第六章 素养提升课(二) 圆周运动中的临界问题-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书word（人教版）江苏专用

本讲义聚焦圆周运动中的临界问题核心知识点，系统梳理水平面内“恰好不滑动”“绳子刚好被拉断”及竖直平面内轻绳、轻杆模型的分析方法，通过模型建构、典例解析与跟进训练搭建学习支架，助力学生从基础模型到综合应用过渡。 以运动与相互作用观念为基础，通过科学思维中的模型对比（轻绳轻杆临界条件）和推理推导（如典例1角速度计算），结合分层练习（跟进训练、素养提升练）。课中典例助教师突破难点，课后练习帮学生查漏补缺，培养解决实际问题能力，体现科学态度与责任。

素养提升课(二)　圆周运动中的临界问题 [学习目标] 1．掌握水平面内圆周运动问题的分析方法。 2．掌握竖直面内圆周运动问题的分析方法。 考点1　水平面内圆周运动问题的两类情况分析 1．恰好不滑动 质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝，解得vm＝。 2．绳子刚好被拉断 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝，解得vm＝。 这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 【典例1】　如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心距离r1＝20 cm，B离轴心距离r2＝30 cm， A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的，g取10 m/s2，问： (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？ (2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度是多大？ (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？ [解析]　(1)当物块B所需向心力FB≤fmax时，细线上张力为零，随着角速度的增大，当FB＝fmax时，有kmg＝r2，得ω0＝＝ rad/s＝ rad/s。 当ω≤ω0＝ rad/s时，细线上不会有张力。 (2)当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ωmax，超过ωmax时，A、B将相对圆盘滑动(设细线中张力为T) 对A：kmg－T＝·r1。 对B：kmg＋T＝·r2。 解得ωmax＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。 (3)烧断细线时，A做圆周运动所需向心力FA＝0.32 mg，最大静摩擦力为0.4mg，A随盘一起转动。B此时所需向心力为FB＝＝0.48mg，大于它的最大静摩擦力0.4mg，因此B将做离心运动，离圆心越来越远。 [答案]　(1)ω≤ rad/s　(2)4.0 rad/s　(3)A随圆盘一起转动，B做离心运动 　水平面内圆周运动的临界问题的通解思路 [跟进训练] 1．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　) A．a可能比b先开始滑动 B．a、b所受的静摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg C　[两个木块与圆盘间的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力f＝mω2r，m、ω相等时，f∝ r，所以b所受的静摩擦力较大，随着ω增大，b所受的静摩擦力先达到最大静摩擦力，所以b一定先滑动，A、B项错误；b处于临界状态时有kmg＝mω2·2l，得ω＝，C项正确；当ω＝时，对a分析有fa＝mlω2＝ml＝kmg＜fm＝kmg，a所受摩擦力为静摩擦力，大小为kmg，D项错误。] 考点2　竖直平面内圆周运动的问题 1．运动性质 物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，常见两类模型。 2．模型分析 (1)轻绳和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。 (2)两类模型分析对比 项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点 的临界条件 v临＝ v临＝0 讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 在最高点 的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 角度1　轻绳模型 【典例2】　用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2。问： (1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？ [解析]　(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。当重力恰好提供向心力时，对应的是水不流出的最小速度v0。 以水为研究对象，mg＝， 解得v0＝＝ m/s≈2.45 m/s。 (2)因为v＝3 m/s>v0，所以重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。 设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有mg＋F＝m， 解得F＝m－mg＝0.5×N＝2.5 N。 根据牛顿第三定律F′＝－F， 所以水对桶底的压力F′＝－2.5 N，负号表示方向竖直向上。 [答案]　(1)2.45 m/s　(2)2.5 N 角度2　轻杆模型 【典例3】　如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于，则此时杆A端的受力大小和方向； (3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况？若不能，用公式推导说明理由；若能，则求出此时A、B球的速度大小。 [解析]　(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则 mg＝m，解得v＝。 (2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为， 对A球有T′OA－mg＝m， 解得T′OA＝2mg，方向竖直向上。 由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。 (3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点。 对B球有T″OB＋2mg＝。 对A球有T″OA－mg＝。 O轴不受力时，T″OA＝T″OB，又有vA＝vB， 解得vA＝vB＝。 [答案]　(1)　(2)2mg，方向竖直向下　(3)O轴能不受力　 　竖直平面内圆周运动的分析方法 (1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。 (3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。 [跟进训练] 2．(角度1)细绳一端固定，另一端系一小球在竖直平面内做完整的圆周运动，设绳长为L，重力加速度为g，则(　　) A．小球通过最高点时，速度大小一定为 B．小球运动的过程中，所受合力一定指向圆心 C．小球通过最低点时一定受到绳子的拉力作用 D．小球运动过程中，可能受到绳子的拉力、重力和向心力 C　[在最高点且细绳拉力为零时：mg＝m，得v＝。当有拉力时，速度v>，A错误；小球做圆周运动的过程中，在最高点和最低点，合力提供向心力指向圆心，在其他位置合力不指向圆心，B错误；在最低点，合力提供向心力，所以小球一定受细绳的拉力，C正确；向心力是物体所受合力沿指向圆心方向的分力，D错误。] 3．(角度2)长为L的轻杆，一端固定一个小球A，另一端固定在光滑的水平轴上，轻杆绕水平轴转动，使小球A在竖直面内做圆周运动，小球A在最高点的速度为v。下列叙述中正确的是(　　) A．v的极小值为 B．v由零逐渐增大时，向心力逐渐减小 C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小 C　[小球在最高点的最小速度为零，此时重力大小等于杆的支持力，故A错误；在最高点，根据F向＝m得，当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大，故B错误；在最高点，当杆的作用力为零时，v＝，当v>，杆提供拉力，有mg＋F＝m，当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，故C正确；在最高点，当杆的作用力为零时，v＝，当0≤v<时，杆提供支持力，有mg－F＝m，当v由零逐渐增大到时，杆的弹力逐渐减小，反之当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，故D错误。] 素养提升练(二)　圆周运动中的临界问题 一、选择题 1．如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动。若绳子可能断，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到(　　) A．最高点　　　　　 B．最低点 C．两侧与圆心等高处 D．无法确定 B　[小球运动到最低点时，小球的速率最大，向心力方向为竖直向上，拉力F＝mg＋m，此处绳子受到的拉力最大，故最易断。选项B正确。] 2．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为m1，B、C的质量均为m2，且m1＝2m2，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下列说法不正确的是(　　) A．C的向心加速度最大 B．B的静摩擦力最小 C．当圆台转速增大时，A比B先滑动 D．当圆台转速增大时，C将最先滑动 C　[A、B、C三个物体随转台一起转动，它们的角速度ω相等。由公式F静＝ma＝mrω2，可知C的向心加速度最大，B的静摩擦力最小，故A、B两项均正确；当转速增大时，静摩擦力不足以提供向心力，由F静max＝μmg＝mrωmax2得最大角速度ωmax＝，可见A、B应同时滑动，而C将最先滑动，故C项错误，D项正确。故不正确的是C。] 3．实验室模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力。在较大的平整木板上相隔一定的距离两端各钉4个钉子，将三合板弯曲成拱桥形两端卡入钉内，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数，下列说法正确的是(　　) A．玩具车静止在拱桥顶端时比运动经过顶端时的示数小一些 B．玩具车运动通过拱桥顶端时对桥压力不可能为零 C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态 D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 D　[玩具车静止在拱桥顶端时对拱桥压力等于玩具车的重力，当玩具车以一定的速度通过拱桥顶端时，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，解得N＝mg－m<mg，所以玩具车运动通过拱桥顶端时电子秤示数比玩具车静止在拱桥顶端时的示数小，故A错误；当玩具车以v＝通过拱桥顶端时，此时N＝0，故B错误；玩具车运动通过拱桥顶端时，加速度方向向下，处于失重状态，故C错误；根据N＝mg－m知，玩具车速度越大(未离开拱桥)，受到的支持力N越小，则电子秤的示数越小，故D正确。] 4．如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(已知g＝π2 m/s2)则(　　) A．物块A一定会受圆盘的摩擦力 B．当转速n＝0.5 r/s时，A不受摩擦力 C．A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D．当圆盘转速n＝1 r/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心 D　[若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，A错误；当摩擦力为零时，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，B错误；物块A受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s时，即n＝1 r/s< r/s，物块A有沿半径向内运动的趋势，所以摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。] 5．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　) A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位仍可能产生压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力小于mg B　[当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力mg＝，得临界速度为v0＝，当人在最高点的速度v>时，人与座位产生挤压，没有保险带，人也不会掉下来，A错误，B正确；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律N－mg＝m知，人处于超重状态，有N>mg，由牛顿第三定律可知，人对座位的压力大于mg，C、D错误。] 6．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN-v2关系图像如图乙所示，则(　　) 甲　　　　　　　　乙 A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a A　[由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2＞b时，在最高点杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，杆对小球弹力的大小等于小球重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律得F＋mg＝，得杆对小球的弹力大小F＝mg，即F＝a，D错误。] 7．如图所示光滑轨道上，小球经平直部分滑下然后冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　) A．在最高点A，小球受重力和向心力 B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力 C．在最高点A，小球的速度为 D．在最高点A，小球的向心加速度为g B　[小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma，又FN＝mg，所以a＝2g，由m＝ma得v＝，则A、C、D错误，B正确。] 8．甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为细绳)。乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆)。丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动。丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是(　　) 　 甲　　　乙　　　　　丙　　　 丁 A．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是v＝ B．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0 C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 C　[甲、丙图中当小球的重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg＝m，所以小球通过最高点的最小速度为v＝，乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以小球通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和小球重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误。] 9．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5 N B　[“水流星”刚好通过最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此可知，绳的拉力恰好为零，容器底部对水的压力也为零，且水恰不流出容器，处于完全失重状态，只受重力作用，故选B。] 10．如图所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动，小球过最高点速度为v，则下列说法中正确的是(　　) A．v的最小值为v＝ B．v从减小，受到的管壁弹力也减小 C．小球通过最高点时一定受到向上的支持力 D．小球通过最低点时一定受到外管壁的向上的弹力 D　[小球在管道中运动，在最高点的最小速度为零，选项A错误；当管壁对小球的弹力为零，重力提供向心力，根据mg＝m，解得v＝，当v由逐渐减小，管壁对小球的弹力向上，根据牛顿第二定律得，mg－F＝m，知弹力增大，选项B错误；小球在最高点时由于速度的大小未知，故可能受到向下的弹力，也可能受到向上的弹力，选项C错误；在最低点，因为向心力指向圆心，所以重力和弹力的合力方向竖直向上，知外管壁对小球有弹力作用，选项D正确。] 二、非选择题 11．如图所示，某同学用一根无弹性细绳拴住一个质量为m的小沙袋，让小沙袋在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，同时测出小沙袋运动n周所需时间为t。若小沙袋所需向心力近似等于手通过绳对小沙袋的拉力，求： (1)小沙袋做圆周运动的周期T； (2)小沙袋做圆周运动的角速度ω； (3)细绳对小沙袋的拉力F。 [解析]　(1)小沙袋做圆周运动的周期T＝。 (2)小沙袋做圆周运动的角速度ω＝，解得ω＝。 (3)细绳对小沙袋的拉力提供向心力，可得F＝mω2r， 解得F＝。 [答案]　(1)　(2)　(3) 12．如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。当小球向右滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示) (1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率； (2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小； (3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。 [解析]　(1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m， 解得小球速率v＝ m/s。 (2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力N＝＝＝0.4mg。 弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5mg。 (3)由(2)可知，环对小球的弹力N＝0.4mg。 当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝， 解得小球的速率v1＝3 m/s。 当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝， 解得小球的速率v2＝ m/s。 [答案]　(1) m/s　(2)0.5mg　(3)3 m/s或 m/s 13．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。重力加速度为g。求A、B两球落地点间的距离。 [解析]　两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。 对A球：3mg＋mg＝， 解得vA＝2。 对B球：mg－0.75mg＝， 解得vB＝。 由2R＝gt2得t＝2。 解得xA＝vAt＝2vA＝4R，xB＝vBt＝2vB＝R， 所以Δx＝xA－xB＝3R。 [答案]　3R 14/14 学科网（北京）股份有限公司 $