精品解析：广西来宾市盛宾中学2024-2025学年高一下学期4月质量检测数学试题

2025年春季学期高一4月质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】或，则. 故选：B. 2. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 3. 已知平面向量，则“”是“，共线”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出在上的投影数量，再求出与同向的单位向量，然后根据投影向量的概念求解即可. 【详解】根据题意得：，， 所以在上的投影数量为：，因为与同向的单位向量为：， 所以在上的投影向量为：，即为：. 故选：B. 5. 若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积. 故选：A. 6. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，由指数函数的图像及单调性确定的取值范围即可比较大小. 【详解】由对数函数在上单调递增，所以，所以， 对数函数在上单调递增，所以，所以， 因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减， 所以，所以， 所以： 故选：B 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可判断A；由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B； 由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据大边对大角可知角为钝角，可得A错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC正确，结合余弦定理判断D错误. 【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误. 故选：BC 11. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 【答案】AD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A正确； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B错误； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C错误； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 13. 已知，，且与不共线.若与互相垂直，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直时的数量积为0即可得解. 【详解】由题意， 即， 可得：， 解得：， 故答案为： 14. 的内角、、的对边分别为、、，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得，，代入，得，再借助和正弦的两角和公式进行化简可得，，由于，所以，即，又，于是可求得的值． 【详解】解：由正弦定理得，， ，， ， ， 即，， ，，即， ，． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 16. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果； （2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得：，即， ，则. 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得：， 又，，解得：或（舍）， ，. 17. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 【答案】（1）16； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . 【小问2详解】 连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在定义域内单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数R上单调递增. 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 则，即上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 19. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 小问1详解】 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.  下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期高一4月质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知中，角所对边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 11. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题 12. 已知函数偶函数，则______. 13. 已知，，且与不共线.若与互相垂直，则_________. 14. 的内角、、的对边分别为、、，若，则______. 四、解答题 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 16. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 17. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 19. 如图所示，四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $