云南省“美美与共”民族中学联盟2025-2026学年高二上学期联考（二）数学试题

云南“美美与共”民族中学联盟联考（二） 《非零向量6，满足=61，且向量5在向量云上的投影向量为-，若(2云，上 1.已知函数x)=22 1 2r-2,3ir·m2-1(其中w>0),则下列结论中正确 高二数学 (d-A).期实数A的值为 的是 k & c D.2 A若u=2,则x=是风x)的一条对称轴 本说卷分第|卷（这棒题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷第1页至第3爱。 7.过点P(0,2)作⊙C:xy2+4r-1=0的两条切线，切点分别为A,B,则s∠APB= 第Ⅱ卷第3页至第6真，考试结束后，请将答趋卡交回。满分150分，考试周时120分钟， B若))=4，且名为的最小值为，期如=2 c C若八)在0，引上单到，期。的取值范周为(0,2习 第1卷（选择题，共58分》 8.已知两数y=八x)的图象关于直线x=-1对称，且对xeR,都有八x)+-x)=1,当 注意事项： xe(0,2]时，x)=e+1,则2025)= 卫若)在红0，上有且仅有2个零点，则。的取值施假名割 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将白巴的学校，症就，姓名、考场号，是位子、 A.2 B.e+ D.2+1 准考证号在答题卡上填写清能. c 第1卷（非选择题，共92分） 2.每小题这出答案后，用2排铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑，如需茂动， 二、多项选择避（本大随共3小题。每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 注意事项 用橡皮擦干净后。再进涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 项是符合题日要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选带的得0分 第Ⅱ用黑色硫素笔在答题卡上各的避区内作答，在试上作答无 9关于空向向量，以下命随正确的是 一、单项选择题（本大愿共8小愿，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， A若0为平面ABc外任意一点，O丽，0元，则M,4,B.C四-定 三、填空通（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A=11,2.3,41,B=12,4,6,8,则集合AnB的子集个数为 共面 12已知函数=马(D0).期雨数)的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.8 B,若直线/的方向向最为后=(2,4，-2).平面的一个法向量为=(-1，-2,1)， 13.用简单随机抽样的方法从含”个个体的总体中，逐个袖取一个样本容量为4的样本。 2已知复数：满足：·+2=1-（其中i为虚数单位），则复数云在复平面内对应的点在 则∥a A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 C.若平而a,B的法向量分别为正，，且i=(1,2,-2),=(-2,3,2),则41B 若共中个体。在第一次就被抽取的可能性为六那么。 3.已知直线x+2-4=0与直线2x+y+m+1=0平行，则它们之间的距离为 D.若向量产=m云++三（宝.了，是不共面的向量，则称户在基能国，了，引下的 14,已细直线l:++n-m=0(网，n不全为0)与直线：一+my+n+m=0(m,n不全 坐标为(m,n,k),若户在基底位，6,1下的坐标为(1,2,3)，则P在基底 为0)分别与圆x2-6x+y2=16交于A、C与B,D,则四边形ACD的面积取值范围为 10 4角a的终边过点(2,1》，则叫受小 后-不，6，下的坐标州分多到 四、解答题（共77分.解客应写出文字说明。证明过程或演算步骤） 0下列命题中正确的是 15.(本小题黄分13分) n A.数据27,12,14,30.15,17,19,24的第70百分位数是24 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a4-bcC=B 5在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC的中点.则点A到直线D,E的距 B若A,B是万斥事件，期P(AB)=P(A)P(B) (1)求角A的值： 离为 C.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独文与A,B互斥一定不能同时减立 《2)若c=4,求a的量小值 D.若样本，，…，工的平均数和标准差分别为2和3,3如+2,3+2， 3x,+2的平均数和标准差分别为8和27 高二数学M,第1（共6） 高二教学·第工真（共6到 高=数学，第3真共6真) 16(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 如图1，在直三棱柱ABC-A,BG,中，D,E,F分别是AM.B,C,B的中点，矿 已知圆G经过点(1，-3)和(6,2)，且圆心C在直线y=2上，过点(3,4)的动直 如图3，在四棱锥P-ACD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD满足∠BC= ABG(0≤A≤1). 线I与圆C交于A,B两点，线段AB中点为M,O为坐标原点. ∠B4D=90°，∠CDA=45,AB=BC=L (1)当A为何值时，A,D,E,M四点共面？请说明理由： (I)求圆C的标准方程： (1)证明：平面PAG⊥平面P℃D: (2)当AC=BC=1,AB=2且直三棱柱ABC-A,B,G,体积为I时，求直线EF与平面 (2)求M的轨迹方程： (2)若PA=2,平面PAD与平面PBC交线为1 DC,所成角的正弦值 (3)若0M1=OP1,求直线I的方程及三角形POM面积 ①求证I上AB: ②直线1上是否存在点从，使得二面角M-D-P的夹角余弦值为。？如存在，求出 PM:如不存在，请说明理由， 17.(本小题满分15分) 某校举办了高中数学知识竞赛，经统计，学生成绩得分位于[50,100].现从中随机 轴取了50名学生的成绒.按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组.制 成了如图2所示的频率分布直方图 (1)求病率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、巾位数 (同一妞中的数据用该组区间的中点值代表)： (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于0分的学生中抽取6人，再从这6 人中随机轴取2人，求这2人的成绩来自不同区同的概率 高二数学M,第4（共6 高二学第5真（共6到 高=数学，第6真共6真)云南“美美与共”民族中学联盟联考（二)》 高二数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 J 6 7 答案 B C D A A 0 B 【解析】 1.A∩B={2,4,集合A∩B中共有2个元素，因此集合的子集个数为2=4个，故选C. 2.21+2=1-i,“2i=1-i,∴2=，∴2=-1+i,因此，复数：在复平面内对 应的点在第二象限，故选B 3.根据题意，直线x+2y-4=0与直线2x+y+m+1=0平行，则有m=2×2=4,则两直线 的方程分别为x+2y-4=0,2x+4y+5=0,直线x+2y-4=0可化为2x+4y-8=0,则 它们之间的距离d=5+8-13V5 V4+1610,故选C. 4.角a的终边过点(2,1)，所以cosa= 2下，所以 225 2-aj-cosa=25 选D. 5.以点D为原点建系，则D,(0,0,2),A(2,0,2),E(2,1,0),则AD=(-2,00), u= 引 DE 所以d=4D-(4D·-4W2,故选A 3 6,因向量6在向量ā上的批形狗最为。-，所以G6-a,2+01G-A汤 可得(2a+(a-而=21a+1-2a.6-=0，又1a=号61，故可得： 21ar+2-a-4a1af=0,因a是非零向量，故2+21-14以=0，解得=号故 选A. 高二数学M参考答案·第1页（共7页） 7.由⊙C:x2+y2+4x-1=0可得C(-2,0)，r=√5.因为PC平分∠APB，所以 2 Pg=1101 cos∠APB=1-2sin2∠4PB=1-2, 84,故选D. 8.因为函数y=(x)的图象关于直线x=-1对称，.f(x)=f(-2-x),因为对x∈R有 f(x)+f(-x)=1,即f(-x)=1-f(x),并代入f(x)=f(-2-x)中得f(x)=f(-2-x)= f[-(2+x]=1-f2+),令x=x+2,所以fx+2)=1-f(x+4),即f(w)=1-f(x+2)= 1-[1-f(x+4)]=f(x+4),所以y=f(x)是周期为T=4的函数，所以 ∴.f(2025)=f(506×4+1)=f①=e+1,故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 10 11 答案 ACD AC ABC 【解析】 9秀于A选项：因为0W-o1+写吸-君0c,+号名，所以M4,BC日点其面， 6 故A正确；对于B选项，若直线1的方向向量为m=(2,4,-2),平面的一个法向量为 n=(-1,-2,1),易得m=-2n,即m∥n,则有l⊥a,故B错误；对于C选项：因为 i.=-2+6-4=0,所以i⊥立，所以α⊥B,所以C正确；对于D选项：由题意得 币=ā+2b+3记，设市=x(a-b)+y(a+b)+zc=x+y)a+0y-x)b+2c，则 1 2 x+乃=1 2,得释=号，则万车类石-人a+瓜可下的坐标为宁子小D 2 、31=3 =3 正确，故选ACD 10.对于A选项：该组数据从小到大排列为12,14,15,17,19,24,27,30，又8×70%=5.6， 即第70百分位数为第6个数为24，故选项A正确：对于B选项：由互斥事件的定义知 高二数学M参考答案·第2页（共7页） P(AB)=0，而P(AB)=P(A)P(B)仅在A,B独立时成立，互斥与独立没有必然联系，故 选项B错误；对于C选项，若事件A,B相互独立与A,B互斥同时成立，则 P(AB)=P(A)P(B)>0,而P(AB)=0,矛盾，故事件A,B相互独立与A,B互斥不能同 时成立，故C正确：对于D选项，因样本x,x,…,xn的平均数和标准差分别为2和3， 则3x+2,3x,+2,·,3x,+2的平均数为3×2+2=8，方差为32×32=92，标准差为9， 故D错误，故选AC 1.函数/=oar-na=2arar+引对于A选项：若a=2fu=2ca2+》 (-2a(+》-,所以A正确：对于B选项：若fg)-c4,则， 分别是函数f(x)的最大值点，最小值点（或者最小值点和最大值点），若x-x2的最小值 为子则最小正周期是，所以心=2，B正确：对于C选项：设1=0+写，当x0哥引 03 时，1[管写引者/网在[0引上单调，则o+,所以02，C正确： 3 33 对于D项：当xe0时，=am+[引 若f(x)在[0，仅有2个零点， 仅有2个零点，则≤m+,所以≤0< 13 ,D错误，故 3 32 6 6 选ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2 20 [20W545] 【解析】 12.:x>0,=x+12.=2,当且仅当x=上时，即E=1时等号成立，因此， r V x 函数f(x)的最小值为2. 高二数学M参考答案·第3页（共7页） 13.因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取 的可能性为0因此。0，所以n=20。 n20 14.因为1⊥1，且都过1，-1)，圆心(3,0)，半径r=5.记圆心到11，的距离分别为d,d2, 则|4C=2V25-d,1BD2V25-d,根据几何性质d2+d22=5，而 Sc =ACII BD=225-d225-d2=2252-25(d+d:)+dd.=2/500+d2d. 当d,=0(或d2=0),即4，有一条过圆心时，面积最小为205，得 ，当4-4-时，面积最大为250+ 4 5=45 4 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)法1：由已知得bcosC+ccosB=2 acos A, sin BcosC+sin CcosB =2sin AcosA, …(2分) 由正弦定理得sin(B+C)=2 sinAcosA, (3分) 即sinA=2 sinAcosA, …(4分) 因为sinA≠0，所以2cosA=1, 即cosA=2' 1 ………(5分) 又因为A∈(0，元)，所以A=元 …（6分） 3 1 法2：由射影定理，得a=bcosC+ccosB,2 acos A=a,即cosA=。 …(5分)》 2 又因为A∈(0，)，所以A=T *…(6分) (2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bC,…(8分) 由重要不等式可得：b2+c2-bc≥2bc-bC=bc=4,…(11分) 即a2≥4，a≥2，当且仅当b=c=2时取等号， 故a的最小值为2. ……(13分) 高二数学M参考答案·第4页（共7页） 16.(本小题满分15分) 解：(D当A-克即M为BC的中点时，4DBM四点共面， 如图1，连接EM,AE,DM, …(1分) 因为E,M是中点，所以EMCC,且EM=CC, 又因为D是A4的中点，所以有ADIICC,且AD= 2 所以ADIIEM,且AD=EM, 因此四边形ADME是平行四边形，…(5分) 故A,D,E,M四点共面 …(6分) (2)因为AC2+CB2=AB2,所以AC⊥BC. 又三棱柱为直三棱柱，所以CC⊥AC,CC⊥BC, 直三枝柱BC-A8G体积V-x1x1xCC=1,可得CG=2.(7分） 如图2，以C为原点，分别以CA、CB、CC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， …(8分) 所以B(0,1,0),D1,0,1),C1(0,0,2),则BC=(0,-1,2),DC=(-1,0,1), …(9分) 设平面BDC的一个法向量为n=(,y,z), 所以 i:8c=-y+2z=0,得=22 .DC=-x+z=0’得{x=2 令z=1,则x=1,y=2,所以i=(1,2,1),…(11分) 因为032小r公厅-日w-2刃 图2 设直线EF与平面BDC所成角为O, 3 则sin0=cos<n,EF> i.EF V102 I方‖EF V17 34 -x√6 2 故直线EF与平面BDC所成角的正弦值为02 …(15分) 34 高二数学M参考答案·第5页（共7页） 17.(本小题满分15分) 解：(1)由己知可得(0.01×2+0.03×2+x)×10=1,解得x=0.02,…（2分) 所抽取的50名学生成绩的平均数为55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74. ……(4分) 由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3×2=0.7， 所以中位数a∈[70,80)，由题意可得0.4+(a-70)×0.03=0.5,解得a=220 3 …(7分) (2)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5， 故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，…(8分) 记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)这组的2名学生分别为 d,e,成绩在[90,100]这组的1名学生为f, 则从中任抽取2人的所有可能结果为(a,b)、(a,c)(a,d)、(a,e)(a,)、(b,c) (b,d)、(b,e)、(b,)、(c,d)、(c,e)、(c,、(d,e)、(d,、(e,,共15种， ………（11分） 其中这2人的成绩来自不同区间的有11种， …（14分) 故所求概率为P=1凸 …(15分) 15 18.(本小题满分17分) 解：(1)根据题意，设圆心为C(a,2a),E1,-3),F(6,2), 由CE曰CF1,可得V(a-)2+(2a+3)2=V(a-6)2+(2a-2)2,解得a=1, 所以，圆心为C1,2),半径为CE=√1-1)2+(2+3)2=5， 因此，⊙C的方程为(x-1)2+0-2)2=25. …（4分)》 (2)因为M是线段AB中点，所以CM⊥MP, 所以点M轨迹为以线段CP为直径的圆上，故M轨迹为以(2,3)为圆心，半径为√2的圆， 故M的轨迹方程：(x-2)2+0y-3)2=2.… …(10分) (3)因为OM曰OP=5,所以M、P在以O为圆心，半径为5的圆上， 即在x2+y2=25的圆上，又因为M、P在(x-2)2+0y-3)2=2上， 高二数学M参考答案·第6页（共7页） 两圆相减可得：1(MP):2x+3y=18, 因为0到1的距离d= 1818 V4+9V13 ,1MP52V25-d2=2 13 所以面积为×2x1818 X …………………（17分) 2V131313 19.(本小题满分17分) (1)证明：计算得AC=√2，所以AC=CD=V2, 故三角形ACD为等腰直角三角形，可得AC⊥CD. 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. 又因为PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,所以CD⊥平面PAC. 又因为CDC平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.…(5分) (2)①证明：因为BC∥AD,而BCc平面PBC,所以AD/平面PBC, 面PAD与平面PBC交线为l,所以I∥AD, 而AD⊥AB,所以I⊥AB. …(9分) ②解：依题意，建立坐标系A-z,B1,0,0),D(0,2,0),P0,0,2),C(1,1,0), …（10分) BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0), 设平面BDP的一个法向量为i=(x,y,z), 则 P.i=0,即{ -x+2z=0, 取x=2,则i=(2,1,),…(12分) BD.=0, -x+2y=0, 因为点M在1上，所以设点M(0,t,2),设平面BDM的一个法向量为m=(x,z), BM.m=0, -x+y+2z=0, (t-2)y+2z=0, 则 可得 即 取y=2, BD.m=0, -x+2y=0, x=2y, 则m=(4,2,2-t) …(14分) 因为cos<m,n>= m.n 12-t |mlnV6×V20+(2-t)2 112-t川 所以6×20+2- =V6 =6,解得1=6，故PM=6. …（17分) 高二数学M参考答案·第7页（共7页）