股份有限公司 36 ．题目：“对于不相等的a ，b ，规定新运算a★b 例如： 2★(-1) ，因为2 > -1 ，所以 2★(-1) = 2 +(-1)- 5 = -4 ．若x★ , 求x 的值．”对于其答案，甲答：x = 7 ；乙答：x 丙答：x = 4 ，则正确的是 ( ) A ．只有甲答的对 B ． 甲、乙答案合在一起才完整 C ．乙、丙答案合在一起才完整 D ．三人答案合在一起才完整 37 ．若定义一种新运算mvn 例如： 1v2 = 1- 2 = -1, 4v3 = 4 + 3 - 2 = 5 ，下列说法： ① -7v9 = -16 ； ②若1v(2x - 3) = 2 ，则x = 1 或 3.5； ③若-2v(1+ x ) = -2 ，则x = ±1 或x = ±3 ； ④若关于 x 的方程-x = (-m + 2x )v(3m + x ) 与 - = + （m 为常数）有相同的解，则m = -3 或 1．其中正确的个数是 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1 24 学科网（北京）股份有限公司 38 ．对实数x、y 定义一种新运算 △ , 规定： △(x, y) = ax + bxy- 2 （其中a、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： △(5，7) = a ×5 +b ×5 × 7 - 2 ．若 △(2, 3) = -5 ， △(-4, 4) = 2 ，则下列结论正确的个数为 ( ) （1） a = -3，b （2 ）若 △(d, d ) = -3d ，则 △(d, d ) = ±6 ； （3 ）若 △(p, q) = -6 ，则 p、q 有且仅有3 组正整数解； （4 ）如果 △(nx, y) =△(ny, x) ，那么n = 0 或x = y ； A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1个 39．对于整数 a，b，定义一种新运算“② ” ：当a +b 为偶数时，规定f (a)② f (b) = 3 a + b + a -b ；当a +b 为奇数时，规定f (a)② f (b) = 3 a + b - a -b ．则下列结论正确的有 ( ) ①当a = -1, b = 6 时，则f (a)② f (b) = 8 ； ②已知 A = axx +1 ， B = 4xbx + 4 ，且2A + B 的值与 x 的取值无关，则f (a)② f (b) = 4 ； ③已知 x，y ，z 是非零的有理数，且 时，则 xyz 的值为 m ，则f (m) ② f (4) = 20 或 14； ④已知关于 x 的方程2x的解是正整数，满足条件的最小的整数 m 记为m1 ，最大的整数 m 记为m2 ，则f (m1 ) ② f (m2 ) = 40 ． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 25 学科网（北京）股份有限公司 四、杨辉三角 40 ．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式(a +b )n展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600 年，此三角形被后人称为“杨辉三角” ．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1 ，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2 = 1+1 ，10 = 4 + 6 ，．．．，若从第三行的“2 ”开始，按箭头所指依次构成一列数： 2 ， 3 ， 3 ， 4 ， 6 ， 4 ， 5 ，10 ，10 ， 5 ， … , 则这列数中第24 个数是 ( ) A ．56 B ．42 C ．28 D ．8 41．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a +b)n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： (a +b)0 = 1 ，系数为 1； (a +b)1 = a + b ，系数分别为 1 ，1； (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 ，系数分别为 1 ，2 ，1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ，系数分别为 1 ，3 ，3 ，1 ； … 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过85 天后是 ( ) A ．星期四 B ．星期五 C ．星期六 D ．星期天 26 学科网（北京）股份有限公司 42．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a +b)n (n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” (a + b )0 = 1 (a + b )1 = a + b (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b )5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 … 则(a +b)10 中，第三项系数为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 43．南宋数学家杨辉在其著作《 详解九章算法》中揭示了(a +b)n (n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角” (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a +b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 (a +b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 … … 则(a +b)8 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ． 128 B ． 256 C ． 512 D ． 1024 27 学科网（北京）股份有限公司 44 ．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0 ＝1 （a＋b）1 ＝a＋b （a＋b）2 ＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4 ＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5 ＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 …则（a＋b）10 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ．2048 B ．1024 C ．512 D ．256 45 ．我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》给出了在(a +b )n （n 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 a 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角” ．据此规律，则(x +1)2019 展开式中含x2018 项的系数是 ( ) (a + b )0 = 1 ， (a +b)1 = a + b (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 …… A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 28 学科网（北京）股份有限公司 46 ．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 1 1 1 (a+b)1 ＝a+b 1 2 1 (a+b)2 ＝a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 4 6 4 1 (a+b)4 ＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 根据“杨辉三角”请计算（a+b）n 的展开式中各项系数的和为 ( ) A ．2n B ．2n-1 C ．2n+1 D ．2n+2 29 学科网（北京）股份有限公司 $