精品解析：山西省朔州市山阴县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度八年级上学期期中综合评估数学 上册第十三~十五章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在表中） 1. 山西古建筑的榫卯结构不仅体现了古代工匠的高超技艺和智慧，也为现代建筑提供了宝贵的历史经验和启示，下列榫卯结构拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，A，B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得米，米，则A，B两点间的距离可能是（ ） A. 50米 B. 58米 C. 62米 D. 46米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是46米， 故选：D． 3. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大，则该三角形中较小锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程应用，直角三角形两锐角互余，掌握相关知识点是解题关键．利用直角三角形两锐角之和为的性质，设较小锐角为未知数，列方程求解． 【详解】解：设较小锐角为，则较大锐角为， 由题意得：， 解得：， 故选：D． 5. 如图，是内部的一条射线，点P在上，于点D，于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可． 详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴． 故选A． 6. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 7. 如图，在中，，，点D、E分别在和上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角，得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 故选：B． 8. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 两直线平行，同位角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题判定，逆命题，全等三角形的判定，以及平行线的性质，掌握相关的知识点是解题关键．先写出每个选项的逆命题，再根据相关知识点判断其真假即可． 【详解】解：A、逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角，但相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，选项错误，不符合题意； B、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么它们全等，但对应角相等的三角形不一定全等，逆命题是假命题，选项错误，不符合题意； C、逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么它们全等；根据全等判定，逆命题是真命题，选项正确，符合题意； D、逆命题：如果同位角互补，那么两直线平行，但同位角互补不一定导致平行，逆命题假命题，选项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在锐角中，直线l为的垂直平分线，平分，直线l与射线交于点P，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，则，再结合角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：直线l为的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，若，且点D在第四象限，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的性质，坐标与图形，根据题意得出点C和点D关于直线对称，即可求解． 【详解】解：∵，，点D在第四象限， ∴点C和点D关于直线对称， ∴点D的坐标是， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，若，则的度数为______． 【答案】##103度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答本题的关键． 依据P是的重心，即可得到是的中线，进而得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：∵P是的重心， ∴是的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，为了测量一幢楼房的高度，在木棍与这幢楼房之间选定一点P，若，点P到楼底的距离与木棍的高度相等，都为，量得木棍与这幢楼房之间的距离，且与均垂直于，则这幢楼房的高度是______m． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：15. 14. 如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，，则，从而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点P， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形等面积法，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 连接，根据题意得出，确定．当点P与点E重合时，，此时的值最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴， ∴垂直平分． ∵P是直线上的一个动点， ∴． ∵， ∴， ∴当点P与点E重合时，，此时的值最小． ∵， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为13． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）若等腰三角形的两边长分别是4和9，求它的周长． （2）如图，已知，．求证：． 【答案】（1）22；（2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意分两种情况，利用三角形三边关系分析判断求解即可； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）解：当腰为4，底为9时，， ∴三角形不存在； 当腰为9，底为4时，， ∴这个等腰三角形的周长为． （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ． 17. 如图，在中，，是的角平分线，延长至点E，． （1）求的度数． （2）若F是边上一点，，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的分类，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形外角的性质和角平分线的定义求解即可； （2）由（1）可知，再根据三角形内角和定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵是的外角，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）在图1中画出关于y轴对称的．（点A、B、C的对应点分别是点） （2）在（1）的条件下，直接写出的面积． （3）在图2中的x轴上画出一点P，使得的值最小．（要求：用无刻度直尺画图，保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，割补法求面积，掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作． 【小问2详解】 解：的面积． 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求作． 19. 项目学习 数学实践小组的同学们就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长为35米 （1）A，B两点间的距离是______米． （2）请你说明该方案正确的理由． 【答案】（1）35 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，线段的和差关系得到即可； （2）证明，得到，线段的和差关系得到即可； 【小问1详解】 解：A，B两点间的距离是35米；理由见详解（2）； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 20. 如图，在中，，点D，E都在上，． （1）求证：． （2）在上作一点F，使得点F到的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的作法及性质，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质求解即可； （2）作的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∴． 【小问2详解】 （作法不唯一）如图，点F即为所求． 21. 阅读与思考 下面是小英同学数学笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直角等腰线 【概念】在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条线段把直角三角形分为一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条线段为这个直角三角形的直角等腰线，如图1，在中，将分成两个三角形，若一个是直角三角形（），另一个是等腰三角形（），则为的直角等腰线． 【问题1】如图1，在中，，若为的直角等腰线，则的度数为 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，，若是的直角等腰线，求的角平分线的长． 解：∵为的直角等腰线，∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． …… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填写______，问题2中的“依据”是______． （2）将问题2中的解答过程补充完整． （3）在中，，D是上的一点，连接，且，试说明是的直角等腰线． 【答案】（1）；等腰三角形“三线合一” （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据直角三角形及等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据（2）中过程，利用角平分线的性质定理即可求解； （3）根据题意得出，，再由等腰三角形的定义及直角等腰线的定义即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，为的直角等腰线， ∴，， ∴， 问题2中的“依据”是等腰三角形“三线合一”， 故答案为：；等腰三角形“三线合一”； 【小问2详解】 ∵为的直角等腰线， ∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． ∵， ， ， ， ∴平分， ∵于点D，于点E， ∴． 【小问3详解】 ， ， ， ∴， ∴， ， 是等腰三角形． ∵ 是直角三角形， ∴为的直角等腰线． 22. 如图，在中，，D为上一点，E为的延长线上一点，． （1）求证：． （2）若交于点F，，求证：D是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）过点E作交的延长线于点G，先证明，再证明，从而得到，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点E作交的延长线于点G， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴D是的中点． 23. 综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）7；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握构造三角形全等的方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据可判定，得，在中，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到，再根据，即可求解； （2）延长，交的延长线于点G，根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接．根据全等三角形的判定得出，，，再利用其性质即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长，交的延长线于点G． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ， ， ， ． （3）如图2，延长至点F，使得，在上取点G，使得，连接． ∵D是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ， ． 在和中， ∴， ， ， ，即． ∵， ， 是等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级上学期期中综合评估数学 上册第十三~十五章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在表中） 1. 山西古建筑的榫卯结构不仅体现了古代工匠的高超技艺和智慧，也为现代建筑提供了宝贵的历史经验和启示，下列榫卯结构拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得米，米，则A，B两点间的距离可能是（ ） A. 50米 B. 58米 C. 62米 D. 46米 3. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大，则该三角形中较小锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是内部的一条射线，点P在上，于点D，于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 7. 如图，在中，，，点D、E分别在和上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 两直线平行，同位角互补 9. 如图，在锐角中，直线l为的垂直平分线，平分，直线l与射线交于点P，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，若，且点D在第四象限，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，若，则的度数为______． 12. 如图，在中，，点P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的面积为______． 13. 如图，为了测量一幢楼房高度，在木棍与这幢楼房之间选定一点P，若，点P到楼底的距离与木棍的高度相等，都为，量得木棍与这幢楼房之间的距离，且与均垂直于，则这幢楼房的高度是______m． 14. 如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是______． 15. 如图，在中，，是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）若等腰三角形的两边长分别是4和9，求它的周长． （2）如图，已知，．求证：． 17. 如图，在中，，是的角平分线，延长至点E，． （1）求的度数． （2）若F是边上一点，，求证：是直角三角形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）在图1中画出关于y轴对称的．（点A、B、C的对应点分别是点） （2）在（1）的条件下，直接写出的面积． （3）在图2中的x轴上画出一点P，使得的值最小．（要求：用无刻度直尺画图，保留画图痕迹，不写画法） 19 项目学习 数学实践小组的同学们就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长为35米 （1）A，B两点间的距离是______米． （2）请你说明该方案正确理由． 20. 如图，在中，，点D，E都在上，． （1）求证：． （2）在上作一点F，使得点F到的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 21. 阅读与思考 下面是小英同学数学笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直角等腰线 【概念】在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条线段把直角三角形分为一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条线段为这个直角三角形的直角等腰线，如图1，在中，将分成两个三角形，若一个是直角三角形（），另一个是等腰三角形（），则为的直角等腰线． 【问题1】如图1，在中，，若为的直角等腰线，则的度数为 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，，若是的直角等腰线，求的角平分线的长． 解：∵为的直角等腰线，∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． …… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填写______，问题2中的“依据”是______． （2）将问题2中的解答过程补充完整． （3）在中，，D是上的一点，连接，且，试说明是的直角等腰线． 22. 如图，在中，，D为上一点，E为的延长线上一点，． （1）求证：． （2）若交于点F，，求证：D是的中点． 23. 综合与探究 【阅读理解】 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点E，使，连接． 根据“”可判定，得， 进而，在中利用三角形三边关系求得的取值范围，即可求出的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，的取值范围是______． 【尝试运用】 （2）如图2，在中，D是的中点，过点C作，点F在的延长线上，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，D是的中点，E是上一点，，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $