精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

哈三十二中2025～2026学年度高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 以为顶点的四边形是（ ） A. 平行四边形，但不是矩形 B. 矩形 C. 梯形，但不是直角梯形 D. 直角梯形 3. 过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A B. C. D. 6. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（    ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直 10. 若过点可以作出圆两条切线，则实数可能的值为（ ） A. B. C. D. 11. 对抛物线，下列描述正确是（ ） A. 开口向下，准线方程为 B. 开口向下，焦点为 C. 开口向左，焦点为 D. 开口向左，准线方程为 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 直线与圆相交所得弦长为__________. 13. 已知抛物线上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________. 14. 我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为__________． 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 若直线经过直线与的交点，且与直线平行. （1）求直线的方程； （2）求直线与的距离. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）若直线，求证：不论何值，直线与圆相交. 18. 椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三十二中2025～2026学年度高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果. 【详解】向量，且，则存在实数，使得， 即，所以,解得, 故， 故选：B 2. 以为顶点的四边形是（ ） A. 平行四边形，但不是矩形 B. 矩形 C. 梯形，但不是直角梯形 D. 直角梯形 【答案】D 【解析】 【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状. 【详解】 在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 3. 过点，直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 4. 点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离 故选：A 5. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 6. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交于两点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得，结合已知即可得答案. 【详解】由椭圆的定义，知， 所以，即， 又，所以． 故选：B 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间距离即可. 【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为， 点到坐标原点的距离为. 故选：B. 8. 若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，则. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直 【答案】BC 【解析】 分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断. 【详解】直线变形得， 直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确； 令，，即直线在y轴上的截距为，C正确 又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误 故选：BC. 10. 若过点可以作出圆的两条切线，则实数可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先分析出点在圆外，则代入得到不等式，解出即可. 【详解】过可作圆的两条切线，说明点在圆的外部， 所以，解得或， 故选：AD. 11. 对抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下，准线方程为 B. 开口向下，焦点为 C. 开口向左，焦点为 D. 开口向左，准线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断. 【详解】由题设，抛物线可化为， 开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误. 故选：AB. 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 直线与圆相交所得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，可知圆心为，半径为， 所以到的距离， 则直线与圆相交所得的弦长为. 故答案为：. 13. 已知抛物线上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案. 【详解】抛物线的准线为， 所以该抛物线上点到其焦点的距离为. 故答案为：4 14. 我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解. 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 若直线经过直线与的交点，且与直线平行. （1）求直线的方程； （2）求直线与的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线平行求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【小问1详解】 因为直线过直线和的交点， 由，解得，即点， 因为直线的斜率为2，且直线与直线平行， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线与直线的距离为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. （1）求圆方程； （2）若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 18. 椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. 【小问1详解】 由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $