专题02 二次函数 6大高频考点（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 9大高频考点概览 考点01 求二次函数解析式 考点02 二次函数图像及其性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 最值问题 考点05 二次函数实际应用 考点06 二次函数中的动点问题 地 城 考点01 求二次函数解析式 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是将代入，求出，然后根据抛物线开口向上，得出． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意画出图形，设的长为m，由含30度的直角三角形的性质可得出，，，，把A，C两点代入上求解再化解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，设的长为m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵A，C都在抛物线上， ∴ 解得： ①②得： ， 故选：A． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式， 根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，将点的坐标代入函数的解析式中，即可求得k的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； (2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ∴ ，解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为； （2）解： ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标． 6（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线，且，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据，，对称轴是直线，得到，，结合得到从而得到，代入抛物线的解析式计算即可． 【详解】设点， ∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得， 故抛物线的解析式为． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由图象可得，，代入得到三元一次方程组，求解方程组得出a、b、c的值即可解答． 【详解】解：由图象可得，， 把分别代入二次函数表达式，得， 解得， 二次函数的表达式为． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数．当时， (1)若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； (2)若方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数表达式、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解； （2）根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解． 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， ， 把点代入得，， 该函数的表达式为； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点03 二次函数图像及性质 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，二次函数图象开口向上，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴图形开口向上，顶点坐标为， ∴最小值为， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴，则， 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键． 根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D． 【详解】∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意； 将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意； 故选D． 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（    ）． A．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平格4个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键． 直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可 【详解】抛物线经过平移得到抛物线， 则平移过程是先向左平移4个单位，再向上平移3个单位． 故选：B． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与x轴有两个交点、根的判别式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出k的取值范围，再结合二次函数定义可知即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， 解得：且． 故选：D． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 2、 填空题 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） ． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次函数图象的开口方向是 （填写“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案． 【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m， 且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点B的坐标为：， ∵点B在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴m的值为． 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 11．（24-25九年级上·福建三明·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 【详解】解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的交点，若点P的坐标为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 首先根据轴对称的性质求出点P关于直线的对称点的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据轴对称的性质，点P关于直线的对称点的坐标为， 不等式的解集为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则， 依题意，， 解得：． 故答案为：． 地 城 考点04 最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知二次函数的图象（）如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（　　） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象，解题关键是能从函数图象中得出正确信息． 根据二次函数的图象即可得解． 【详解】解：由图可得：当时，函数取最小值； 当时，函数取最大值． 故选：． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 将代入得， 解得，， ， 当时，， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的二次函数的图象经过点，且函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将代入二次函数可得，求出或，由函数有最小值得出，即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：关于的二次函数的图象经过点， ， 解得：或， 函数有最小值， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，然后根据C点的横坐标为2代入二次函数解析式可得C点的坐标；运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， ∵C点的横坐标为2， 将代入， 得， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点E在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知二次函数在的最小值为，求m的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，先求出二次函数对称轴为直线，再分和两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ∴； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ∴． 综上所述，或． 8．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 地 城 考点05 二次函数实际应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将二次函数化成顶点式并结合实际意义确定函数图象成为解题的关键． 先将关系式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图像是对称轴为，最值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止， ∴C选项符合题意． 故选C． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 求出或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）汽车刹车后行驶的距离与行驶时间（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来这段时间，最后秒行驶 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，则顶点横坐标值，进而再求得时的路程，相减即为所求． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来行驶了米， ∴当时，． ∴最后秒行驶了米 故答案为： 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）2024年12月12日，南水北调东中线一期工程全面通水十周年．南水北调工程塑造了我国水资源分配新格局．如图是南水北调某段河道的截面图，河道轮廓为某抛物线的一部分，小明在枯水期测得河道宽度，河水水面截痕，水面到河岸水平线的距离为，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数表达式； (2)在丰水期，测得水面到的距离为，求此时水面截痕的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设抛物线的函数表达式，利用已知点坐标代入求解表达式． （2）根据抛物线函数表达式，结合水面到的距离，求出水面截痕的长． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． 由，得；由水面到河岸水平线的距离为，，得即． 将，代入得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ， ， ， ， 解得， ∴， 答：此时水面截痕DE的长为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、解二元一次方程组、写出点的坐标以及解一元二次方程，熟练掌握利用待定系数法求二次函数表达式以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某商品的进价为每件30元，以每件50元售出，每周可卖出200件．现决定降价促销，发现每降价2元，每周可多卖出20件． (1)当销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？ (2)当售价定为何值时，每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)销售单价定为40元时，商店可获利3000元 (2)当定价为50元时，每周的销售利润最大．最大利润是4000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是转化为函数问题，根据函数的性质求解． （1）设销售单价定为元，根据题意列出方程即可； （2）根据二次函数最值的求法计算即可． 【详解】（1）解：设销售单价定为元，降价后销量为：， 由题意得：， ， ， ， ， ∴，（舍去）， ∴， 答：销售单价定为40元时，商店可获利3000元； （2）解：设当售价定为时，每周的销售利润为， 由（1）知： ； ∴当时，每周的销售利润最大．最大利润是元． 答：当定价为50元时，每周的销售利润最大．最大利润是4000元． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1          图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 【答案】【任务1】，【任务2】 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决； 任务1：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，得到点的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可； 任务2：过点作于点，得到米．由题意可知，当最大时，点的纵坐标为．令，解方程，得出，由米得到米，游船底部在，之间通行，即可求得的最大值． 【详解】解：任务1： 以D为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ， 点的坐标为，顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ， ． 任务2： 过点E作于点M， ∵，米 ∴米 ∴米． 由题意可知，当最大时， 点E的纵坐标为． 令，得， 解得， ∵米， ∴米， ∵游船底部在，之间通行， ∴的最大值为（米）． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）． (1)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？ (2)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面和，已知矩形的周长为，求增加斜面的长． 【答案】(1)购买地毯需要900元 (2)增加斜面的长为 【分析】此题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标，矩形的性质，勾股定理． （1）求出抛物线与x轴交点的坐标，的长度即可求得，再由已知顶点C的坐标，根据平移的性质求得地毯的总长度，进一步求得面积解决问题； （2）设出抛物线点G的坐标，分别表示出矩形的长和宽，并利用矩形的周长求得长和宽，进一步利用矩形的性质及勾股定理解答问题． 【详解】（1）解：∵顶点，故， ∴， 令，即， 解得，， ∴， ∴地毯的总长度为：， ∴（元）， 答：购买地毯需要900元； （2）解：设，其中， 则，， ∵矩形的周长为， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 把代入， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答:斜面的长为． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． (1)求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； (2)当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线，且小球球心经过的最高点坐标是，因而可设该抛物线的顶点式为，将小球从管道脱离时球心的坐标代入，得，解方程即可求出的值，进而可得出小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）根据题意，将代入，得，解方程即可求出书包开口中心处的坐标． 【详解】（1）解：小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线， 且小球球心经过的最高点坐标是， 设该抛物线的顶点式为， 小球从管道脱离时球心的坐标为， 将代入，得： ， 解得：， 小球球心轨迹对应抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，将代入，得： ， 解得：，， ， 此时小球的球心在点左侧，与实际不符，故舍去， ，即小球在水泥管道内部， 书包开口中心处的坐标为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），一元二次方程的应用（其他问题），待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，有理数大小比较的实际应用，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，读懂题意，学会用二次函数及一元二次方程解决实际问题是解题的关键． 10．（24-25九年级上·福建福州·期末）某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为． (1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长； (2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值． 【答案】(1)旧墙的长为 (2)作图见解析，矩形守望田面积最大值为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的实际应用，涉及解一元二次方程、二次函数图象与性质、求二次函数最值等知识，读懂题意，准确得到方程及函数解析式是解决问题的关键． （1）设旧墙的长为，则，列一元二次方程求解，根据旧围墙的长度为，即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，设旧墙的长为，则，得到，由二次函数图象与性质求出最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：设旧墙的长为，则， ，则，解得或； 旧围墙的长度为， ，即， 答：旧墙的长为； （2）解：根据题意，作出图形，如图所示： 设旧墙的长为，则， 设矩形守望田的面积为S平方米， ， 旧围墙的长度为， ， 当时，矩形守望田面积有最大值，为， 答：矩形守望田面积最大值为． 地 城 考点06 二次函数中的动点问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知抛物线y=x-2tx与x轴交于两点，其中一点在x轴正半轴上，且两点间距离为6，若点P（m，n）为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx-6（k＞0）的图象于点Q，当时，的长度随m的增大面增大，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与x轴的交点，二次函数与一次函数的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据抛物线与x轴两交点间距离以及其中一点在正半轴，求出抛物线对称轴，进而确定t的值得到抛物线解析式．然后表示出点的纵坐标，得出的长度表达式．再根据当时的长度随的增大而增大，结合二次函数性质列出关于的不等式求解． 【详解】对于抛物线，令，则，即，解得． 因为抛物线与轴交于两点，其中一点在轴正半轴上，且两点间距离为6，所以，又因为其中一点在正半轴，所以， 那么抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 因为点在抛物线上，所以，点在上，且轴，所以点的横坐标为，则点的纵坐标为， 所以， 对于二次函数，其二次项系数，图象开口向下，对称轴为直线， 因为当时，PQ的长度随的增大而增大，所以对称轴， 即，解得． 故选A． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键． 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键； （1）把，，代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案； 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 四边形是正方形， ， 即， 解得：， ， ， ∴当四边形是正方形时，点的坐标； （3）解：如图，连接，过点作轴交于点． 设直线的解析式为． 把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 当时，达到最大值为； 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 9大高频考点概览 考点01 求二次函数解析式 考点02 二次函数图像及其性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 最值问题 考点05 二次函数实际应用 考点06 二次函数中的动点问题 地 城 考点01 求二次函数解析式 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； (2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 6（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线，且，求该抛物线的函数表达式． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． ． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数．当时， (1)若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； (2)若方程有两个相等的实数根，求证：． 地 城 考点03 二次函数图像及性质 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（    ）． A．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平格4个单位，再向上平移3个单位 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 2、 填空题 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值： ． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次函数图象的开口方向是 （填写“向上”或“向下”）． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 11．（24-25九年级上·福建三明·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的交点，若点P的坐标为，则的解集为 ． 5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则， 依题意，， 解得：． 故答案为：． 地 城 考点04 最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知二次函数的图象（）如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（　　） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的二次函数的图象经过点，且函数有最小值，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 3、 解答题 7．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知二次函数在的最小值为，求m的值． 8．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 地 城 考点05 二次函数实际应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）汽车刹车后行驶的距离与行驶时间（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来这段时间，最后秒行驶 米． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）2024年12月12日，南水北调东中线一期工程全面通水十周年．南水北调工程塑造了我国水资源分配新格局．如图是南水北调某段河道的截面图，河道轮廓为某抛物线的一部分，小明在枯水期测得河道宽度，河水水面截痕，水面到河岸水平线的距离为，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数表达式； (2)在丰水期，测得水面到的距离为，求此时水面截痕的长． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某商品的进价为每件30元，以每件50元售出，每周可卖出200件．现决定降价促销，发现每降价2元，每周可多卖出20件． (1)当销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？ (2)当售价定为何值时，每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1          图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）． (1)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？ (2)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面和，已知矩形的周长为，求增加斜面的长． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． (1)求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； (2)当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 10．（24-25九年级上·福建福州·期末）某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为． (1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长； (2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值． 地 城 考点06 二次函数中的动点问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知抛物线y=x-2tx与x轴交于两点，其中一点在x轴正半轴上，且两点间距离为6，若点P（m，n）为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx-6（k＞0）的图象于点Q，当时，的长度随m的增大面增大，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $