第六章 圆周运动（单元知识清单）物理人教版必修第二册

第六章 圆周运动（知识清单） 【思维导图】 【知识清单】 第1节　圆周运动 1、 线速度 (一)线速度大小和方向 1.定义：质点做圆周运动通过的 和所用 的比值叫做线速度的大小。 2.大小：v＝ ；单位： 。 3.方向：沿圆周在该点的 方向上，与半径 。 (二)匀速圆周运动 1.定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 ，这种运动叫做匀速圆周运动。 2.匀速圆周运动是 运动。 二、角速度 1.定义：质点所在的半径转过的 和所用 的比值。 2.公式：ω＝ 。 3.理解：描述圆周运动转动 的物理量，角速度越大，转动的 。 4.单位： 或 s-1 5.匀速圆周运动是 的圆周运动。 三、周期 1.周期 (1)定义：做匀速圆周运动的物体，转过 所用的时间，用T表示。 (2)单位： (3)周期越大，运动的越 。 2.转速 (1)定义：表示的是物体在单位时间内转过的 。 (2)单位： （r/s）或转/分（r/min） (3)转速越大，运动的越 。 (4)转速和周期关系：n= 四、线速度与角速度的关系 1.线速度与角速度的关系：v= 2.线速度、角速度与周期、转速的关系：v= ；ω= ；v= ；ω= 。 第2节　向心力 一、向心力 1.定义：做匀速圆周运动的物体一定受到一个指向 的合力，这个合力叫做向心力。 ①方向时刻发生 （始终指向 且与速度方向 ） ②向心力的作用：只改变线速度的 不改变速度 ③向心力是根据力的作用 来命名的，它可以是某一个力，或者是几个力的合力来提供。 2.向心力的来源：可以是 、 、 等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由 提供向心力。 3.向心力大小计算公式：Fn＝ ＝ ＝ 。 二、用向心力演示器探究向心力的大小 1.实验器材： 2.实验原理： 匀速转动手柄，使变速塔轮以及长槽和短槽和槽内的小球随之匀速转动，使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 3.实验探究：采用 法，进行分组实验。 第3节　向心加速度 一、匀速圆周运动的加速度方向 1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向 ，与速度方向始终 ，因此也称为向心加速度。 2.方向：指向 ，与速度方向始终 。 3.作用：只改变速度的 ，不改变速度的 。 4.性质：匀速圆周运动是加速度方向时刻变化的 曲线运动。 二、匀速圆周运动的加速度大小 1.向心加速度大小：an＝ ＝ ＝ 。 2.物理意义：描述速度方向变化的 。 3.单位：m/s2 第4节　生活中的圆周运动 一、火车转弯 1.内外轨一样高：火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压 ，使外轨发生 ，外轨对轮缘的 是火车转弯所需向心力的主要来源(如图甲所示) 　　　　　 甲　　　　　　　　　乙 2.外轨高于内轨：如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是 的，而是斜向弯道的 ，它与重力G的合力指向 ，为火车转弯提供了一部分向心力。 3.适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的 来提供。 二、汽车过拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力 分析 向心力 ＝m ＝m 对桥的压力 FN′＝ FN′＝ 结论 汽车对路面的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力 三、航天器中的失重现象 1.向心力分析：当航天器在近地轨道做匀速圆周运动时，轨道半径近似等于地球半径R，所受地球引力近似等于重力mg。宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力， ＝m，所以FN＝ 。 2.完全失重状态：当v＝ 时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于 状态。 四、离心运动 1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做 圆心的运动。 2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的 。 3.离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的 ；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过 。 【题型剖析及针对训练】 题型一：匀速圆周运动各物理量间的关系 【例1】在2025年春晚的《秧BOT》节目中，机器人拿着手绢在舞台上扭秧歌，如图所示。若机器人转动手绢恰使其在竖直面内绕中心点做匀速圆周运动，手绢的转速n＝30r/s，手绢边缘处P点到手绢中心点的距离R＝0.2m，则（　　） A．P点的角速度为 B．P点的线速度大小为 C．P点的向心加速度为 D．若转速n变为原来的2倍，则P点运动周期也变为原来的2倍 【针对训练1】某游乐场旋转木马的转盘半径为3m，运行时的转速n=6r/min。关于转盘边缘座椅（视为质点）的运动，下列说法正确的是（　　） A．座椅的角速度rad/s，线速度v=0.3πm/s B．座椅的角速度rad/s，线速度v=3πm/s C．若转盘转速增大为12r/min，边缘线速度将变为原来的2倍 D．若座椅移至转盘半径1.5m处，角速度将变为原来的 题型二：三类传动模型问题 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 角速度与半径成反比：＝。 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 【例2】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。已知c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是（　　） A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点的向心加速度是d点的4倍 【针对训练2】如图为一双齿轮传动系统，大、小齿轮的半径之比为，传动时齿轮不打滑，则下列结论正确的是（　　） A．大小齿轮转动的角速度之比为 B．大小齿轮边缘的线速度之比为 C．大小齿轮转动的周期之比为 D．大小齿轮边沿的向心加速度之比为 题型三：水平面内的圆周运动（圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型） 1．圆周运动动力学分析过程： 2.基础运动模型 运动模型 圆锥摆模型 mg θ l T 圆锥筒、圆碗 和圆筒模型 mg θ( l FN mg θ R FN 转弯模型 3.水平面内的圆盘临界模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条件 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 【例3】如图甲所示，花样滑冰比赛中运动员做圆锥摆运动，可简化为如图乙所示的模型。小球质量为，小球到悬挂点的摆线长为，测得小球做圆锥摆运动的周期为，摆线与竖直方向的夹角为，小球运动过程中始终没有与地面接触，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动的圆心为悬挂点 B．摆线对小球的拉力充当小球的向心力 C．小球所需的向心力大小为 D．摆线对小球的拉力大小为 【针对训练3】如图甲为火车过铁轨弯道时的情景，轨道的正视图如图乙所示。已知此处内外铁轨高度差为h，内外轨道的水平距离为d，火车转弯的轨道半径为R，火车的质量为m，火车速度为v，不考虑火车长度对受力情况造成的影响。下列说法正确的是（　　） A．当时，火车对内外轨道没有侧向挤压 B．当时，火车对内轨道有侧向挤压 C．火车受到的轨道对它的作用力大小为 D．当时，火车轮缘受到的侧向挤压力大小为 【例4】7．如图所示，材料相同的甲、乙两个盘子放置在匀速旋转的餐桌上，并相对餐桌保持静止，其中甲盘比乙盘距离餐桌中心远。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若甲、乙两个盘子的质量相等，则两盘受到的摩擦力大小相等 B．甲、乙两个盘子的线速度大小相等 C．盘子的质量越小，越容易相对餐桌滑动 D．若餐桌的转速逐渐增加，甲盘先相对餐桌滑动 【针对训练4】如图所示，P、Q两带孔小球穿在水平杆上，P、Q用细线连接，可沿杆滑动。已知P、Q的质量分别为5m和2m，与杆之间的动摩擦因数分别为2μ和μ，P在竖直中心轴线处，Q到轴线的距离为L。初始时系统静止，细线刚好被拉直。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。整个装置绕着转动，随着角速度缓慢增大，下列判断正确的是（　　） A．转动角速度为时，P受到沿P→Q方向的静摩擦力 B．转动角速度为时，P受到沿Q→P方向的静摩擦力 C．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 D．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 【例5】如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨。则其通过最高点时（　　） A．小球对圆环的压力大小等于 mg B．小球受到的向心力大于 mg C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度小于g 【针对训练5】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做半径为的圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线，已知重力加速度为g。则小球（　　） A．经最高点的最小速度为 B．经最高点的速度越大，对管壁的弹力一定越大 C．在ab上方运动时，对内侧管壁可能有作用力 D．在ab下方运动时，对内侧管壁可能有作用力 题型四：竖直面内的圆周运动 一、常见绳杆模型特点： 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 二、拱形桥和凹形桥模型特点 拱形桥模型 凹形桥模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上 受力示意图 力学方程 临界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝ 模型关键 ①最高点:，失重； ②，汽车脱离，做平抛运动。 ①最低点：，超重； ②，v越大，FN越大。 【例6】如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．小球在圆周最高点时的向心力一定只由重力提供 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．小球通过圆周最高点时的速率可能为 D．小球通过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 【针对训练6】如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）    A．图象函数表达式为 B．重力加速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置将改变 【例7】如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（    ） A．经过最低点时小球一定处于超重状态 B．经过最高点P时小球可能处于完全失重状态 C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点P的速度v最小值为 D．若经过最高点P的速度v增大，小球在P点对管壁压力可能减小 【针对训练7】如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C．若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D．小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 【例8】随着科技的发展，汽车已经走进寻常百姓家，据公安部交管局公布的数据，到2024年底全国汽车保有量高达3.53亿辆，安全驾驶问题已受到广泛关注。一辆汽车通过半径为的圆拱形桥梁顶端时速度为，重力加速度为，这辆汽车安全通过该桥顶的最大速度不能超过（　　） A． B． C． D． 【针对训练8】有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g取），下列说法正确的是（    ） A．汽车以速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空 B．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径小些比较安全 C．汽车到达桥顶时速度为，汽车对桥的压力是8400N D．汽车以的速度匀速过拱桥时，车和驾驶员都处于平衡状态 题型五：探究向心力大小的表达式 1.实验目的： 探究向心力与物体的质量、转动的角速度、转动的半径之间的定量关系。 2.实验思路：采用控制变量法探究 (1)使两物体的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系; (2)使两物体的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系; (3)使两物体的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。 3.实验器材： 向心力演示仪,见下图。 当转动手柄1时,变速塔轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,便显示出了两球所需向心力之比。 4.进行实验： (1)安装并调试向心力演示仪:在滑槽静止时,旋动两测力部分标尺的调零螺母,使两套管的上沿都与标尺顶端对齐。 (2)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球转动的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 (3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使半径之比为2∶1;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 (4)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,使两球的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 分析与论证: (1)分析表格,发现F跟ω的二次方成正比。 (2)分析表格,发现F跟r成正比。 (3)分析表格,发现F跟m成正比。 5.实验结论: 物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比,跟半径成正比,跟角速度的二次方成正比。 【例9】向心力演示器装置如图所示，两个塔轮通过皮带连接。实验时，匀速转动手柄，使长槽和短槽分别随相应的塔轮匀速转动，槽内的金属小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺（黑白相间的等分格）。图中左右皮带轮的半径之比为，摇动摇把让装置转动起来，关于该实验，下列说法正确的是（　　） A．图中是探究向心力与半径的关系 B．图中是探究向心力与质量的关系 C．左右两侧露出的格子之比为 D．加速转动过程中左右两侧露出的格子之比变大 【针对训练9】如图所示，向心力演示仪可以探究影响向心力大小的因素。传动皮带所套的左、右塔轮圆盘半径、之比为3：1，A、B、C小球到各自转轴距离之比约为1：2：1，则下列关于A、B、C小球圆周运动的分析，正确的是（　　） A．角速度之比为1：1：3 B．线速度之比为1：2：1 C．向心加速度之比为1：2：3 D．向心力之比一定为1：2：9 【课堂巩固】 1．如图所示，站立的智能机器人挥动手臂时，上臂绕肩关节点转动，上臂上的、两点的（    ） A．角速度 B．角速度 C．线速度 D．线速度 2．如图所示，一半径为的雨伞绕伞柄在水平面以角速度匀速旋转，伞边缘距地面的高度为，伞边缘甩出的水滴在地面上形成一个圆，重力加速度大小为，每个甩出的水滴在空中的运动可视为平抛运动，则圆的半径为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，波轮洗衣机内一物块随竖直圆筒一起绕竖直轴线匀速转动。下列说法正确的是（　　） A．物块所受摩擦力大于重力 B．圆筒对物块的作用力等于重力 C．圆筒的转速越大，物块所受摩擦力越大 D．圆筒的转速越大，物块对筒壁压力越大 4．如图是汽车在水平路面上转弯时的画面，下列说法正确的是（　　） A．汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力 B．若转弯时汽车速度增大，则一定会发生侧滑 C．若转弯时汽车的角速度恒定，则选择内圈较为安全 D．若转弯时汽车的线速度大小一定，则选择内圈较为安全 5．如图所示，摩天轮的半径为R，匀速转动的角速度为。质量为m的游客坐在摩天轮的座椅上，重力加速度为g，不考虑摩天轮座舱的大小。下列说法正确的是（    ） A．在转动一周的过程中，游客一直处于失重状态 B．在最低点时，座椅对游客的摩擦力大小为 C．在最高点时，游客对座椅的压力大小为 D．在与圆心等高处，座椅对游客的作用力大小为 6．如图所示，某同学手握一段硬质细塑料管，一根不可伸长的细线穿过塑料管，细线一端连接小球A，另一端连接物块B。现该同学通过摇动手中塑料管，使小球A在水平面内做匀速圆周运动，物块B处于静止状态。初始时刻小球A的速度大小为v，塑料管上管口与小球A之间的细线长为。改变物块B的高度后，再次让小球A在水平面内做匀速圆周运动，物块B仍处于静止状态，此时小球A的速度大小为2v，塑料管上管口与小球A之间的细线长为，不计空气阻力，忽略细线与塑料管之间的摩擦，小球A在做匀速圆周运动时，塑料管竖直静止。则值为（　　） A．2 B． C．4 D． 7．如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的向心力大小相等 B．甲、乙的线速度大小相等 C．乙、丙的角速度大小相等 D．乙、丙的线速度大小相等 8．我国有些地区的铁路由于弯多、弯急，路况复杂，依靠现有车型提速的难度较大，铁路部门通过引进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题，摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，车厢刚好没有离心侧翻的趋势，当列车行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。由以上信息可以推导出列车沿某弯道转弯时速度v和列车倾角（列车倾斜后车身竖直轴线偏离竖直方向的角度）之间的变化关系，下列图像中符合这一关系的是（　　） A． B． C． D． 9．如图甲所示，质量为的汽车在倾角为的路面上做匀速圆周运动，简化图如图乙所示，其中为圆周运动的圆心，圆周在水平面内，重力加速度为。当汽车以速率行驶时，恰好没有侧滑的趋势，下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中，受到重力、支持力、牵引力、阻力、向心力 B．汽车做圆周运动的半径 C．路面对汽车的支持力等于 D．当汽车的速率大于时，路面受到汽车侧向摩擦力的方向由A指向 10．质量为的小球在竖直平面内绕点做半径为的圆周运动，甲图中为细绳；乙图中为轻质杆；丙图中竖直圆轨道光滑；丁图中圆形管道光滑。则下列说法正确的是（　　） A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球在最高点速度由逐渐减小时，杆对物体的弹力逐渐减小 C．在丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．在丁图中，小球在水平线以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 11．机器人扭秧歌成了2025年年初的头条热点，机器人的3分钟表演让国内外都为之震撼。此情景可以简化如图所示，长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个质量为的小球（视为质点）。在转轴的带动下，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　）    A．小球经过时，轻杆对小球的作用力方向竖直向上 B．小球做匀速圆周运动的线速度大小为 C．小球在最左端时，轻杆对小球的作用力的大小为 D．小球在最下端时，小球受到合力的大小为 12．某小组用图甲所示的向心力演示器验证向心力F的大小与质量m、角速度和半径r之间的关系。已知小球放在挡板A、B、C处做圆周运动时的半径之比为；变速塔轮自上而下每层左、右半径之比分别为、和，如图乙所示。 (1)该实验研究向心力与三个物理量间的关系，采用的研究方法是________； A．控制变量法 B．放大法 C．补偿法 (2)探究向心力与半径之间的关系时 ①应将质量相同的小球分别放在 处； A．挡板A和挡板B    B．挡板A和挡板C    C．挡板B和挡板C ②同时，应选择左、右变速塔轮中半径 的两个塔轮； A．相同    B．不同 (3)在某次实验中，验证向心力F与角速度之间关系时，左、右两个标尺露出的格子数之比为，此时传动皮带是连接在图乙中的________塔轮上。 A．第一层 B．第二层 C．第三层 13．某同学设计了一种探究向心力与角速度关系的实验装置，如图甲所示，在水平圆盘上固定一个长的凹槽，在槽内固定一个力传感器，将小球放在凹槽内，在力传感器外侧安装了一个沿圆盘径向的遮光片，小球紧靠力传感器。 (1)本实验应该保证 和 不变； (2)使圆盘绕过圆盘中心的竖直轴匀速转动，与光电门连接的光强记录仪记录接收到的光强随时间变化的规律如图乙所示，根据图乙可知，圆盘转动的角速度为 ； (3)多次调整圆盘的转速进行实验，测得多组小球转动的角速度及对应力传感器示数F，作出图像如图丙所示，由图像得到的结论是 ；若小球的质量为0.2kg，则小球做圆周运动的半径 m。 【课堂总结】 1.圆周运动各个物理量之间的关系是什么？ 2.水平面内的圆周运动都有哪些模型？如何处理？ 3.竖直面内的圆周运动都有哪些模型？如何处理？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆周运动（知识清单） 【思维导图】 【知识清单】 第1节　圆周运动 1、 线速度 (一)线速度大小和方向 1.定义：质点做圆周运动通过的弧长Δs和所用时间Δt的比值叫做线速度的大小。 2.大小：v＝；单位：m/s。 3.方向：沿圆周在该点的切线方向上，与半径垂直。 (二)匀速圆周运动 1.定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。 2.匀速圆周运动是变速运动。 二、角速度 1.定义：质点所在的半径转过的角度Δθ和所用时间Δt的比值。 2.公式：ω＝。 3.理解：描述圆周运动转动快慢的物理量，角速度越大，转动的越快。 4.单位：rad/s 或 s-1 5.匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 三、周期 1.周期 (1)定义：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间，用T表示。 (2)单位：s (3)周期越大，运动的越慢。 2.转速 (1)定义：表示的是物体在单位时间内转过的圈数。 (2)单位：转/秒（r/s）或转/分（r/min） (3)转速越大，运动的越快。 (4)转速和周期关系：n= 四、线速度与角速度的关系 1.线速度与角速度的关系：v=ωr 2.线速度、角速度与周期、转速的关系：v=；ω=；v=2πnr；ω=2πn。 第2节　向心力 一、向心力 1.定义：做匀速圆周运动的物体一定受到一个指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。 ①方向时刻发生变化（始终指向圆心且与速度方向垂直） ②向心力的作用：只改变线速度的方向不改变速度大小 ③向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是某一个力，或者是几个力的合力来提供。 2.向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 3.向心力大小计算公式：Fn＝m＝mω2r＝mr。 二、用向心力演示器探究向心力的大小 1.实验器材： 2.实验原理： 匀速转动手柄，使变速塔轮以及长槽和短槽和槽内的小球随之匀速转动，使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 3.实验探究：采用控制变量法，进行分组实验。 第3节　向心加速度 一、匀速圆周运动的加速度方向 1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，与速度方向始终垂直，因此也称为向心加速度。 2.方向：指向圆心，与速度方向始终垂直。 3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。 4.性质：匀速圆周运动是加速度方向时刻变化的变加速曲线运动。 二、匀速圆周运动的加速度大小 1.向心加速度大小：an＝＝ω2r＝r。 2.物理意义：描述速度方向变化的快慢。 3.单位：m/s2 第4节　生活中的圆周运动 一、火车转弯 1.内外轨一样高：火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源(如图甲所示) 　　　　　 甲　　　　　　　　　乙 2.外轨高于内轨：如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。 3.适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供。 二、汽车过拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力 分析 向心力 G－FN＝m FN－G＝m 对桥的压力 FN′＝G－m FN′＝G＋m 结论 汽车对路面的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力越大 三、航天器中的失重现象 1.向心力分析：当航天器在近地轨道做匀速圆周运动时，轨道半径近似等于地球半径R，所受地球引力近似等于重力mg。宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mg－FN＝m，所以FN＝m(g－2)。 2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态。 四、离心运动 1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。 2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。 3.离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。 【题型剖析及针对训练】 题型一：匀速圆周运动各物理量间的关系 【例1】在2025年春晚的《秧BOT》节目中，机器人拿着手绢在舞台上扭秧歌，如图所示。若机器人转动手绢恰使其在竖直面内绕中心点做匀速圆周运动，手绢的转速n＝30r/s，手绢边缘处P点到手绢中心点的距离R＝0.2m，则（　　） A．P点的角速度为 B．P点的线速度大小为 C．P点的向心加速度为 D．若转速n变为原来的2倍，则P点运动周期也变为原来的2倍 【答案】B 【详解】ABC．P点的角速度线速度大小 向心加速度分别为，故AC错误，B正确； D．由可知，若转速n变为原来的2倍，则P点运动周期变为原来的，故D错误。故选B。 【针对训练1】某游乐场旋转木马的转盘半径为3m，运行时的转速n=6r/min。关于转盘边缘座椅（视为质点）的运动，下列说法正确的是（　　） A．座椅的角速度rad/s，线速度v=0.3πm/s B．座椅的角速度rad/s，线速度v=3πm/s C．若转盘转速增大为12r/min，边缘线速度将变为原来的2倍 D．若座椅移至转盘半径1.5m处，角速度将变为原来的 【答案】C 【详解】AB．转速，故角速度线速度，故AB错误； C．若转盘转速增大为12r/min，线速度，原线速度，故线速度变为原来的2倍，故C正确。 D．角速度由转盘整体决定，与半径无关。座椅移至半径处，角速度仍为，故D错误。 故选C。 题型二：三类传动模型问题 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 角速度与半径成反比：＝。 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 【例2】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。已知c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是（　　） A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点的向心加速度是d点的4倍 【答案】C 【详解】AC．由于、两点是皮带传动两轮子边缘上的两点，则a点与c点的线速度大小相等，、两点为共轴的轮子上两点，则b点与c点的角速度相等，根据可得（因为），因此，故A错误，C正确； B．以上分析可知，则有又因为联立解得，故B错误； D．由于、两点是共轴轮子上的两点，则b点与d点的角速度相等，因为，则有，而，根据公式可得，故D错误。故选C。 【针对训练2】如图为一双齿轮传动系统，大、小齿轮的半径之比为，传动时齿轮不打滑，则下列结论正确的是（　　） A．大小齿轮转动的角速度之比为 B．大小齿轮边缘的线速度之比为 C．大小齿轮转动的周期之比为 D．大小齿轮边沿的向心加速度之比为 【答案】D 【详解】B．因为是齿轮传动，大、小齿轮边缘上的点转动的线速度之比为，故B错误； A．由，可得大、小齿轮转动的角速度之比为，故A错误； C．由，可得，故C错误； D．由，可得大、小齿轮边缘上的点的向心加速度之比为，故D正确。故选D。 题型三：水平面内的圆周运动（圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型） 1．圆周运动动力学分析过程： 2.基础运动模型 运动模型 圆锥摆模型 mg θ l T 圆锥筒、圆碗 和圆筒模型 mg θ( l FN mg θ R FN 转弯模型 3.水平面内的圆盘临界模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条件 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 【例3】如图甲所示，花样滑冰比赛中运动员做圆锥摆运动，可简化为如图乙所示的模型。小球质量为，小球到悬挂点的摆线长为，测得小球做圆锥摆运动的周期为，摆线与竖直方向的夹角为，小球运动过程中始终没有与地面接触，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动的圆心为悬挂点 B．摆线对小球的拉力充当小球的向心力 C．小球所需的向心力大小为 D．摆线对小球的拉力大小为 【答案】D 【详解】A．小球在水平面内做圆周运动，运动圆心为悬挂点在运动平面内的投影，A错误； B．摆线的拉力指向悬挂点，应该是拉力的水平分力提供向心力，B错误； C．小球所需的向心力大小，C错误； D．摆线对小球的拉力大小的水平分力提供向心力，即 结合C选项的结论，可得，D正确。 故选D。 【针对训练3】如图甲为火车过铁轨弯道时的情景，轨道的正视图如图乙所示。已知此处内外铁轨高度差为h，内外轨道的水平距离为d，火车转弯的轨道半径为R，火车的质量为m，火车速度为v，不考虑火车长度对受力情况造成的影响。下列说法正确的是（　　） A．当时，火车对内外轨道没有侧向挤压 B．当时，火车对内轨道有侧向挤压 C．火车受到的轨道对它的作用力大小为 D．当时，火车轮缘受到的侧向挤压力大小为 【答案】A 【详解】A．火车对内外轨道没有侧向挤压时，火车受到轨道对火车的支持力N和重力G的合力提供向心力。支持力N的方向垂直轨道平面，轨道平面倾斜角，则有，竖直方向受力平衡，则有水平方向合力提供向心力，则有联立得，故A正确； B．当时，所需向心力增大，仅支持力水平分力不足以提供火车转弯所需向心力，火车会挤压外轨以获得额外向心力，而非内轨，故B错误； C．轨道对火车的作用力包括支持力N和可能的侧向力摩擦力f，火车受到的轨道对它的作用力为轨道对火车作用力的合力，如果不考虑侧向摩擦力f，则有 由于题中没有明确有没有侧向摩擦力，故C错误； D．当时，火车轮缘受到的侧向挤压力大小不是定值，和v有关。故D错误。故选A。 【例4】7．如图所示，材料相同的甲、乙两个盘子放置在匀速旋转的餐桌上，并相对餐桌保持静止，其中甲盘比乙盘距离餐桌中心远。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若甲、乙两个盘子的质量相等，则两盘受到的摩擦力大小相等 B．甲、乙两个盘子的线速度大小相等 C．盘子的质量越小，越容易相对餐桌滑动 D．若餐桌的转速逐渐增加，甲盘先相对餐桌滑动 【答案】D 【详解】A．盘子做匀速圆周运动，甲、乙角速度ω相同，甲的转动半径r更大，分析可知二者的静摩擦力提供向心力，则有可知若二者质量相等，甲受到的摩擦力更大，故A错误； B．根据线速度由于甲的转动半径更大，所以甲的线速度更大，故B错误； C．当盘子即将滑动时，最大静摩擦力提供向心力，即解得临界角速度 可见临界角速度与质量m无关，因此盘子是否容易滑动与质量无关，故C错误； D．因为临界角速度可知转动半径r越大，临界角速度越小。甲的转动半径更大，所以当餐桌转速逐渐增加时，甲先达到临界角速度，先相对餐桌滑动，故D正确。故选D。 【针对训练4】如图所示，P、Q两带孔小球穿在水平杆上，P、Q用细线连接，可沿杆滑动。已知P、Q的质量分别为5m和2m，与杆之间的动摩擦因数分别为2μ和μ，P在竖直中心轴线处，Q到轴线的距离为L。初始时系统静止，细线刚好被拉直。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。整个装置绕着转动，随着角速度缓慢增大，下列判断正确的是（　　） A．转动角速度为时，P受到沿P→Q方向的静摩擦力 B．转动角速度为时，P受到沿Q→P方向的静摩擦力 C．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 D．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 【答案】B 【详解】AB．分析可知，角速度缓慢增大过程中，Q一开始只受到静摩擦力作用，直到角速度增大到一定程度时，静摩擦力不足以提供向心力，细线开始提供拉力，则此瞬间有 解得细线产生拉力的临界角速度为所以转动角速度为时，细线中没有拉力，则P不受到摩擦力；转动角速度为时，摩擦力不足以提供向心力，Q受到Q→P方向的拉力，则P受到P→Q方向的拉力以及Q→P方向的静摩擦力。故A错误，B正确； CD．P、Q不产生滑动的情况下，细线中的最大拉力大小等于P的最大静摩擦力，为 则P、Q即将产生滑动瞬间，对Q有联立解得滑动的临界角速度为 则转动角速度为或时，Q不会滑动。故CD错误。故选B。 【例5】如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨。则其通过最高点时（　　） A．小球对圆环的压力大小等于 mg B．小球受到的向心力大于 mg C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度小于g 【答案】C 【详解】A．小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨，可知，通过最高点时，小球对圆环的压力大小等于0，故A错误； B．结合上述可知，通过最高点时，小球受到的向心力等于 mg，故B错误； C．结合上述有解得，故C正确； D．结合上述，根据牛顿第二定律可知，通过最高点时，小球的向心加速度等于g，故D错误。故选C。 【针对训练5】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做半径为的圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线，已知重力加速度为g。则小球（　　） A．经最高点的最小速度为 B．经最高点的速度越大，对管壁的弹力一定越大 C．在ab上方运动时，对内侧管壁可能有作用力 D．在ab下方运动时，对内侧管壁可能有作用力 【答案】C 【详解】AB．在最高点，当速度时，内壁对小球有支持力，根据牛顿第二定律可得，解得当速度越大时，支持力越小，结合牛顿第三定律可知，对管壁的弹力越小。当时，速度有最小值0，故AB错误； C．小球在过圆心的水平线上方运动时，小球的速度如果比较小，靠重力和内侧管壁的支持力提供向心力，C正确； D．在下方运动时，受到的向心力指向圆心，而重力沿半径方向的分力背离圆心，故小球还必须受到外壁的支持力，对内侧管壁没有作用力，D错误。故选C。 题型四：竖直面内的圆周运动 一、常见绳杆模型特点： 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 二、拱形桥和凹形桥模型特点 拱形桥模型 凹形桥模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上 受力示意图 力学方程 临界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝ 模型关键 ①最高点:，失重； ②，汽车脱离，做平抛运动。 ①最低点：，超重； ②，v越大，FN越大。 【例6】如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．小球在圆周最高点时的向心力一定只由重力提供 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．小球通过圆周最高点时的速率可能为 D．小球通过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 【答案】D 【详解】A．小球在圆周最高点时的向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误； BC．小球在最高点时，受到的最小的合外力为重力，要做完整的圆周运动需满足解得当在最高点速度为时，绳子拉力为零，小球刚好能做完整的圆周运动，故小球通过圆周最高点时的速率不可能为，故BC错误； D．小球在最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力大于重力，故D正确。故选D。 【针对训练6】如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）    A．图象函数表达式为 B．重力加速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置将改变 【答案】B 【详解】A．在最高点，对小球进行分析有可知，图像函数表达式为故A错误； B．根据上述，结合图像可知，将代入函数表达式中有解得故B正确； C．根据上述可知，图像的斜率为可知，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，故C错误； D．根据上述，结合图像有解得可知，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D错误。故选B。 【例7】如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（    ） A．经过最低点时小球一定处于超重状态 B．经过最高点P时小球可能处于完全失重状态 C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点P的速度v最小值为 D．若经过最高点P的速度v增大，小球在P点对管壁压力可能减小 【答案】C 【详解】A．小球在最低点，加速度向上，则小球处于超重状态，故A正确； B．小球经过最高点P时，若对轨道的压力为零，则重力完全提供向心力，小球处于完全失重状态，故B正确； C．由于在最高点圆管能支撑小球，所以速度的最小值为零，故C错误； D．若过最高点的速度较小，则在P点，小球在P点对管壁压力向下，轨道对小球有向上的弹力，根据牛顿第二定律可得此时经过最高点P的速度增大，小球在P点和管壁的作用力减小，故D正确。本题选不正确的，故选C。 【针对训练7】如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C．若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D．小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 【答案】C 【详解】AC．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有解得可知，若小球运动的角速度杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度杆对球的作用力向上，故A错误，C正确； B．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形法则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误； D．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。故选C。 【例8】随着科技的发展，汽车已经走进寻常百姓家，据公安部交管局公布的数据，到2024年底全国汽车保有量高达3.53亿辆，安全驾驶问题已受到广泛关注。一辆汽车通过半径为的圆拱形桥梁顶端时速度为，重力加速度为，这辆汽车安全通过该桥顶的最大速度不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当汽车通过桥顶时，重力与桥面支持力的合力提供向心力。设桥面支持力为，由牛顿第二定律得可得解得可知这辆汽车安全通过该桥顶的最大速度不能超过。故选C。 【针对训练8】有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g取），下列说法正确的是（    ） A．汽车以速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空 B．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径小些比较安全 C．汽车到达桥顶时速度为，汽车对桥的压力是8400N D．汽车以的速度匀速过拱桥时，车和驾驶员都处于平衡状态 【答案】A 【详解】A．汽车经过桥顶时，当汽车刚好对桥没有压力，则有解得故A正确； B．汽车经过桥顶时，根据牛顿第二定律可得可得可知对于同样的车速，拱桥圆弧的半径太小时，汽车可能腾空，所以拱桥圆弧的半径大些比较安全，故B错误； C．根据汽车到达桥顶时速度为，可得根据牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力是7600N，故C错误； D．汽车以的速度匀速过拱桥时，汽车做匀速圆周运动，合外力提供所需的向心力，汽车和驾驶员都不是处于平衡状态，故D错误。故选A。 题型五：探究向心力大小的表达式 1.实验目的： 探究向心力与物体的质量、转动的角速度、转动的半径之间的定量关系。 2.实验思路：采用控制变量法探究 (1)使两物体的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系; (2)使两物体的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系; (3)使两物体的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。 3.实验器材： 向心力演示仪,见下图。 当转动手柄1时,变速塔轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,便显示出了两球所需向心力之比。 4.进行实验： (1)安装并调试向心力演示仪:在滑槽静止时,旋动两测力部分标尺的调零螺母,使两套管的上沿都与标尺顶端对齐。 (2)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球转动的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 (3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使半径之比为2∶1;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 (4)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,使两球的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。 分析与论证: (1)分析表格,发现F跟ω的二次方成正比。 (2)分析表格,发现F跟r成正比。 (3)分析表格,发现F跟m成正比。 5.实验结论: 物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比,跟半径成正比,跟角速度的二次方成正比。 【例9】向心力演示器装置如图所示，两个塔轮通过皮带连接。实验时，匀速转动手柄，使长槽和短槽分别随相应的塔轮匀速转动，槽内的金属小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺（黑白相间的等分格）。图中左右皮带轮的半径之比为，摇动摇把让装置转动起来，关于该实验，下列说法正确的是（　　） A．图中是探究向心力与半径的关系 B．图中是探究向心力与质量的关系 C．左右两侧露出的格子之比为 D．加速转动过程中左右两侧露出的格子之比变大 【答案】C 【详解】AB．图中左右皮带轮的半径之比为，两轮边缘线速度相等，根据 则，角速度之比为，图中是探究向心力与角速度的关系，故AB错误； C．根据 左右两侧向心力之比为，露出的格子之比为，故C正确； D．左右两侧的向心力之比始终等于角速度的二次方之比，而角速度之比等于左右皮带轮的半径之比的倒数，加速转动过程中左右皮带轮的半径之比不变，故露出的格子之比不变，故D错误。 故选C 。 【针对训练9】如图所示，向心力演示仪可以探究影响向心力大小的因素。传动皮带所套的左、右塔轮圆盘半径、之比为3：1，A、B、C小球到各自转轴距离之比约为1：2：1，则下列关于A、B、C小球圆周运动的分析，正确的是（　　） A．角速度之比为1：1：3 B．线速度之比为1：2：1 C．向心加速度之比为1：2：3 D．向心力之比一定为1：2：9 【答案】A 【详解】A．设左塔轮的角速度为，右塔轮的角速度为，根据皮带传动特点，即皮带上各点具有相同的线速度大小，则有即解得其中，，故三者角速度之比为故A正确； B．根据可得三者线速度之比为故B错误； C．根据可得三者向心加速度之比为故C错误； D．根据因不知道三个小球的质量关系，故向心力大小之比不一定为1：2：9，故D错误。故选A。 【课堂巩固】 1．如图所示，站立的智能机器人挥动手臂时，上臂绕肩关节点转动，上臂上的、两点的（    ） A．角速度 B．角速度 C．线速度 D．线速度 【答案】C 【详解】AB．上臂绕肩关节点转动，因同轴转动的物体上各部分的角速度相同，故 故AB错误； CD．因为线速度与角速度的关系为，且 得，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图所示，一半径为的雨伞绕伞柄在水平面以角速度匀速旋转，伞边缘距地面的高度为，伞边缘甩出的水滴在地面上形成一个圆，重力加速度大小为，每个甩出的水滴在空中的运动可视为平抛运动，则圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水滴被甩出后做平抛运动，初速度方向与伞的半径垂直，由圆周运动速度角速度关系得 竖直方向 水平方向的位移 解得 平抛运动水平方向的位移与离开伞时的伞的半径垂直，因此地面圆的半径 故选A。 3．如图所示，波轮洗衣机内一物块随竖直圆筒一起绕竖直轴线匀速转动。下列说法正确的是（　　） A．物块所受摩擦力大于重力 B．圆筒对物块的作用力等于重力 C．圆筒的转速越大，物块所受摩擦力越大 D．圆筒的转速越大，物块对筒壁压力越大 【答案】D 【详解】AC．物块与圆筒一起转动，根据竖直方向平衡，静摩擦力大小不变，故AC错误； B．圆筒对物块的作用力，故B错误； D．根据牛顿第三定律压力与支持力大小相等，即，支持力 转速越大则支持力越大，压力就越大，故D正确。 故选D。 4．如图是汽车在水平路面上转弯时的画面，下列说法正确的是（　　） A．汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力 B．若转弯时汽车速度增大，则一定会发生侧滑 C．若转弯时汽车的角速度恒定，则选择内圈较为安全 D．若转弯时汽车的线速度大小一定，则选择内圈较为安全 【答案】C 【详解】A．车做的是匀速圆周运动，是侧向静摩擦力提供向心力，重力和支持力平衡，所以汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，向心力是效果力不是物体实际受到的力，故A错误； B．若转弯时汽车速度增大，根据 车所需要的向心力增加，由受力可知，由静摩擦力提供车辆所需要的向心力，当车所需要的向心力增加，静摩擦力不一定增加到最大静摩擦力，故车不一定侧滑，故B错误； C．如果汽车以恒定的角速度转弯，根据 可知在内圈时转弯半径小，所以在内圈时向心力小，则静摩擦力小，不容易打滑，安全，故C正确； D．若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据 在外圈是转弯半径大，在外圈时向心力小，此时静摩擦力小，不容易打滑，安全。故D错误。 故选C。 5．如图所示，摩天轮的半径为R，匀速转动的角速度为。质量为m的游客坐在摩天轮的座椅上，重力加速度为g，不考虑摩天轮座舱的大小。下列说法正确的是（    ） A．在转动一周的过程中，游客一直处于失重状态 B．在最低点时，座椅对游客的摩擦力大小为 C．在最高点时，游客对座椅的压力大小为 D．在与圆心等高处，座椅对游客的作用力大小为 【答案】C 【详解】A．游客随摩天轮做匀速圆周运动，游客的加速度始终指向圆心，当游客处于摩天轮圆心等高处上方时，向心加速度的方向向下或者有竖直向下的分量，游客处于失重状态，当游客处于圆心等高处下方时，向心加速度的方向向上或者有竖直向上的分量，游客处于超重状态，故A错误； C．在最高点时，对游客由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知，游客对座椅的压力大小为，故C正确； B．在最低点，由于游客做匀速圆周运动，沿切线方向的合力始终为0，则游客所受的摩擦力为0，故B错误； D．在与圆心等高处，在竖直方向上，座椅对游客的作用力大小为 水平方向上的作用力大小为 则座椅对游客的作用力大小为解得，故D错误。故选C。 6．如图所示，某同学手握一段硬质细塑料管，一根不可伸长的细线穿过塑料管，细线一端连接小球A，另一端连接物块B。现该同学通过摇动手中塑料管，使小球A在水平面内做匀速圆周运动，物块B处于静止状态。初始时刻小球A的速度大小为v，塑料管上管口与小球A之间的细线长为。改变物块B的高度后，再次让小球A在水平面内做匀速圆周运动，物块B仍处于静止状态，此时小球A的速度大小为2v，塑料管上管口与小球A之间的细线长为，不计空气阻力，忽略细线与塑料管之间的摩擦，小球A在做匀速圆周运动时，塑料管竖直静止。则值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】设小球A的质量为，物体B的质量为，第一次小球A以速度v做匀速圆周运动时，绳上拉力为T，绳与竖直方向夹角为α，则竖直方向上有，且根据向心力公式有可解得第二次小球A以速度2v做匀速圆周运动时，依然有设此时的角度为，则竖直方向上有水平方向上所以根据公式可知两次运动中，所以故选C。 7．如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的向心力大小相等 B．甲、乙的线速度大小相等 C．乙、丙的角速度大小相等 D．乙、丙的线速度大小相等 【答案】D 【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得向心加速度大小为 由于乙对应的较大，所以甲的向心力小于乙的向心力；甲的运动半径小于乙的运动半径，根据可知甲的线速度小于乙的线速度。 故AB错误； CD．乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为轴，水平向左为轴，则抛物线方程为 设乙、丙的坐标分别为（，）、（，），则有 根据牛顿第二定律可得 其中， 可得， 由于，，则有， 故C错误，D正确。 故选D。 8．我国有些地区的铁路由于弯多、弯急，路况复杂，依靠现有车型提速的难度较大，铁路部门通过引进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题，摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，车厢刚好没有离心侧翻的趋势，当列车行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。由以上信息可以推导出列车沿某弯道转弯时速度v和列车倾角（列车倾斜后车身竖直轴线偏离竖直方向的角度）之间的变化关系，下列图像中符合这一关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】列车转弯时受到重力和支持力，其合力提供向心力。 由牛顿第二定律 整理得，与是一次函数关系。故选C。 9．如图甲所示，质量为的汽车在倾角为的路面上做匀速圆周运动，简化图如图乙所示，其中为圆周运动的圆心，圆周在水平面内，重力加速度为。当汽车以速率行驶时，恰好没有侧滑的趋势，下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中，受到重力、支持力、牵引力、阻力、向心力 B．汽车做圆周运动的半径 C．路面对汽车的支持力等于 D．当汽车的速率大于时，路面受到汽车侧向摩擦力的方向由A指向 【答案】C 【详解】A．汽车在圆轨道上做圆周运动，受到重力、支持力、牵引力、阻力，向心力是合力的作用效果，故A错误； BC．汽车在路面上刚好没有侧向摩擦力时的受力分析如图所示 根据牛顿第二定律有 解得 路面对汽车的支持力，故B错误，C正确： D．当汽车的速率大于时，汽车有向外运动的趋势，受力分析图如图所示 由牛顿第三定律可得，此时路面受到的侧向摩擦力的方向由指向A，故D错误。 故选C。 10．质量为的小球在竖直平面内绕点做半径为的圆周运动，甲图中为细绳；乙图中为轻质杆；丙图中竖直圆轨道光滑；丁图中圆形管道光滑。则下列说法正确的是（　　） A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球在最高点速度由逐渐减小时，杆对物体的弹力逐渐减小 C．在丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．在丁图中，小球在水平线以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【答案】A 【详解】A．甲丙图原理相同，小球恰好到最高点时，刚好由重力充当向心力，满足 解得，A正确； B．乙丁图中，由于杆或内轨对小球有支持力的作用，小球在最高点速度小于时，杆或内轨对小球有支持力，根据牛顿第二定律可得解得 此时，速度逐渐减小时，杆对物体的弹力逐渐增大；小球在最高点速度大于时，杆或外轨对小球有拉力（压力），根据牛顿第二定律可得解得 此时，速度逐渐减小时，杆对物体的弹力逐渐减小，B错误； C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力为外轨的支持力和重力沿半径方向分力的合力，故外侧管壁对小球一定有作用力，C错误； D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，如果在最高点的速度大于，小球有做离心运动的趋势，所以只有外侧管壁对小球有作用力，如果在最高点的速度小于，小球有做近心运动的趋势，只有内侧管壁对小球有作用力，D错误。 故选A。 11．机器人扭秧歌成了2025年年初的头条热点，机器人的3分钟表演让国内外都为之震撼。此情景可以简化如图所示，长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个质量为的小球（视为质点）。在转轴的带动下，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　）    A．小球经过时，轻杆对小球的作用力方向竖直向上 B．小球做匀速圆周运动的线速度大小为 C．小球在最左端时，轻杆对小球的作用力的大小为 D．小球在最下端时，小球受到合力的大小为 【答案】C 【详解】A．小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为，大于小球的重力，因为小球经过时的合力必须指向圆心方向，可知轻杆对小球的作用力方向一定向下，故A错误； B．在时，根据牛顿第二定律可得 可知小球做匀速圆周运动的线速度大小为，故B错误； C．小球在最左端时，小球受重力和轻杆对小球的作用力而做匀速圆周运动，合力指向圆心方向，根据平行四边形定则，可知轻杆对小球的作用力的大小为，故C正确； D．小球在最下端时，小球受到合力的大小为，故D错误。 故选C。 12．某小组用图甲所示的向心力演示器验证向心力F的大小与质量m、角速度和半径r之间的关系。已知小球放在挡板A、B、C处做圆周运动时的半径之比为；变速塔轮自上而下每层左、右半径之比分别为、和，如图乙所示。 (1)该实验研究向心力与三个物理量间的关系，采用的研究方法是________； A．控制变量法 B．放大法 C．补偿法 (2)探究向心力与半径之间的关系时 ①应将质量相同的小球分别放在 处； A．挡板A和挡板B    B．挡板A和挡板C    C．挡板B和挡板C ②同时，应选择左、右变速塔轮中半径 的两个塔轮； A．相同    B．不同 (3)在某次实验中，验证向心力F与角速度之间关系时，左、右两个标尺露出的格子数之比为，此时传动皮带是连接在图乙中的________塔轮上。 A．第一层 B．第二层 C．第三层 【答案】(1)A (2) C A (3)C 【详解】（1）在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时，主要用到的物理学研究方法是控制变量法。故选A。 （2）[1]探究向心力与半径之间的关系时，两钢球的运动半径应不同，两钢球质量相等，放在挡板B和挡板C位置，小球做圆周运动轨迹半径不同。 故选C。 [2]传动皮带调至第一层塔轮，半径相同，左右塔轮边缘线速度相等，根据可知角速度相等，由向心力表达式，可知可探究向心力大小与半径的关系。 故选A。 （3）两钢球质量相等，在某次实验中，验证向心力F与角速度之间关系时，应保持半径相同，又左、右两个标尺露出的格子数之比为，可知向心力之比为，由向心力表达式，可知角速度之比为，根据可知半径之比为，可得传动皮带是连接在图乙中的第三层塔轮上。 故选C。 13．某同学设计了一种探究向心力与角速度关系的实验装置，如图甲所示，在水平圆盘上固定一个长的凹槽，在槽内固定一个力传感器，将小球放在凹槽内，在力传感器外侧安装了一个沿圆盘径向的遮光片，小球紧靠力传感器。 (1)本实验应该保证 和 不变； (2)使圆盘绕过圆盘中心的竖直轴匀速转动，与光电门连接的光强记录仪记录接收到的光强随时间变化的规律如图乙所示，根据图乙可知，圆盘转动的角速度为 ； (3)多次调整圆盘的转速进行实验，测得多组小球转动的角速度及对应力传感器示数F，作出图像如图丙所示，由图像得到的结论是 ；若小球的质量为0.2kg，则小球做圆周运动的半径 m。 【答案】(1) 小球质量 小球做圆周运动的半径 (2) (3) 在质量和半径一定的情况下，小球做圆周运动的向心力与角速度的平方成正比。 【详解】（1）[1][2]探究向心力与角速度关系，应采取控制变量的方法，故本实验应该保证小球质量和小球做圆周运动的半径不变。 （2）根据图乙可知，小球做圆周运动周期为，根据可知圆盘转动的角速度为 （3）[1]由图丙可知，在质量和半径一定的情况下，小球做圆周运动的向心力与角速度的平方成正比。 [2]根据向心力公式，可知图像的斜率 又小球的质量为0.2kg，斜率，代入数据解得圆周运动的半径 【课堂总结】 1.圆周运动各个物理量之间的关系是什么？ 2.水平面内的圆周运动都有哪些模型？如何处理？ 3.竖直面内的圆周运动都有哪些模型？如何处理？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $