专题01 一元二次方程及其应用（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程及其应用 6大高频考点概览 考点01 解一元二次方程 考点02 根与系数的关系 考点03 根据一元二次方程根的情况求参数 考点04 营销问题（一元二次方程应用） 考点05 增长率问题（一元二次方程的应用） 考点06 面积问题（一元二次方程的应用） 地 城 考点01 解一元二次方程 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）用配方法解方程： 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）用配方法解方程：． 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）用公式法解方程：． 5．（24-25九年级上·南平·期末）用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 地 城 考点02 根与系数的关系 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 二、非选择题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）若的两个根分别为，，且，则 ． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知关于的一元二次方程． (1)已知方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）设是关于的方程的两根． (1)当时，求的值． (2)求证：． 地 城 考点03 根据一元二次方程根的情况求参数 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(   ) A． B．且 C．且 D． 二、非选择题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 地 城 考点04 营销问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建三明·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）福鼎市是国内栀子原料林面积最大、总产量最多的药用栀子产区和栀子果交易集散地．黄栀子鲜果收购价为每千克16元，按每千克元销售，每天可售出5000千克．为提升销量，收购商考虑采取降价措施，当售价每千克降低元时，_____，为了实现平均每天2600元的销售利润，则每千克黄栀子鲜果的售价应定为多少元？设每千克黄栀子鲜果的售价为元，可列出符合题意的方程为，根据已有信息，题中横线部分缺失的条件是（    ） A．每天销量可增加15000千克 B．每天销量可增加1500千克 C．每天销量可增加150千克 D．每天销量可增加15千克 2、 非选择题 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）2024年3月国际风筝节在婺源县举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，售价不高于30元，请回答下列问题： (1)求蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系； (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ 4．（24-25九年级上·福建漳州· 期末）水仙花是福建省的省花，也是中国传统十大名花之一．某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．经市场调研发现，每降价1元，每天销量将增加2盆，设每盆降价x元． (1)试用含x的代数式表示降价后平均每天的销售数量； (2)为减少库存，经销商决定降价销售，当每盆水仙花降价多少元时，该经销商每天能获利1050元？ 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 地 城 考点05 增长率问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A． B． C． D． 2、 非选择题 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程 ． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为 ． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．试解决下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 地 城 考点06 面积问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）停车难问题已经是城市管理和发展的一个大问题．  如图，某小区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道． 若设行车通道的宽度是，则根据题意可列关于的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864 二、非选择题 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程及其应用 6大高频考点概览 考点01 解一元二次方程 考点02 根与系数的关系 考点03 根据一元二次方程根的情况求参数 考点04 营销问题（一元二次方程应用） 考点05 增长率问题（一元二次方程的应用） 考点06 面积问题（一元二次方程的应用） 地 城 考点01 解一元二次方程 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用利用直接开平方法求解即可； （2）利用利用直接开平方法求解即可； （3）利用利用直接开平方法求解即可； （4）利用利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先移项，再配方，最后开平方求解即可． 【详解】 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，按照配方法的过程解方程即可． 【详解】解： 则． 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 5．（24-25九年级上·南平·期末）用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （1）运用因式分解法求解即可； （1）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，． （2）解：， ， ， ， 解得：，． （3）解：， ， ， ， 或， 解得：． （4）解：， ， ， 解得：，． 地 城 考点02 根与系数的关系 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的根及韦达定理的应用，熟练应用韦达定理是解题关键． 将代入方程得到关于的等式，再根据韦达定理求出，将进行化简求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即 根据韦达定理有，， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程． 【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得 ，， 那么以、，为两根的一元二次方程就是， 故选：B． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；先通过计算判别式分别确定四个方程有没有实数根，若，则利用根与系数的关系：进行计算，即可判断出正确的选项． 【详解】A．，则此方程没有实数根，故该选项不符合题意； B．，则，故该选项符合题意； C．，，故该选项不符合题意； D．，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 二、非选择题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）若的两个根分别为，，且，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：的两个根分别为，，且， ，， ． 故答案为：19． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，再将化成，最后整体代入即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：2026． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知关于的一元二次方程． (1)已知方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据根的情况，判断判别式的符号，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵有两个实数根， ∴ ∴； （2）由题意，， ∴， 解得或， 由（1）知：， ∴． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）设是关于的方程的两根． (1)当时，求的值． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴， ∴，即， 解方程得，， 故； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 地 城 考点03 根据一元二次方程根的情况求参数 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质与一元二次方程根的判别式，熟练掌握一次函数的图象与性质与一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后根据一次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程无实数根，可知：， 解得：， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限； 故选A． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(   ) A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 二、非选择题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及其与根的关系，具体涉及判别式的计算公式 和无实数根的条件 ．解题的关键在于准确应用判别式公式，建立并解不等式，最终得出 的取值范围．根据一元二次方程无实数根的条件，需满足判别式小于零，从而建立不等式求解m的取值范围． 【详解】解：一元二次方程无实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值． 【详解】（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ∴，， 方程有两个不相等的正整数解， ∴， ∴ 整数的值为2． 地 城 考点04 营销问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建三明·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数x的含义是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出及的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）福鼎市是国内栀子原料林面积最大、总产量最多的药用栀子产区和栀子果交易集散地．黄栀子鲜果收购价为每千克16元，按每千克元销售，每天可售出5000千克．为提升销量，收购商考虑采取降价措施，当售价每千克降低元时，_____，为了实现平均每天2600元的销售利润，则每千克黄栀子鲜果的售价应定为多少元？设每千克黄栀子鲜果的售价为元，可列出符合题意的方程为，根据已有信息，题中横线部分缺失的条件是（    ） A．每天销量可增加15000千克 B．每天销量可增加1500千克 C．每天销量可增加150千克 D．每天销量可增加15千克 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，结合方程即可得到答案． 【详解】解：设每千克黄栀子鲜果的售价为元， 可列出符合题意的方程为， 由知降价额，再由即可得到当售价每千克降低元时，每天销量可增加1500千克， 故选：B． 2、 非选择题 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）2024年3月国际风筝节在婺源县举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，售价不高于30元，请回答下列问题： (1)求蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系； (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元 【分析】本题主要考查了一次函数、一元二次方程的应用，根据数量关系找出函数的关系式是解答本题的关键． （1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高1元，销售量就会减少个”即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据“总利润单个利润销售量”，即可得出关于x的一元二次方程，解一元二次方程并检验即可解答． 【详解】（1）解：设蝙蝠形风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知． （2）解：根据题意得：， 则， 解得：，， 又因为要让利给顾客，所以售价应取较小值， 故， 答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元． 4．（24-25九年级上·福建漳州· 期末）水仙花是福建省的省花，也是中国传统十大名花之一．某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．经市场调研发现，每降价1元，每天销量将增加2盆，设每盆降价x元． (1)试用含x的代数式表示降价后平均每天的销售数量； (2)为减少库存，经销商决定降价销售，当每盆水仙花降价多少元时，该经销商每天能获利1050元？ 【答案】(1)盆 (2)当销每盆水仙花降价5元时，该经销商每天能获利1050元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．每降价1元，每天销量将增加2盆，列出代数式即可； （2）根据该经销商每天能获利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，降价后平均每天的销售数量为盆； （2）解：由（1）可知，降价后平均每天的销售数量为盆， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当销每盆水仙花降价5元时，该经销商每天能获利1050元． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； (2)m的值为2 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 地 城 考点05 增长率问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程，并结合实际意义确定的值． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为 故选：B 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 2、 非选择题 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用预计该校图书馆2025年年底拥有图书量=该校图书馆2023年年底拥有图书量×（1+图书数量的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：． 【详解】设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为: ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．试解决下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】(1)前三季度生产量的平均增长率为 (2)该目标不能实现 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确的列方程求解是解题的关键； （1）根据平均增长率问题列方程求解即可； （2）根据增长率求出第四季度的芯片生产量再比较作答即可． 【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为； （2）解：第四季度的芯片生产量为万个， ， 该目标不能实现． 地 城 考点06 面积问题（一元二次方程应用） 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）停车难问题已经是城市管理和发展的一个大问题．  如图，某小区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道． 若设行车通道的宽度是，则根据题意可列关于的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选C． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864 【答案】A 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 二、非选择题 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解 【详解】如图2所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少． 【答案】金色纸边的宽是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系； 设金色纸边的宽为，根据题意可知：挂图的长为、挂图的宽为，结合整个挂图的面积是，列出方程求解即可． 【详解】解：设金色纸边的宽是， 依题意，得，即 解得（不合舍去） 答：金色纸边的宽是． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)能达到， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （）设与墙平行的一边长为，根据，得到，根据矩形面积公式即可求解； （）先求出的取值范围，再将代入中，求出的值即可判断求解． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为 ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $