精品解析：天津市河北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

25-26初三数学期中考试-河北区 一、选择题（共12小题） 1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可． 【详解】解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为； 故选A． 3. 已知方程的两个解为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．直接应用两根之和与两根之积公式计算表达式的值． 【详解】解：∵方程中， ∴，， ∴． 故选：A． 4. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：C． 6. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数及一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：选项A、B中，由二次函数的图象知，，， ∴，则一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选项A、B都不符合题意； 选项C、D中，由二次函数的图象知，，， ∴，则一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选项C符合题意；选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，由二次函数的图象判断出，或，是解题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 8. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ） A. 15 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，从而得到AF+BE=AB，再根据三角形的周长的定义解答即可． 【详解】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF， ∵∠C=90°， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE=CF=1， 由切线长定理得，AD=AF，BD=BE， ∴AF+BE=AD+BD=AB=5， ∴三角形的周长=5+5+1+1=12． 故选:B. 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观． 10. 如图，在的内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴．． 故选：C． 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题关键．连接，令与的交点为，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为， 点恰好落在直线上， 、、三点共线， ， 由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 12. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号． ①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；②根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④根据题意代入已知点构建方程，可得出，则，根据，即可得出关于的不等式，解不等式即可。 【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故②正确； 对称轴在轴右侧， ， ， 故①正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， ， 故③错误； 抛物线（，，是常数且））过和， ，解得， 抛物线（，，是常数且）过和两点， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故正确的结论有：①②④， 故答案选：C． 二、填空题（共6题） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点关于原点对称点性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 根据两个点关于原点对称时，它们坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是________米． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：水面宽为12米， 点的横坐标为6， 把把代入函数解析式，可得： ， 故水面离桥顶的高度为米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键． 15. 如图，是的外接圆，直径，，则长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 16. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是___________．(用“”连接) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数，一次项系数， ∴对称轴为， ，抛物线开口向下， ∴函数值在对称轴两侧随距离增大而减小， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴距离越大，函数值越小， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P． （1）求线段AC的长； （2）求线段DP的长． 【答案】（1）2，（2）−1 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2， （2）由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC−AE＝2−2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝−1，PC＝PE＝3−，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OB＝AB＝1， ∴OA＝OB＝， ∴AC＝2， （2）由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC−AE＝2−2， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP＋∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PE＝CE＝−1，PC＝PE＝3−， ∴DP＝CD−PC＝2−（3−）＝−1． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为___________； （2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的___________． 【答案】 ①. ②. 图见解析，取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点 【解析】 【分析】本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心． （1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． 【详解】解：（1）根据勾股定理，线段； 故答案为：； （2）如图，取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点； 根据网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， 即， ∴、为圆的直径， ∴点O为圆心， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 如图，取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点． 三、解答题（共7题） 19. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练运用方法是解答此题的关键．利用一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：． 20. 如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】（1） （2），对称轴为直线 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． 【小问3详解】 ∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 21. 如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 【小问1详解】 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 22. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 小问1详解】 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为r， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得． 23. 电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； （3）电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）W最大值（元） （3）销售单价为110元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； 【小问3详解】 依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． （1）如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； （2）如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1），； （2） （3）点，的距离为，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大． （1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解； （2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标； （3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴点的坐标为； 当时，则绕点逆时针旋转得到， ∴可得点的坐标为，点的坐标为； ∴点的坐标为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：记与x轴的交点为点E，连接，如图， ∵，则绕点逆时针旋转得到， ∴，且， ∴， ∵，， ∴在中，， 又∵点中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即， 当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值， ∵点的坐标， ∴， ∴点，的距离， 过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图， 由点的坐标可知，， 当点，，三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， 即， ∴， 又∵， 在中，， 即， 即， 整理可得，， 可得， ∴解得， ∴， 即， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2），最大面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用点和得出，然后代入得解析式，再求点B． （2）先求出直接的解析式，过点P作交于点E，则，然后根据二次函数的性质即可得出答案． （3）分两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上， ∴，即， 将代入， 得：， 解得 ∴ 抛物线解析式为． 令，得， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：设的解析式为：， 则，解得， 则的解析式为：， 如下图：过点P作交与点E， 则，， ∴， ∴， 当时，S取得最大值为1， ∴． 【小问3详解】 解：当点P在上方时，如下图， 设直线解析式为， ∵ 则， 解得 则直线解析式为， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立解析式得， 解得：，或（舍去） 点P坐标为； 当点P在下方时，如图中点，设、与y轴分别交于点E、F，如图， 则点， ∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 则，解得 ∴直线解析式为 联立解析式得， 解得或（舍去） ∴ 综上所述：当点P坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26初三数学期中考试-河北区 一、选择题（共12小题） 1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程的两个解为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 8. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ） A. 15 B. 12 C. 13 D. 14 10. 如图，在的内接四边形中，，则的度数为（ ） A B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 12. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6题） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 14. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是________米． 15. 如图，是的外接圆，直径，，则长为__________． 16. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是___________．(用“”连接) 17. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P． （1）求线段AC的长； （2）求线段DP长． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为___________； （2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的___________． 三、解答题（共7题） 19. 解方程：； 20. 如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 21. 如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 22. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径及的长． 23. 电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； （3）电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． （1）如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； （2）如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $