精品解析：河北省张家口市第二中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

2025-2026年度高三年级第一学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（） A. B. C. D. 2. 已知、均为实数，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 在复平面内，复数所表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 命题：，的否定形式为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数f(x)=在区间[1，a]上的最小值为，则a=_____. 13. 已知向量，，那么__________. 14. 已知等差数列的前n项和为，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）若，求. 16. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. 已知，． （1）求函数的最小正周期 （2）求函数的单调增区间 18. 如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）平面． 19. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为. （1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值. （2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高三年级第一学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A的补集，再利用交集运算即可求解.. 【详解】由，于是得， 而，所以. 故选：C 2. 已知、均为实数，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，，取，则，即“，”“”； 若，不妨取，，则“，”不成立， 即“，”“”. 所以，“，”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 在复平面内，复数所表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算先化简，再由几何意义判断. 【详解】，则在复平面内，复数所表示的点坐标为， 位于第三象限. 故选：C 4. 命题：，的否定形式为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合” 【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，. 故选：D 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算,进行求解判断即可. 【详解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 故选：D． 6. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合特殊值以及不等式的性质判断出正确答案. 【详解】当时， ，所以ACD选项错误. 由于，所以，B选项正确. 故选：B 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式，结合角的范围即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故选：A. 8. 已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解在方向上的投影，即，再乘以的单位向量，即为在方向上的投影向量. 【详解】由题意，在方向上的投影为， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确； 对于B，在平行四边形中，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在平行四边形中，， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及复数的模以及几何意义以及韦达定理一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 所以，故A正确； ，故B错误； z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若z是方程的一个复数根，则有，， 但，故D错误. 故选：AC. 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量的共线向量的坐标关系可判断A；先求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标关系可判断B；利用平面向量相等的坐标关系可判断C；先求出，利用平面向量相等的坐标关系可判断D. 【详解】由于，，， 选项A：由于，故不成立，即A错误； 选项B：，故，故成立，故B正确； 选项C：因为， ，故不成立，故C错误； 选项D：，，故成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数f(x)=在区间[1，a]上的最小值为，则a=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据的单调性，结合其最值即可求得参数值. 【详解】因为f(x)=在区间[1，a]上单调递减， 故函数f(x)的最小值为f(a)=， 故a=4. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数最值求参数值，涉及函数单调性的应用，属简单题. 13. 已知向量，，那么__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出的坐标，再求出其模 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 14. 已知等差数列的前n项和为，且，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】设公差为d，化简已知得，再利用等差数列的求和公式计算即得解. 【详解】设公差为d，因为是等差数列，所以， 化简得，即， 所以． 故答案为：70 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）或1-2i. 【解析】 【详解】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求. 详解：（1）若是纯虚数， 则， 所以 （2）因为， 所以， 所以或. 当时，， 当时，. 点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了. 16. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. 【小问1详解】 方法一：由题意得，，， ∵，∴， 解得. 方法二：由题意得，，不平行，设， 则，∴，解得. 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得. 17. 已知，． （1）求函数的最小正周期 （2）求函数的单调增区间 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质，以及最小正周期的性质，求出结果即可. （2）根据正弦函数的性质，列出不等式，求出结果即可. 【小问1详解】 由函数，可得最小正周期. 【小问2详解】 由正弦函数性质可知，， 解得， 所以函数的递增区间是 18. 如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）平面． 【答案】（1） 由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以且， 所以为平行四边形. （2） 由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点， 所以，由（1）知面，且面， 故面，即平面. 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论； （2）由中位线性质得，再应用线面平行的判定即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为. （1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值. （2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值. 【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 （2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大, 最大值为 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可； （2）利用基本不等式求积的最大值即可. 【小问1详解】 由已知可得，而篱笆总长为. 又，当且仅当，即时等号成立. 菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为. 【小问2详解】 由已知得，而菜园面积为， 则，当且仅当即时取等号. 菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $